22 Стационарность временного ряда (вр). Характеристики корреляции уровней вр.

Ряд называют строго стационарным (в узком смысле), если совместное распределение m наблюденийне зависит от сдвига по времени, т.е совпадает с распределением. Слабая стационарность (в широком смысле) состоит в том, что дисперсия и ковариацияне зависит от момента времени:.

Значения уровней временных рядов экономических показателей могут содержать следующие компоненты:- тренд (изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда);- сезонную компоненту;- циклическую компоненту;- случайную составляющую.

Анализ временного ряда надо начинать с построения графика исследуемого показателя. По графику можно сделать предположение о наличии тренда и колебаний. Если амплитуда колебаний относительного среднего значения не меняется, то используют аддитивную модель; если же амплитуда возрастает (убывает), то используют мультипликативную модель.

Если присутствие тренда во временном ряду визуально прослеживается нечетко, то проводят статистическую проверку гипотезы о существовании тенденции, например, с помощью метода Фостера-Стюарта:

1) Каждый уровень ряда сравнивается со всеми предшествующими, вычисляются вспомогательные характеристикии:

Т.е. , еслибольше всех предшествующих уровней;, еслименьше всех предшествующих уровней.

2) Вычисляется ,.

3) Находится характеристика .

4) С помощью критерия Стьюдента проверяется гипотеза о том, что можно считать случайной разность (т.е. ряд можно считать случайным, не содержащим тренд). Для этого определяется, где– средняя квадратическая ошибка величины D. Расчетное значение критериясравнивается с критическим значениемдля заданного уровня значимости a и числа степеней свободы. Если, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

При наличии у временного ряда тренда, циклической и сезонной компонент наблюдается корреляция между уровнями временного ряда – автокорреляция. Количественно автокорреляция устанавливается с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями этого ряда и некоторым лагом . Величина лага определяет порядок коэффициента корреляции. Коэффициент автокорреляции k-го порядка вычисляется по формуле:

где ,.

С увеличением лага число пар уровней, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным использовать коэффициенты автокорреляции с порядками: .

23 Стационарные модели временных рядов: авторегрессии, скользящего среднего, арсс

Стационарный, нормально распределенный временной ряд адекватно можно представить двумя моделями (процессами): процессом авторегрессии или процессом скользящего среднего.

Процессом авторегрессии порядка p называется случайный ряд вида:

x_(k) - μ = a₁*[x_(k-1) - μ] + a₂*[x_(k-2) - μ] + ...+ a_p*[x_(k-p) - μ] + ε_(k)

где: x_(k) - k-ое значение временного ряда;

a₁, a₂, ..., a_p - коэффициенты процесса авторегрессии;

μ - математическое ожидание временного ряда;

ε_(k) - k-ое значение непрогнозируемого временного ряда ("белый шум").

Как видно значение временного ряда определяется p предыдущими значениями ряда плюс значение случайной составляющей. Для более компактной записи моделей временных рядов используют оператор сдвига Z:

x_(k-1) = Z*x_(k); x_(k-2) = Z₂*x_(k) ; ... x_(k-p) = Z_p*x_(k)

С использованием оператора сдвига процесс авторегрессии порядка p может быть представлен следующим образом:

(1 -a₁*Z - a₂*Z₂ - ... -a_p*Z_p)*[x_(k) - μ] = ε_(k)

выражение (1 -a₁*Z - a₂*Z₂ - ... -a_p*Z_p) называют оператором авторегрессии порядка p и обозначают: АР_(p) - в русской транскрипции или AR_(p) - в английской транскрипции. Таким образом, для процесса авторегрессии порядка p имеем:

AR_(p)*[x_(k) - μ] = ε_(k)

Процессом скользящего среднего порядка q называется случайный ряд вида:

x_(k) - μ = ε_(k) - c₁*ε_(k-1) - c₂*ε_(k-2) - ... - c_q*ε_(k-q)

С использованием оператора сдвига:

x_(k) - μ = (1 - c₁*Z - c₂*Z₂ - ... -c_q*Z_q)*ε_(k)

выражение (1 - c₁*Z - c₂*Z₂ - ... -c_q*Z_q) называют оператором скользящего среднего порядка q и обозначают: СС_(q) - в русской транскрипции или MA_(q) - в английской транскрипции. Таким образом, для процесса скользящего среднего порядка q имеем:

x_(k) - μ = СС_(q)*ε_(k)

Теоретически любой ряд можно представить как авторегрессией, так и процессом скользящего среднего. Однако, можно показать, что если процесс является авторегрессией, то при адекватном представлении его процессом скользящего среднего требуется бесконечный порядок q. Точно также если процесс является скользящим средним, то при адекватном представлении его авторегрессией порядок p должен быть бесконечным. Покажем это свойство на следующем простом примере.

Пусть временной ряд соответствует авторегрессии первого порядка: (1 - a*Z)*[x_(k) - μ] = ε_(k) , тогда представление ряда процессом скользящего среднего имеет вид: [x_(k) - μ] = ε_(k) *(1 - a*Z)-1. Составляющая (1 - a*Z)-1 является суммой бесконечной геометрической прогрессии с показателем a*Z. Это означает, что модель имеет вид:

[x_(k) - μ] = ε_(k) *(1 + a*Z + a₂*Z₂ + a₃*Z₃ + a₄*Z₄ + ...)

или

[x_(k) - μ] = ε_(k) + a*ε_(k-1) + a₂*ε_(k-2) + a₃*ε_(k-3) + a₄*ε_(k-4) + ...

Аналогично если временной ряд - процесс скользящего среднего первого порядка: x_(k) - μ = ε_(k) - c*ε_(k-1) , то при представлении его авторегрессией получим:

1 + c*[x_(k-1) - μ] + c₂*[x_(k-2) - μ] + c₃*[x_(k-3) - μ] + c₄*[x_(k-4) - μ] + ... = ε_(k).

Очевидно, что в практических приложениях реализовать модель бесконечного порядка невозможно. Более того желательно, что бы число коэффициентов в модели было минимально. Этому требованию соответствуют смешанные модели - модели авторегрессии-скользящего среднего:

x_(k) - μ = a₁*[x_(k-1) - μ] + a₂*[x_(k-2) - μ] + ...+ a_p*[x_(k-p) - μ] -- c₁*ε_(k-1) - c₂*ε_(k-2) - ... - c_q*ε_(k-q) + ε_(k)

В общем виде, с использованием оператора сдвига смешанная модель, содержащая авторегрессию порядка p и скользящее среднее порядка q, записывается так:

АР_(p) *[x_(k) - μ] = СС_(q) *ε_(k)

или совсем кратко: АРСС_(p,q) (в англоязычной версии ARMA_(p,q)). Например, АРСС(1,1) имеет вид:

x_(k) - μ = a₁*[x_(k-1) - μ] - c₁*ε_(k-1) + ε_(k).