Пример выполнения задания (вариант №12)

Дано: кг;кг;кг;кг;м;м;м;;м.

Найти скорость тела в тот момент, когда пройденный им путь станет равным.

Решение

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы:

, (1)

где и– кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;– сумма работ всех сил, приложенных к системе.

Так как вначале система находится в состоянии покоя, то , и уравнение (1) принимает вид

. (2)

Найдем кинетическую энергию системы в конечном ее положении. Кинетическая энергия рассматриваемой системы равна сумме кинетических энергий тел,,и:

. (3)

Уравнения кинетической энергии грузов и, движущихся поступательно, имеет вид

и.

Кинетическая энергия цилиндров , вращающихся вокруг неподвижной оси:

,

где ­­– момент инерции цилиндров относительно оси вращения,– их угловая скорость.

Кинетическая энергия цилиндра , совершающего плоскопараллельное движение,

,

где – скорость центра тяжести цилиндра;– момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его центральной продольной оси.

Подставляя заданные значения масс и значения моментов инерции в выражение кинетической энергии системы (3), получаем:

. (4)

Выразим скорости и, а также угловые скоростиичерез скорость груза. Для цилиндраимеем:

,

где и , следовательно

.

Точка – мгновенный центр скоростей цилиндра, значит справедливо следующее выражение его угловой скорости:

.

Величину отрезка можно найти из равенства, для которогополучаем из отношения:

,

что равносильно отношению

,

откуда

м.

Получив значение отрезка :

м,

находим угловую скорость тела :

.

Для цилиндров и грузасправедливо:

; .

При подстановке в выражение (4) найденных величин ,,и, получаем следующее значение кинетической энергии системы:

. (5)

Определим сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении. Силы иприложены к неподвижной точке и работы не совершают. Нормальная реакция опоры, направленная перпендикулярно перемещению, тоже работы не совершает. Для остальных сил имеем:

; ;

; .

Сумма работ всех внешних сил, приложенных к системе, примет вид:

. (6)

Приравняв значения и , определяемые формулами (5) и (6), получим:

,

откуда

м/сек.

Ответ: м/сек.

Задание 5 Исследование плоского движения твердого тела

Определить максимальную величину постоянной силы , под действием которой колесо массойкатится без скольжения. Найти также для этого случая уравнение движения центра тяжести колеса, если в начальный момент времени его координатаи скорость.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 5. Колеса, для которых радиусы инерции не указаны, считать сплошными однородными дисками.

В задании приняты следующие обозначения:

– радиус инерции колеса относительно центральной оси, перпендикулярной к его плоскости;

и– радиусы большой и малой окружностей;

f_сц– коэффициент сцепления (коэффициент трения покоя);

– коэффициент трения качения.

Таблица 5

№ вар.	кг	см	см	см	град	град	fсц	см
1	300	50	80	40	20	–	0,35	1,0
2	200	40	60	30	–	–	0,20	0,8
3	180	50	60	20	30	–	0,10	0
4	220	30	70	25	30	30	0,20	0
5	240	40	60	15	–	–	0,10	1,0
6	200	–	50	–	15	–	0,20	0,5
7	200	45	60	25	30	15	0,10	0
8	150	43	70	25	15	–	0,50	0
9	250	–	–	–	–	30	0,15	0
10	150	40	50	15	20	–	0,30	0,7
11	200	30	50	20	30	–	0,20	0,6
12	200	50	60	10	15	30	0,10	0
13	140	–	–	–	–	30	0,10	0
14	300	–	–	–	30	–	0,15	0
15	180	20	50	20	–	15	0,15	0
16	180	30	50	35	–	–	0,15	0,9
17	160	50	60	20	15	20	0,30	0
18	260	–	50	–	–	–	0,10	1,0
19	200	50	60	20	–	20	0,10	0
20	250	40	50	30	20	–	0,25	0
21	200	–	40	–	30	–	0,25	1,2
22	150	30	50	20	–	–	0,25	1,2
23	200	30	60	30	30	15	0,40	0
24	240	30	70	30	15	–	0,15	0