конспект_статистика

74

у уn y1 n 1

Так, для умов нашого приклада (див. табл.10.5) середній абсолютний приріст дорівнює 29,5 тис. м3 [(407-289)/4].

Зведеною узагальненою характеристикою інтенсивності зміни рівнів ряду динаміки служить середній темп росту, що показує, у скільки разів у середньому за одиницю часу змінився рівень динамічного ряду.

Необхідність числення середнього темпу росту виникає внаслідок того, що темпи росту з року в рік коливаються. Крім того, середній темп росту часто варто визначити в тих випадках, коли є дані про рівень на початку якогось періоду і наприкінці його, а проміжні дані відсутні.

Звичайно середній темп росту обчислюється по формулі середньої геометричної з ланцюгових коефіцієнтів росту:

							yn
	ТР n ТР1 ТР2				... ТРN	n 1		,
							y
							1

де TP1 ,TP2 ,...,TPN - індивідуальні (ланцюгові) темпи росту (у коефіцієнтах);

n - число індивідуальних темпів росту.

Так, за даними табл.10.5 середній темп росту дорівнює:

ТР 41,111 1,078 1,075 1,094 41,41 1,089 або 108,9%.

Середній темп приросту не може бути визначений безпосередньо на основі послідовних темпів приросту або показників середнього абсолютного приросту. Для його обчислення необхідно спочатку знайти середній темп росту, а потім зменшити його на одиницю, або 100%:

ТПР ТР 100.

4.МЕТОДИ АНАЛІЗУ ОСНОВНОЇ ТЕНДЕНЦІЇ (ТРЕНДУ) У РЯДАХ ДИНАМІКИ

Після того як установлена наявність тенденції в ряду динаміки, відбувається її

опис за допомогою методів згладжування.

Методи згладжування розділяються на дві основні групи:

1)згладжування або механічне вирівнювання окремих членів ряду динаміки

звикористанням фактичних значень сусідніх рівнів;

2)вирівнювання з застосуванням кривої, проведеної між конкретними рівнями таким чином, щоб вона відображала тенденцію, властивої ряду, і одночасно звільнила його від незначних коливань.

Роздивимося кожний із них.

Метод усереднення по лівій і правій половині. Розділяють ряд динаміки на дві частини, знаходять для кожній із них середнє арифметичне значення і проводять через отримані точки лінію тренда на графікові.

Метод укрупнення інтервалів. Якщо розглядати рівні економічних показників за короткі проміжки часу, то в силу впливу різноманітних чинників, що діють у різних напрямках, у рядах динаміки спостерігається зниження і підвищення цих рівнів. Це мішає бачити основну тенденцію розвитку досліджуваного явища.

75

Тому для наочного уявлення тренда застосовується метод укрупнення інтервалів, заснований на укрупненні періодів часу, до яких відносить рівні ряду. Наприклад, ряд щодобового випуску продукції заміняється рядом місячного випуску продукції і т.д.

Метод простої ковзної середньої. Згладжування ряду динаміки за допомогою ковзної середньої полягає в тому, що обчислюється середній рівень із визначеного числа перших один по одному рівень із такого ж числа рівнів, починаючи з другого, далі - починаючи з третього і т.д. Таким чином, при розрахунках середнього рівня як би "сковзають" по ряду динаміки від його початку до кінця, щораз відкидати один рівень на початку і добавляти один наступний .

Звідси назва - ковзна середня.

Кожна ланка ковзної середньої - це середній рівень за відповідний період, що відноситься до середини обраного періоду.

Для кожного конкретного ряду динаміки алгоритм розрахунку ковзної середньої наступний:

1.Визначити інтервал згладжування, тобто число вхідних у нього рівнів т

(т n);

2.Обчислити середнє значення рівнів, що утворять інтервал згладжування, по простої середньої арифметичної за умови, що т - нечетне число. Якщо число членів четне, то, щоб знайти ковзну середню, застосовують засіб центрування. Центрування полягає в перебуванні середньої з двох суміжних ковзних середніх для віднесення отриманого рівня до визначеної дати. При центруванні необхідно знаходити ковзні середні не центровані по цих сумах і середні з двох суміжних не центрованих ковзних середніх.

3.Зрушити інтервал згладжування на одну точку вправо, потім обчислити по формулі простий середньої арифметичної згладжене значення для одного члена, знову зробити зсув і т.д. У результаті послідовного застосування приведеної ітеративної процедури утвориться п-(т-1)нових згладжених

рівнів.

Метод простий ковзної середньої цілком правильний, якщо графічне зображення ряду динаміки нагадує пряму лінію. Проте, коли тренд вирівнюємого ряду має вигини і до того ж бажано зберегти дрібні хвилі, більш надійним є використання зваженої ковзної середньої.

Покажемо розрахунок 5 - річної і 4 - річної ковзних середніх на прикладі даних табл.10.6. Як бачимо, що сковзає середня дає більш-менш плавна зміна рівнів

(мал.10.1 -10.2).

Таблиця 10.6 Згладжування врожайності зернових культур у господарстві за 1985-2009 р.

методом ковзної середньої

Рік	Центн	Ковзні	П'ятилітн	Ковзні	Чотирирічні	Чотирирічні
	ерів із	п'ятиліт	і ковзні	чотириріч	ковзні середні	ковзні середні
	1 га	ні суми	середні	ні суми	(не центровані)	(центровані)

76

1985	9,5	-	-	-	-	-
1986	13,7	-	-	49,3	12,3	-
1987	12,1	62,5	12,5	53,0	13,2	12,8
1988	14,0	68,6	13,7	54,9	13,7	13,5
1989	13,2	70,3	14,1	58,2	14,6	14,1
1990	15,6	72,2	14,4	58,2	14,6	14,6
1991	15,4	75,8	15,2	62,5	15,7	15,1
1992	14,0	78,0	15,6	62,4	15,6	15,6
2002	17,6	73,5	14,7	57,9	14,5	15,0
2003	15,4	75,4	15,1	61,4	15,3	14,9
2004	10,9	76,4	15,3	58,8	14,7	15,0
2005	17,5	77,3	15,5	61,9	15,5	15,1
2006	15,0	76,1	15,2	65,2	16,3	15,8
2007	18,5	80,1	16,0	62,6	15,65	15,97
2008	14,2	-	-	-	-	-
2009	14,9	-	-	-	-	-

га	20
із 1
	15
ц
Врожайність,	10
	5
	0
	199419951996 19971998199920002001 20022003200420052006200720082009
		годы
	Центнеровс1га	Пятилетниескользящиесредние
Мал.10.1. Динаміка врожайності зернових культур у господарстві за 1985-2009 р.

га	20
с 1
	15
ц
Урожайность,	10
	5
	0
	1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
		годы
	Центнеров с 1 га	Четырехлетние скользящие средние

Мал.10.2. Динаміка врожайності зернових культур у господарстві за 1985-2009 р.

Вибір рівняння тренда, що відображає розвиток соціально-економічних явищ у часу. Для відображення основної тенденції розвитку явищ у часу

77

застосовуються різноманітні рівняння, поліном різного ступеня, експоненти,

логістичні криві й інші функції.
Поліном мають наступний вид:								= а0 + а1 t;
	поліном першого ступеня			у		t
	поліном другого ступеня			у	t = а0 + а1 t + а2 t2;
	поліном третього ступеня			у			t	= а0 + а1 t + а2 t2 + а3 t3;
	поліном n-го ступеня	у	t = а0 + а1 t + ...  + ап tп,

де а0, а1, а2, ... , ап - параметри поліном; t - умовне позначення часу.

У статистичній практиці параметри поліномів невисокого ступеня іноді мають конкретну інтерпретацію характеристик динамічного ряду Так, параметр а0 трактується як характеристика середній ряду динаміки, параметри а1, а2, а3 - зміна прискорення.

Окремі рівняння виражають різноманітні - типи динаміки. Монотонне зростання або убування процесу характеризують функції: 1) лінійна; 2)параболічна; 3)статечна; 4) експоненціальна проста (показова) і похідна від неї логарифмічна лінійка; 5) складна експоненціальна і похідна від неї логарифмічна парабола; 6) гіперболічна (головним чином убутних процесів); 7) комбінація їхніх видів.

Для вибору рівняння можна скористатися формулою стандартної помилки

			yt			t	2
	S				y
			n p 1				,

де р - число параметрів рівняння, або застосувати критерій найменшої суми квадратів відхилень емпіричних рівнів від теоретичних

n

S yt yt 2 min.

i1

Змножини можливих рівнянь тренда можна вибрати те рівняння, якому відповідає мінімальне значення, тобто критерій найменших квадратів відхилень, або використовувати формулу середньої помилки апроксимації:

1 n yt yt

t n t 1 yt 100.

Всі ці характеристики мають той самий зміст: показують, як близько аналітична функція вирівнювання обгинає всі значення вихідного ряду. Тому, проводячи порівняльну оцінку моделей тренда, можна використовувати лише одну з перерахованих характеристик. Результати такої оцінки, отримані на основі інших характеристик, як правило, збігаються. Найбільше часто в якості міри точності апроксимації вибирають залишкову дисперсію або залишкове квадратичне відхиленняРозрахунок. параметрів поліному різноманітними методами. Після того як вияснен характер кривої розвитку, необхідно визначити її параметри. Елементарний метод визначення параметрів рівняння тренда, описаного поліномом або експонентою, складається в рішенні системи рівнянь по відомих рівнях ряду

78

динаміки. Якщо, наприклад, даний ряд динаміки, подано табл.10.7, то, прийнявши умовні позначення часу через t і пропозицію взяти дві точки - кінцевий і початковий рівні, можна побудувати рівняння прямої по цим двох точках.

										Таблиця 10.7
		Динаміка виробництва готової продукції на фірмі
			2004				2005	2006	2007	2008	2009
Готова	продукція
фірми, тис. грн.			18				21	26	22	25	28
Рівень прямої має вид:				у	t	= а0 + а1 t. Для 2004 р. його рівень склав:

а0 + а1 * 1 = 18; для 2009 р.: а0 + 6 * а1 = 28.

Вирішуючи ці рівняння як систему рівнянь, одержимо: 10 = 5а1; а1 = 2; а0 = 286а1 = 28-12=16. Отже, наближена модель динаміки готової продукції

виражається рівнянням уt = 16 + 2t. Тут параметр а1 відповідає абсолютному приростуМожна. припустити і розвиток по параболі другого порядку: уt = а0 + а1 t + а2t2, але тоді варто взяти три точки, наприклад рівень 2004,2007,2009 р., тобто рівні при t=1, t=4, t=6.

Складемо систему трьох рівнянь із трьома невідомими:

а0	+ 1а1	+ 1а2 = 18;
а0	+ 4а1	+ 16а2	= 22;
а0	+ 6а1	+ 36а2	+ 28.

Вирішуємо цю систему, одержимо: а0 = 18, а1 = 0,3 і а2 = 0,3, а саме рівняння стосовно до нашого приклада висловиться уt = 18 + 0,3t + 0,3t2, що в наближеній формі визначить модель динаміки даного явища.

Метод найменших квадратів при розрахунку параметрів поліномів.

Позначимо послідовні параметри поліному як а0,,а1,а2. Тоді системи нормальних рівнянь для оцінювання параметрів прямої приймуть вид:

nа0 + а1 t= у; а0 t + а1 t2 = tу,

для параболи другого порядку:

nа0 + а1 t + а2 t2 = у а0 t+ а1 t2 + а2 t3 = уt; а0 t2 + а1 t3 + а2 t4 = уt2.

Рішення системи рівнянь щодо шуканих параметрів а0 і а1:

а у t2 t yt							,
0		n			t2 t 2
a	n yt y t					.
1	n			t2	t 2

Проте такий шлях розрахунку параметрів достатньо важкий, якщо він не виконується на ЕОМ. Тому перейдемо до спрощених прийомів розрахунку параметрів, застосування яких дає суттєву економію часу праці без якийсь утрати точності результатів.

79

Спрощений розрахунок параметрів полягає в переносі початку координат у середину ряду динаміки. У цьому випадку спрощуються самі нормальні рівняння, крім того, зменшуються абсолютні значення величин, що беруть участь у розрахунку. Справді, якщо до переносу координат t було дорівнює 1,2,3,…,n, то після переносу t= …,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…, якщо число членів ряду нечетне. Коли ж число ряду четне, то t=…,-5,-3,-1,1,3,5,… Отже, t, tp , у яких “р”нечетне число,

рівні 0. Таким чином, системи нормальних рівнянь тепер спрощуються для прямої:

nа0 = у; а1 t2 = tу,

для параболи другого порядку:

nа0 + а2 t2 = у а1 t2 = уt;

а0 t2 + а2 t4 = уt2.

Вирішуючи ці системи щодо невідомих параметрів, одержимо розміри параметрів відповідних поліномів.

Параметр а1 виражає початкову швидкість росту, а коефіцієнт а2 - постійну швидкість зміни приросту. Якщо рівень явища росте з прискоренням, то розмір цього прискорення в середньому за досліджуваний період дорівнює 2а2 одиницям.

Наприклад. Необхідно визначити основну тенденцію ряду динаміки врожайності зернових культур у господарстві за 1986-2009 р. за даними табл.10.8.

Почнемо визначення тенденції із самого простого поліному - рівняння прямої. Вирішуючи систему нормальних рівнянь, одержимо шукані параметри: а0=14,8; а1=0,17. А саме рівняння уявимо такою уявою:

уt = 14,8+0,17t,

що показує тенденцію динаміки врожайності зернових культур у 1986-2009 р., тобто протягом досліджуваного періоду врожайність зернових культур у господарстві збільшилася в середньому на 0,17 ц/га в рік.

Таблиця 10.8 Динаміка врожайності зернових культур у господарстві і визначення параметрів

рівняння методом найменших квадратів

	Рік	Врожайність ц із 1 га,	t	t2	уs t
						yt
		уі

80

1986	13,7	-7	49	-95,9	13,6
1987	12,1	-6	36	-72,6	13,8
1988	14,0	-5	25	-70,0	13,9
1989	13,2	-4	16	-52,8	14,1
1990	15,6	-3	9	-46,8	14,3
1991	15,4	-2	4	-30,8	14,5
1992	14,0	-1	1	-14,0	14,6
2002	17,6	0	0	0	14,8
2003	15,4	1	1	15,4	15,0
2004	10,9	2	4	21,8	15,1
2005	17,5	3	9	52,5	15,3
2006	15,0	4	16	60,0	15,5
2007	18,5	5	25	92,5	15,7
2008	14,2	6	36	85,2	15,8
2009	14,9	7	49	104,3	16,0
Разом	222,0	0	280	48,8	222,0

5. МОДЕЛІ СЕЗОННИХ КОЛИВАНЬ

У статистиці періодичні коливання, що мають визначений і постійний період, рівний річному проміжку, звуться “сезонні коливання”, або “сезонні хвилі”, а динамічний ряд у цьому випадку називають тренд - сезонним, або просто сезонним рядом динаміки.

Сезонні коливання характеризуються спеціальними показниками, що називаються індексами сезонності (Is). Сукупність цих показників відбиває сезонну хвилю. Індексами сезонності є процентні відношення фактичних внутрішньорічних рівнів до постійного або змінної середньої.

Для виявлення сезонних коливань звичайно беруть дані за декілька років, розподілені по місяцях. Дані за декілька років (не менше трьох) використовуються для того, щоб виявити стійку хвилю, на якій не відбивалися б випадкові умови одного року.

Якщо ряд динаміки не містить яскраво вираженої тенденції в розвитку, то індекси сезонності обчислюються безпосередньо по емпіричним даним без їхнього попереднього вирівнювання.

Для кожного місяця розраховується середній розмір рівня, наприклад за три року (уі), потім із них обчислюється середньомісячний рівень для всього ряду (у), і на закінчення визначається процентне відношення середніх для кожного місяця до середньомісячного рівня ряду, тобто

Is yi 100%. y

Наприклад. Розрахуємо індекси сезонності на місячних даних про внутрішньорічну динаміку числа розірваних шлюбів.

За даними табл.10.9 обчислимо усереднені значення рівнів по однойменних періодах засобом середній арифметичної простій:

81

				Січень:		у		195 158 144	165,7;
						t		3
				164 141 136
	Лютий:	у			147,0і т.д. (гр. 4 табл.10.9).
		t		3

Потім по обчислених помісячних середніх рівнях визначимо загальний середній рівень:

y 165,7 147,0 150,7 ... 131,7 139,7 135,4. 12

Далі розрахуємо по місяцях року індекси сезонності:

Січень: Is 165,7 100 122,4%; 135,4

Лютий: Is 147,0 100 108,6%; і т.і. (гр. 5 табл.10.9). 135,4

Таблиця 10.9 Динаміка шлюбів, розірваних населенням міста, і розрахунок індексів

сезонності

Місяць		Число розірваних шлюбів				Індекс сезонності
	2007	2008	2009	У середньому за три		I	s			y	i	100%
	уі	уі	уі	роки
										y
				у	і
А	1	2	3	4				5
Січень	195	158	144	165,7				122,4
Лютий	164	141	136	147,0				108,6
Березень	153	153	146	150,7				111,3
Квітень	136	140	132	136,0				100,4
Травень	136	136	136	136,0				100,4
Червень	123	129	125	125,7				92,8
Липень	126	128	124	126,0				93,1
Август	121	122	119	120,7				89,1
Вересень	118	118	118	118,0				87,2
Жовтень	126	130	128	128,0				94,5
Листопад	129	131	135	131,7				97,3
Грудень	138	141	139	139,3				102,9
Середній
рівень ряду	138,77	135,6	131,8	135,4				100,0

Сукупність обчислених індексів сезонності характеризує сезонну хвилю розвитку шлюбів, розірваних населенням міста, у внутрішньорічної динаміці. Для наочного одержання уявлення про сезонну хвилю бажано зобразити отримані дані у виді лінійної діаграми.

Якщо ж ряд динаміки містить визначену тенденцію в розвитку, то перед тим, як обчислити сезонну хвилю, фактичні дані повинні бути оброблені так, щоб була виявлена загальна тенденція. Звичайно для цього прибігають до аналітичного вирівнювання ряду динаміки.

82

При використанні аналітичного вирівнювання хід обчислень індексів сезонності такий (табл.10.10):

по відповідному поліному обчислюються для кожного місяця (кварталу) вирівняні рівні на момент часу (t) (гр.2);

визначаються відношення фактичних місячних (квартальних) даних (уі) до відповідних вирівняних даних (уt) у відсотках (гр.3);

Iі = (уі : уt) . 100;

знаходяться середні арифметичні з процентних співвідношень, розрахованих по однойменних періодах у відсотках (гр.4):

Ii = ( I1 + I2 + I3 + ... + Iп):n ,

де n - число однойменних періодів.

Таблиця 10.10 Динаміка поквартального продажу безалкогольних напоїв в однієї з областей

України за 2007-2009 р. і розрахунок сезонної хвилі

Рік і	Млн.		Теоретичні		Індекс					Індекс сезонності по
квартал	дкл		рівні	сезонності по						однойменних кварталах
	уі	у	t =88,3+0,13t		кожному							y
				кварталі року						IS				i	: n
												yt
				уi : yt 100
А	1	2						3			4
2007
1	58,4	86,2			67,8					67,6
2	125,6	86,6			145,0					140,4
3	108,1	87,0			124,3					121,7
4	60,8	87,3			69,6					70,3
2008
1	57,7	87,7			65,8					67,6
2	115,4	88,1			131,0					140,4
3	103,9	88,5			117,4					121,7
4	60,6	88,9			68,2					70,3
2009
1	61,8	89,2			69,3					67,6
2	130,2	89,7			145,3					140,4
3	111,0	90,0			123,3					121,7
4	66,1	90,4			73,1					70,3
Разом	1059,6	1059,6			1200					1200
У загальному виді формулу розрахунку індексу сезонності даним засобом
можна записати так:
						y
				IS			i		: n.
						y
						t

Розрахунок закінчується перевіркою правильності обчислень індексів. Тому що середній індекс сезонності для всіх місяців (кварталів) повинен бути 100%, то

83

сума отриманих індексів по місячним даним дорівнює 1200, а сума по чотирьох кварталах - 400.

У результаті проведених розрахунків у табл.10.10 одержали ряд індексів (гр.4), що характеризують сезонну хвилю продажу безалкогольних напоїв (у відсотках до середньорічного продажу, прийнятої за 100%) по кварталах.

6. ЕЛЕМЕНТИ ПРОГНОЗУВАННЯ І ІНТЕРПОЛЯЦІЇ

Важливе місце в системі методів прогнозування займають статистичні методи. Застосування прогнозування припускає, що закономірність розвитку, що діє в минулому (усередині ряду динаміки), збережеться й у прогнозованому майбутньому, тобто прогноз заснований на екстраполяції. Екстраполяція, проведена в майбутнє, називається перспективної й у минуле - ретроспективної. Звичайно, говорячи про екстраполяцію рядів динаміки, розуміють частіше усього перспективнуТеоретичноюекстраполяціюосново .поширення тенденції на майбутнє є відома властивість соціально-економічних явищ, називана інерційнносттю. Саме інерційнність дозволяє виявити сформовані взаємозв'язки як між рівнями динамічного ряду, так і між групою зв'язкових рядів динаміки. На основі рядів динаміки утворюються дуже надійні прогнози, якщо рівні ряду динаміки порівняні й отримані на основі єдиної методології.

Застосування екстраполяції в прогнозуванні базується на таких передумовах:

розвиток досліджуваного явища в цілому варто описувати плавною кривою;

загальна тенденція розвитку явища в минулому і дійсному не повинна перетерплювати серйозних змін у майбутньому.

Тому надійність і точність прогнозу залежать від того, наскільки близькими до дійсності виявляться ці припущення, а також як точно вдалося охарактеризувати виявлену в минулому закономірність. Екстраполяцію варто розглядати як початкову стадію побудови остаточних прогнозів.

Тому що аналізовані економічні ряди динаміки нерідко щодо короткі, то тимчасовий горізонт екстраполяції не може бути безкінечним. Тому, чим коротше термін екстраполяції (період попередження),тим більше надійні і точні результати (за інших рівних умов) дає прогноз. За короткий період не встигають сильно змінитися умови розвитку явища і характер його динаміки.

Найбільше поширеним методом прогнозування вважають аналітичне вираження тренда. При цьому для виходу за межі досліджуваного періоду достатньо продовжити значення незалежної змінної часу (t).

Любий статистичний прогноз носить наближений характер. Тому доцільно визначення довірчих інтервалів прогнозу.

Розмір довірчого інтервалу визначається в такий спосіб:

yt ta yt

де yt - середня квадратична помилка тренда; yt - розрахункове значення рівня;

t - довірчий розмір.