конспект_статистика

44

У той же час у регіоні 1 цей показник складає 38,1% середнього значення.

K0 40 100% 38,1%. 105

2. Відносне лінійне відхилення характеризує частку усередненого значення абсолютних відхилень від середнього розміру.

d

Kd x 100%.

У регіоні 2 він склав 21,7% проти 5,3% у регіоні 1.

K				5,6	100 5,3%, K		22,8	100 21,7%,
			105
	d1					d2 105

3. Коефіцієнт варіації.

100%, x

8 27,5

1105 100 7,6%, 2 105 100 26%.

Зогляду на, що середнєквадратичне відхилення дає узагальнюючутоді

характеристику коливальності усіх варіантів сукупності, коефіцієнт варіації є найбільше поширеним показником коливальності, використовуваним для оцінки типовості середніх розмірів. При цьому виходять із того, що якщо більше 40%, те це говорить о великій коливальності ознаки в досліджуваній сукупності. У нашому прикладі коефіцієнт варіації підтверджує велику коливальність товарообігу в регіоні 2. Можна визначити три показника коливальності ознаки в сукупності: загальну дисперсію, міжгрупову дисперсію і середню з внутрішньогрупових дисперсій.

Загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки, що залежить від всіх умов у даній сукупності. Обчислюється загальна дисперсія по формулі

02 xi x0 2 fi ,

fi

де x0 - загальна середня для всієї досліджуваної сукупності.

Міжгрупова дисперсія відбиває варіацію досліджуваної ознаки, що виникає під впливом ознаки-чинника, призначеного в основу угруповання. Вона характеризує коливальність групових (приватних) середніх xi біля загальної

середньої x0 . Міжгрупова дисперсія обчислюється по формулі

2 xi x0 2 fi ,

fi

де xi - середня по окремих групах; x0 - середня загальна; fi - чисельність окремих груп.

Середня з внутрішньогрупових дисперсій характеризує випадкову варіацію в кожній окремій групі. Ця варіація виникає під впливом інших, не що враховуються чинників і не залежить від умови (ознаки-чинника), покладеного в основу групування. Визначається вона по формулі

2i2 fi

i fi .

45

Загальна дисперсія дорівнює сумі розмірів міжгрупової дисперсії і середньої з внутрішньогрупових дисперсій:

02 2 2 .

Це правило (закон) додавання варіацій (дисперсій) має велику практичну значимість, тому що дозволяє виявити залежність результатів від визначальних чинників співвідношенням міжгрупової і загальної дисперсії (коефіцієнт

детермінації):	2		2
				.
			2
			0

Дисперсія альтернативної ознаки дорівнює творові частки одиниць, що володіють ознакою, і частки одиниць, що не володіють ім. 2p pq

Наприклад, 10000 населення: 4000 чоловіків, 6000 жінок.

p 4000 0,4, q 6000 0,6, 10000 10000

2p pq 0,4 0,6 0,24.

p q не може бути більше 1, pq не може бути більше 0,25.

з2 0,24 0,49.

ТЕМА 8. ВИБІРКОВИЙ МЕТОД.

1.Вибіркове спостереження як найважливіше джерело статистичної інформації.

2.Основні засоби формування вибіркової сукупності.

3.Визначення необхідного обсягу вибірки.

46

4.Оцінка результатів вибіркового спостереження і поширення їх на генеральну сукупність.

5.Мала вибірка.

1. ВИБІРКОВЕ СПОСТЕРЕЖЕННЯ ЯК НАЙВАЖЛИВІШЕ ДЖЕРЕЛО СТАТИСТИЧНОЇ ІНФОРМАЦІЇ

Під вибірковим спостереженням розуміється таке не суцільне спостереження, при якому статистичному обстеженню (спостереженню) піддаються одиниці досліджуваної сукупності, відібрані випадковим засобом. Вибіркове спостереження ставить перед собою задачу - по що обстежиться частині дати характеристику всієї сукупності одиниць за умови дотримання всіх правил і принципів проведення статистичного спостереження і науково організованої роботи з відбору одиниць.

Сукупність відібраних для обстеження одиниць у статистиці прийнято називати вибірковою, а сукупність одиниць, із яких відбувається відбір, - генеральОсноювні. характеристики параметрів генеральної і вибіркової сукупностей позначаються визначеними символами (табл.8.1)

Таблиця 8.1 Символи основних характеристик параметрів генеральної і вибіркової

сукупностей

№

Характеристика

Генеральна

Вибіркова

п/п

сукупність

сукупність

1

Обсяг

сукупності

(чисельність одиниць)

N

N

2

Чисельність

одиниць,

що

володіють обстеженою озна-

M

m

3

Часткакою

одиниць,

що

P

M

W

m

володіють

обстеженою

N

n

4

Середнійознакою розмір ознаки

xi

~

xi

x

N

x

n

5

Дисперсія кількісної ознаки

2

~

2

2

~

2

xi x

xi x

~

x

n

x

n

6

Дисперсія частки

2

2

pq

W(1 W)

p

sw

Помилка вибіркового спостереження - це різниця між розміром параметра в генеральній сукупності і його розмірі, обчисленої за результатами вибіркового спостереження. Для середнього значення помилка буде визначатися так:

~x x ~x ,

	де			xi	;	~	xi	.
		x
				N		x	n

Величина ~x називається граничною помилкою вибірки.

47

Величина , що виражає середнє квадратичне відхилення вибіркової середньої від генеральної середньої, залежить від коливальності ознаки в генеральній сукупності і числа відібраних одиниць n. Ця залежність виражається

формулою:

,

n

де залежить також і від засобу виробництва вибірки.

Величину

2

називають середньою помилкою вибірки і позначають .

n

У цьому

вираженні

2

- генеральна дисперсія,

а

n - обсяг

вибіркової

сукупності.

Співвідношення між

дисперсіями

генеральної

і

вибіркової

сукупності

виражається формулою:

n

2

2

,

~

n

x

x

n 1

Оскільки

величина

при достатньо

великих

n

близька до

1, можна

n 1

вважати, що вибіркова дисперсія дорівнює генеральної дисперсії, тобто ген2 выб2 .

~x t 2 n

~x - гранична помилка вибірки, що дає можливість з'ясувати, у яких границях знаходиться величина генеральної середньої. Значення цього інтеграла для різноманітних значень коефіцієнта t обчислені і приводяться в спеціальних математичних таблицях. Зокрема, при

t = 1 Ф(t) = 0,683;							t = 1,5 Ф(t) = 0,866;
t = 2		Ф(t) = 0,954;					t = 2,5			Ф(t) = 0,988;
t = 3 Ф(t) = 0,997;							t = 3,5			Ф(t) = 0,999.
							~
Знаючи вибіркову середню величину ознаки x і граничної помилки вибірки
(DX), можна визначити межа (межі), у яких укладена генеральна середня:
~				~		або	~
x	x	x x			x		x x ~
										x

Гранична величина різниці між частосттю і часткою називається граничною помилкою вибірки. Про величині граничної помилки можна судити з не якою ймовірністю, що залежить від множника t, w t .

2. ОСНОВНІ ЗАСОБИ ФОРМУВАННЯ ВИБІРКОВОЇ СУКУПНОСТІ

По виду розрізняють індивідуальний, груповий і комбінований відбір. При індивідуальному відборі у вибіркову сукупність відбираються окремі одиниці генеральної сукупності, при груповому відборі - групи одиниць, а комбінований відбір припускає сполучення групового й індивідуального відбору.

Метод відбору визначає можливість продовження участі відібраної одиниці в процедурі відбору.

Безповоротним називається такий відбір, при якому одиниця, що потрапила у вибірку, не повертається в сукупність, із якої здійснюється подальший відбір.

48

При повторному відборі одиниця, що потрапила у вибірку, після реєстрації що спостерігаються ознак повертається у вихідну (генеральну) сукупність для участі в подальшій процедурі відбору. При цьому методі відбору обсягу генеральної сукупності на всьому протязі процедури вибірки залишається незмінним, що обумовлює постійна ймовірність влучення у вибірку всіх одиниць сукупності.

Засіб відбору. У практиці вибіркових обстежень найбільше поширення одержали такі вибірки:

·власне-випадкова;

·механічна;

·типова;

·серійна;

·комбінована.

Власне-випадкова вибірка полягає у відборі одиниць із генеральної сукупності навмання або на удачу, без яких-небудь елементів системності.

Середня помилка повторної власне-випадкової вибірки визначається по формулі:

.

n

Припустимо, у результаті вибіркового обстеження житлових умов жителів міста, здійсненого на основі власне-випадкової повторної вибірки, отриманий такий ряд розподілу (табл. 8.2).

Таблиця 8.2 Результати вибіркового обстеження житлових умов жителів міста

Загальна	До 5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30	30 і
(корисна) площа							більш
оселі, що
припадає на 1
2	8	95	204	270	210	130	83
Чисчоловжителівка, м

Для визначення середньої помилки вибірки нам необхідно, насамперед, розрахувати вибірковий середній розмір і дисперсію досліджуваної ознаки (табл.

	8.3).		~	19005
			x				19;
				1000
	2		412250			192		51,25;
			1000

51,25 7,16.

Середня помилка вибірки складе:

~x 7,16 0,23м2 .

1000

Таблиця 8.3 Розрахунок середньої загальної (корисної) площі оселі, що припадає на 1

чоловіка і дисперсії

49

Загальна (корисна)	Число	Середина	xf	х2 f
площа оселі, що	жителів	інтервалу
припадає на 1	f	x
чоловіка, м2
До 5,0	8	2,5	20,0	50,0
5,0-10,0	95	7,5	712,5	5343,75
10,0-15,0	204	12,5	2550,0	31875,0
15,0-20,0	270	17,5	4725,0	82687,5
20,0-25,0	210	22,5	4725,0	106321,5
25,0-30,0	230	27,5	3575,0	98312,5
30,0 і більш	83	32,5	2697,0	87668,75
Разом	1000	-	19005,0	412250,0

Визначимо граничну помилку вибірки з ймовірністю 0,954 (t=2):

~x t ~x 2 0,23 0,46м2.

Встановимо межу генеральної середньої:

~x ~x x ~x ~x  ,

або з урахуванням отриманих значень:

18,54 ~x 19,46.

Таким чином, на підставі проведеного вибіркового обстеження з ймовірністю 0,954 можна укласти, що середній розмір загальної площі, що припадає на одну людину, у цілому по місту лежить у межах від 18,5 до 19,5 м2.

При розрахунку середньої помилки власне-випадково безповторної вибірки необхідно враховувати поправку на безповторність відбору

	2	(1	n	) .
	n
			N

Якщо припустити, що подані в табл. 8.2 дані є результатом 5%-ного безповоротного відбору (отже, генеральна сукупність включає 20 000 одиниць), то середня помилка вибірки буде декілька менше:

	51,25		1000		0,22м	2	.
~		1
x	1000		20000

Скористаємося ще раз даними табл. 8.2 для того, щоб визначити межу частки осіб, забезпеченість житлом яких складає менше 10 м2. Відповідно до результатів обстеження, чисельність таких осіб склала 103 чоловік. Визначимо вибіркову частку і дисперсію:

W 103 0,103, 1000

W2 w(1 w) 0,103 0,897 0,0924.

Розрахуємо середню помилку вибірки

ц 0,0924(1 1000 ) 0,0094.

1000 20000

Гранична помилка вибірки з заданою ймовірністю складе

ц 2 0,0094 0,0188.

50

Визначимо межі генеральної частки

0,103 0,019 0,103 0,019,

або

0,084 р 0,122.

Отже ,із ймовірністю 0,954 можна підтверджувати ,що частка осіб маючих менше 10м2 на людину , у цілому по місту знаходиться в межах від 8,4 до 12,2%.

Механічна вибірка застосовується, коли генеральна сукупність яким-небудь способом упорядкована, тобто є визначена послідовність у розташуванні одиниць (табельні номера робітників, списки виборців, телефонні номера респондентів, номера будинків і квартир і т.п.).

Типичний відбір. Цей засіб відбору використовується в тих випадках, коли всі одиниці генеральної сукупності можна розбити на декілька типичних груп. При вибірці. Пропорційної обсягу типичних груп, число одиниць, що підлягають відборові з кожної групи, визначається в такий спосіб:

ni n NI , N

де Nі - обсяг i-ї групи;

Nі - обсяг вибірки i-ї групи.

Середня помилка такої вибірки знаходиться по формулах:

2

(повторний відбір),

n

2

n

(безповторний відбір),

1

n

N

де

2 - середня з внутрішньогрупових дисперсій.

При вибірці, пропорційної диференціації ознаки, число спостережень по

кожній групі розраховується по формулі:

iNI

n n

,

i

I NI

де i - середнє квадратичне відхилення ознаки в i - ї групі. Середня помилка такого добору визначається в такий спосіб:

1

2

2

i Ni

(повторний відбір),

N

n

i

1

2

2

ni

i

Ni

(безповторний відбір).

N

n

1

N

i

i

Роздивимося обидва варіанти типичної вибірки на умовному прикладі. Припустимо, 10%-й безповторний типичний відбір робітників підприємства, пропорційний розмірам цехів, проведений із метою оцінки втрат через тимчасову непрацездатність, призвів до таких результатів (табл.8.4).

Таблиця 8.4

Результати обстеження робітників підприємства

				51
Цех	Усього робочих,	Обстежено,	Число днів тимчасової
	чоловік	чоловік	непрацездатності за рік
			середня	дисперсія
I	1000	100	18	49
II	1400	140	12	25
III	800	80	15	16

Розрахуємо середню з внутрішньогрупових дисперсій:

		2		i2ni		49 100 25 140 16 80
				ni			30,25.
						100 140 80

Визначимо середню і граничну помилки вибірки (із ймовірністю 0,954):

		30,25		320
	~		1			0,29;
		320		3200
	x

		\s 12 ~ = 2.0,29 = 0,58.
			x
Розраховуємо вибіркову середню :
~	xini		18 100 12 140 15 80		дня.
x	ni			14,6
			100 140 80

З ймовірністю 0,954 можна зробити висновок, що середнє число днів тимчасової непрацездатності одного робітника в цілому по підприємству знаходиться в межах:

14,6 0,58 x 14,6 0,58.

Скористаємося отриманими внутрішньогруповими дисперсіями для проведення відбору, пропорційного диференціації ознаки. Визначимо необхідний обсяг вибірки по кожному цеху:

iNi 49 1000 25 1400 16 800 17200;

n1 320 49 1000 130чоловік; 17200

n2 320 25 1400 130 чоловік; 17200

n3 320 16 800 60 чоловік. 17200

З урахуванням отриманих значень розрахуємо середню помилку вибірки:

	1			49 10002		130				25 14002		130				16 8002		60
~					1						1						1			0,28.
						1000						1400				60		800
x	3200			130						130

У даному випадку середня, а отже, і гранична помилки будуть декілька менше, що відіб'ється і на межах генеральної середньої.

Серійний відбір. Даний засіб відбору зручний у тих випадках, коли одиниці сукупності об'єднані в невеличкі групи або серії.

Оскільки усередині груп (серій) обстежаться усе без винятку одиниці, середня помилка серійної вибірки (при відборі рівновеликих серій) залежить від розміру тільки міжгрупової (міжсерійної) дисперсії і визначається по таких формулах:

52

					2			(повторний відбір),
					r
			2			r			(безповторний відбір),
				1
			r
						R

де r - число відібраних серій; R- загальне число серій.

Міжгрупову дисперсію обчисляють у такий спосіб:

2 xi ~x 2

r

де ~xi - середня i-й серії;

~x - загальна середня по усій вибірковій сукупності.

Комбінований відбір. У практиці статистичних обстежень крім розглянутих вище засобів відбору застосовується і їхня комбінація. Так, наприклад, можна комбінувати типичну і серійну вибірки, коли серії відбираються у встановленому порядку з декількох типичних груп. Можлива також комбінація серійного і власневипадкового відборів, при котрої окремі одиниці відбираються усередині серії у власне-випадковому порядку. Помилка такої вибірки визначається ступінчастістю відбору.

Багатоступінчастим називається відбір, при якому з генеральної сукупності спочатку витягаються укрупнені групи, потім - більш дрібні і так доти, поки не будуть відібрані ті одиниці, що піддаються обстеженню.

На відміну від багатоступінчастої багатофазна вибірка припускає зберігання однієї і тієї ж одиниці відбору на всіх етапах його проведення, при цьому відібрані на кожній стадії одиниці піддаються обстеженню (на кожній наступній стадії відбору програма обстеження розширюється).

Виходячи з вищевикладеного призведемо формули граничної помилки вибірки для найбільше часто використовуваних на практиці засобів формування вибіркової сукупності (табл.8.5).

Таблиця 8.5

Гранична помилка вибірки для деяких засобів формування вибіркової сукупності

Метод

Повторний

Безповторний

відбору

для середньої

для частки

для середньої

для частки

Вибірка

w1 w

1. Власне-випадкова і

2

t

2

n

w1 w

n

механічна

t

n

t

1

t

n

1

n

n

N

N

2.

Типична

(при

2

t

w 1 w

2

n

w 1 w

n

пропорційному

обсягу

t

I

i

i

t

i

1

t

i

i 1

груп відборі)

n

n

n

N

n

N

3. Серійна (гніздова)

2

t

2

2

R r

t

2

R r

t

x

w

t

x

w

r

r

r R 1

r R 1

3. ВИЗНАЧЕННЯ НЕОБХІДНОГО ОБСЯГУ ВИБІРКИ

При проектуванні вибіркового спостереження виникає питання про необхідну

чисельність вибірки.

53

Призведемо формули необхідного обсягу вибірки для найбільше часто використовуваних на практиці засобів формування вибіркової сукупності (табл.8.6).

Таблиця 8.6 Необхідний обсяг вибірки для деяких засобів формування вибіркової

сукупності

Вид вибіркового

Повторний відбір

Безповторний відбір

спостереження

Власне - випадкова

вибірка:

t

2

2

t

2

2

n

~

n

~ N

а) при визначенні середнього

x

x

2

2

N

t

2

2

~

~

~

розміру ознаки

x

x

x

t2

W 1 W

t2

W 1 W N

б) при визначенні частки

n

n

2W

2W N t2 W 1 W

ознаки

Механічна вибірка

те ж

те ж

Типична вибірка:

t

2

2

t

2

2

а) при визначенні середнього

n

~

n

~ N

x

x

розміру ознаки

2

2

2

2

~ N

t

~

б) при визначенні

x

x

x

t2

t2

n

W 1 W

n

W 1 W N

частки ознаки

2W

2W N t2 W 1 W

Серійна вибірка:

t

2

2

t

2

2

а)при визначенні середнього

r

~

~ R

x

r

x

розміру ознаки

2

2

2

2

~

R t

~

x

x

x

б)при визначенні частки

r

t2

Wr 1 Wr

r

t2 Wr

1 Wr R

ознаки

2

2

2

Wr

1 Wr

W

W R t

4. ОЦІНКА РЕЗУЛЬТАТІВ ВИБІРКОВОГО СПОСТЕРЕЖЕННЯ І ПОШИРЕННЯ ЇХ НА ГЕНЕРАЛЬНУ СУКУПНІСТЬ

Висновок про можливість поширення в значній мірі залежить від якості основи вибірки, насамперед від її повноти. Під повнотою припускається наявність або репрезентованість усіх типів або груп даної генеральної сукупності в основі вибірки.Більш точною основою судження про можливість поширення рекомендується розрахунок відносної помилки:

~

для середньої: % x 100% x

для частки: % W 100% p

де % - відносна гранична помилка вибірки;

x і W - гранична помилка для середнього значення або частки ознаки відповідно;

xі p - генеральна середня і частка відповідно.

5.МАЛА ВИБІРКА