19 Модели с распределенными лагами: линейно-арифметическая структура лагов и полиномиальная структура лагов по Алмон

В экономике редко встречаются случаи, когда эндогенные и экзогенные переменные включаются в модель в один и тот же момент времени. Это объясняется прежде всего тем, что решения, которые должны принять экономисты, требуют определенного срока, необходимого для их воплощения в жизнь. Разновидность эконометрической модели, в которой только экзогенные переменные входят с учетом запаздывания во времени, носят названия лаговых.

Есть три основные формы: линейная, геометрическая и полиномиальная. Графики:

На практике при оценивании модели могут встретиться трудности. Может оказаться, что количество коэффициентов q+2 слишком велико, если по смыслу задачи ожидается влияние с большим запаздыванием. Плюс, если матрица X'X оказывается близко к вырожденной, то мы оказываемся в ситуации мультиколлинеарности. Для преодоления этих трудностей обычно предполагается та или иная форма «гладкости» распределения лагов

Существуют две популярных модели (полиномиальных лагов Алмон и геометрических лагов Койка), которые приводят к уменьшению числа оцениваемых параметров.

Суть метода Алмон: сократить количество неизвестных параметров

есть модель

Если рассматривать b(k) как полиномы невысокой степени l, получим:

где а0, а1 и т.д. – неизвестные. Тогда, подставляя вместо b(k) их правые части из второй модели в первую, можно преобразовать до такого вида:

В конечном уравнении только l+2 переменных вместо в самой первой модели.

Формула чуть ниже – это преобразование из промежуточного состояния в конечное (с подстановкой вместоb(k)) на случай, если понадобится:

20. Тест h-Дарбина и множественный тест Лагранжа проверки автокорреляции в лаговых моделях

h-критерий Дарбина

Критерий h Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами:

• где n — число наблюдений в модели;

• V — стандартная ошибка лаговой результативной переменной.

При увеличении объёма выборки распределение h-статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение h-статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения

Тест Бреуша-Годфри (LM-тест) – процедура проверки автокорреляции произвольного порядка в случайных ошибках регрессионных моделей. Тест является асимптотическим (для достоверности выводов требуется большой объем выборки). Тест позволяет проверить автокорреляцию любого порядка.

Для проверки автокорреляции порядка p тест использует вспомогательную регрессию МНК-остатков исходной модели на факторы этой модели и лаговые значения остатков:

Далее для этой вспомогательной регрессии проверяется гипотеза об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов при лаговых остатках. Проверка осуществляется с помощью соответствующей LM-статистики, равной nR², где R² – коэффициент детерминации вспомогательной модели, а n – объем выборки (данный объем выборки на p меньше объема выборки исходной модели, так как из-за лаговых значений остатков во вспомогательной регрессии первые p наблюдений не учитываются). Статистика теста имеет асимптотическое распределение . Если значение статистики превышает критическое табличное значение, то автокорреляция признается значимой, в противном случае она незначима.