Пример выполнения задания (вариант №12)

Дано: кг;см;см;см;;;;.

Найти: максимальную величину постоянной силы и уравнение движения центра тяжести колеса.

Решение

На колесо действуют силы: вес колеса , нормальная реакция, силаи сила сцепления. В соответствии с направлением силывращение колеса происходит по часовой стрелке, т. е. колесо катится вверх по наклонной плоскости. Силунаправляем предположительно, как показано на рисунке. Действительное направление этой силы устанавливается в процессе решения задачи. Оси координат выбираем так, чтобы осьбыла направлена в сторону движения колеса.

Дифференциальные уравнения плоского движения колеса имеют вид:

;

;

или в данном случае:

; (1)

; (2)

. (3)

Знак у момента силы в уравнении (3) принимаем положительным, если момент способствует вращению колеса, и отрицательным – в обратном случае.

Принимая во внимание, что , из уравнения (2) можно найти силу нормальной реакции опоры:

.

При качении колеса без скольжения угловая скорость

или,

откуда

.

Таким образом, уравнение (3) принимает следующий вид:

. (3')

Для исключения разделим уравнение (1) на (3'):

,

откуда

. (4)

Выражение (4) дает возможность судить о правильности выбранного направления силы сцепления. Приближение силы к своему предельному значению сопровождается возрастанием силы сцепления. Поэтому в выражении (4), приведенном к виду

,

коэффициент должен быть положительным. В противном случае следует изменить направлениена обратное и внести соответствующие изменения в дифференциальные уравнения (1) – (3).

Максимальное значение силы сцепления:

.

Подставляя максимальное значение в уравнение (4) и решая его относительно, найдем максимальное значение силы, при действии которой колесо катится без скольжения:

или после подстановки величин:

Н.

Сила сцепления

Н.

Дифференциальное уравнение движения центра колеса

,

откуда

м/сек².

Дважды интегрируя это дифференциальное уравнение, находим:

Принимая во внимание, что при значенияи, определяем:

и.

Следовательно, уравнение движения центра колеса имеет вид:

м.

Ответ:Н,м.

Задание 6 Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с двумя степенями свободы

Механическая система тел движется под воздействием постоянных сил , пар сил с моментамиили только сил тяжести. Найти уравнения движения системы в обобщенных координатахипри заданных начальных условиях. При решении задачи массами нитей и лент пренебречь. Трение качения и силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Кривошипы рассматривать как тонкие однородные стержни.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 6. Радиусы инерции даны относительно центральной оси, перпендикулярной к плоскости чертежа. Колеса, для которых радиусы инерции не указаны, считать сплошными однородными дисками. В вариантах 5, 6, 16 и 24 механизм расположен в горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения учитывать только в вариантах 7–9, 12, 15, 18, 19 и 23. В вариантах 3, 10, 14 и 21 принять тело1за материальную точку и учесть вязкое сопротивление движению с коэффициентом. Коэффициент вязкого сопротивления – это коэффициент пропорциональности в выражении, где– относительная скорость тел1 и2, а– сила сопротивления их относительному движению.

Таблица 6

№ вар

Массы тел

Радиусы инерции

Силы

Моме- нты

Обобщ. коорд.

Начальные условия

1

2

3

4

5

1

2m

6m

m

m

–

–

–

–

–

0

0

0

0

2

m

3m

–

–

–

–

–

–

0

0

0

3

m

4m

–

–

–

–

–

–

0

0

0

4

3m

3m

m

m

–

–

–

–

0

0

0

0

5

m

2m

3m

–

–

–

–

0

0

0

0

6

m

2m

3m

–

–

–

–

–

0

0

0

0

7

m

2m

2m

2m

2m

–

–

–

–

0

0

0

8

2m

2m

m

2m

m

–

–

–

–

0

0

0

9

2m

5m

m

–

–

–

–

–

0

0

0

10

m

3m

2m

–

–

–

–

–

–

0

0

0

11

2m

m

m

2m

–

–

–

–

0

0

0

12

2m

2m

m

m

3m

–

–

–

–

0

0

0

0

13

3m

m

2m

–

–

–

–

0

0

0

0

14

m

3m

–

–

–

–

–

–

0

0

0

15

2m

2m

3m

m

–

–

–

–

0

0

0

16

2m

3m

m

3m

–

–

–

–

0

0

0

0

17

2m

2m

3m

2m

m

–

–

–

0

0

0

18

2m

2m

m

–

–

–

–

–

0

0

0

0

19

2m

m

m

m

3m

–

–

–

–

0

0

0

20

m

3m

2m

3m

–

–

–

0

0

0

21

m

3m

m

–

–

–

–

–

0

0

0

22

m

3m

m

–

–

–

–

–

0

0

0

23

2m

4m

m

m

–

–

–

–

0

0

0

24

3m

2m

2m

–

–

–

–

–

0

0

0