Пример выполнения задания (вариант №12)
Дано:
кг;
кг;
сек–1;
м;
м;
м;
Н·м;
сек;
сек;
м.
Найти угловую скорость тела
при
и при
.
Решение
К
решению задачи применим теорему об
изменении кинетического момента
механической системы, выраженную
уравнением:
,
где
– кинетический момент системы, состоящей
из тела
и точки
,
относительно оси
;
– главный момент внешних сил, приложенных
к системе, относительно оси
.
На систему за время от
до
действуют силы: вес
тела, вес
точки
,
пара сил с моментом
и реакции подпятника и подшипника.
Предполагая вращение тела
против часовой стрелки, найдем текущее
значение кинетического момента системы,
который складывается из кинетического
момента тела
и момента количества движения точки
,
находящейся в точке
тела
(в нашем случае точка
совпадает с точкой
)
и имеющей скорость
:
.
Таким образом,
.
Главный момент внешних сил равен
вращающему моменту
,
так как другие силы момента относительно
оси
не создают. Уравнение, выражающее теорему
об изменении кинетического момента,
примет вид
,
(1)
где
Н·м,
а
кг·м2.
Разделим в уравнении (1) переменные и проинтегрируем левую и правую части уравнения:
,
откуда
.
(2)
Подставив в уравнение (2) числовые значения уже известных величин, получаем
,
сек–1.
В течение промежутка времени от
до
на систему действуют силы
,
,
реакции подпятника и подшипника.
Поскольку вращающий момент
снимается, т. е.
,
то
,
const.
Определим значения кинетических моментов
при
и
при
и приравняем эти значения.
Для
кг·м2/сек.
(3)
При
скорость точки
складывается из относительной скорости
по отношению к телу
и переносной скорости
в движении вместе с телом
.
Поэтому для
покажем два вектора количества движения
точки:
и
.
В нашем случае линия действия вектора
пересекает ось
,
следовательно, кинетический момент
вектора
относительно этой оси равен нулю.
Для
:
. (4)
Величину отрезка
можно найти из выражения:
В момент времени
точка
окажется на расстоянии
,
отсчитываемом вдоль желоба
,
от точки
.
Это равносильно тому, что
,
,
из чего следует
м.
В результате уравнение кинетического момента (4) примет вид:
.
Приравнивая
и
:
,
находим
сек–1.
Ответ:
сек–1,
сек–1.
Задание 4 Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
Механическая система под действием сил
тяжести приходит в движение из состояния
покоя. Учитывая трение скольжения тела
(варианты 1–3, 5, 6, 8–12, 17–23) и сопротивление
качению тела
,
катящегося без скольжения (варианты 2,
4, 6–9, 11, 13–15, 20, 21, 24), пренебрегая другими
силами сопротивления и массами нитей,
предполагаемых нерастяжимыми, определить
скорость тела
в тот момент, когда пройденный им путь
станет равным
.
В задании приняты следующие обозначения:
– массы тел
;
– радиусы больших и малых окружностей;
– радиусы инерции тел
и
относительно горизонтальных осей,
проходящих через их центры тяжести;
– углы наклона плоскостей к горизонту;
– коэффициент трения скольжения тела
;
– коэффициент трения качения тела
.
Необходимые для решения данные приведены
в табл. 4. Блоки и катки, для которых
радиусы инерции в таблице не указаны,
считать сплошными однородными цилиндрами.
Во всех вариантах
.
Таблица 4
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
см |
м |
Дополнительные данные |
|
кг |
см |
см |
град | ||||||||||
|
1 |
4m |
m/5 |
4m/3 |
– |
– |
– |
– |
60 |
– |
0,10 |
– |
2 |
|
|
2 |
m/2 |
m/3 |
– |
– |
30 |
– |
20 |
30 |
45 |
0,22 |
0,20 |
2 |
|
|
3 |
m |
m/10 |
m |
– |
– |
– |
– |
45 |
– |
0,10 |
– |
2 |
|
|
4 |
2m |
40m |
m |
20 |
40 |
18 |
– |
– |
– |
– |
0,30 |
|
массами FK, KC и ползуна K пренебречь |
|
5 |
2m |
m |
– |
20 |
15 |
18 |
– |
60 |
– |
0,12 |
– |
|
массой водила пренебречь |
|
6 |
3m |
m |
– |
– |
28 |
– |
– |
30 |
45 |
0,10 |
0,28 |
1,5 |
|
|
7 |
2m |
2m |
– |
16 |
25 |
14 |
– |
30 |
– |
– |
0,20 |
2 |
|
|
8 |
m/2 |
m/3 |
– |
– |
30 |
– |
– |
30 |
45 |
0,15 |
0,20 |
1,75 |
|
|
9 |
2m |
9m |
– |
– |
30 |
– |
20 |
30 |
– |
0,12 |
0,25 |
1,5 |
|
|
10 |
m/4 |
m/4 |
m/5 |
– |
– |
– |
– |
60 |
– |
0,10 |
– |
3 |
|
|
11 |
m/2 |
m/4 |
– |
– |
30 |
– |
25 |
30 |
45 |
0,17 |
0,20 |
2,5 |
|
|
12 |
m/2 |
m/5 |
m |
30 |
– |
20 |
– |
30 |
– |
0,20 |
– |
2,5 |
|
|
13 |
2m |
5m |
2m |
30 |
20 |
26 |
– |
30 |
– |
– |
0,24 |
2 |
|
|
14 |
m/2 |
5m |
4m |
– |
25 |
– |
– |
– |
– |
– |
0,20 |
2 |
массы колес равны |
|
15 |
m/2 |
4m |
m/2 |
20 |
15 |
18 |
– |
60 |
– |
– |
0,25 |
1,5 |
|
|
16 |
m/10 |
m/20 |
m/10 |
10 |
12 |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
|
массой водила пренебречь |
|
17 |
m/4 |
m/5 |
m/10 |
20 |
– |
15 |
– |
60 |
– |
0,10 |
– |
|
шатун EF – тонкий однородный стержень |
|
18 |
3m |
m |
– |
35 |
15 |
32 |
– |
60 |
– |
0,15 |
– |
|
массой водила пренебречь |
|
19 |
m/3 |
m/10 |
m |
24 |
– |
20 |
– |
60 |
– |
0,15 |
– |
1,5 |
|
|
20 |
2m |
20m |
– |
20 |
15 |
16 |
– |
30 |
– |
0,10 |
0,20 |
|
массами FK, KC и ползуна K пренебречь |
|
21 |
m |
2m |
– |
20 |
20 |
16 |
– |
30 |
45 |
0,20 |
0,32 |
1,2 |
|
|
22 |
m/2 |
m/4 |
– |
20 |
10 |
– |
– |
60 |
– |
0,17 |
– |
|
массой водила пренебречь |
|
23 |
m |
m/10 |
4m/5 |
20 |
– |
18 |
– |
30 |
– |
0,10 |
– |
1 |
|
|
24 |
3m |
20m |
– |
20 |
30 |
18 |
– |
– |
– |
– |
0,60 |
|
массами FK, KC и ползуна K пренебречь |
