Kepchik

8.1. 1) –1; 2) 2; 3) –1/3; 4) –1/3; 5) 0,3; 6) 8; 7) 1; 8) –2; 9) 2; 10) 9/50; 11) 0; 12) 1; 13) 1/2; 14) –1/2; 15) 1; 16) 1/2; 17) 1; 18) 2/5; 19) 0; 20) 3.

8.2. 1) возрастает на ( "; 2) (1; "); убывает на (–2; 1); max(–2; 7/3), min(1; –13/6); 2) возрастает на ( "; 1) (5; "); убывает на (–1; 5); max(–1; 23), min(5; –193); 3) возрастает на (" ; 2) (3 ; "); убывает на (–2; 3); max(–2; 10 ), min(3; –65/6 ); 4) возрастает на ( 1; 0) (1; "); убывает на ( "; 1) (0;1); max(0; 1/4), min(1; 0), min(–1; 0); 5) возрастает на ( 1;0) (0; "); убывает на ( "; 1); min(–1; 3/2); 6) возрастает на ( ";0) (1; "); убывает на (0; 1); max(0; 0), min(1; –1); 7) возрастает на ( "; 1) (0,5; "); убывает на (–1; 0,5); min(0,5; –2,25 ); 8) возрастает на (0;2); убывает на ( ";0) (2; "); max(0; 0), min(2; 4/e); 9) возрастает на ( 1;1); убывает на ( "; 1) (1; "); max(1; 2), min(–1; –2); 10) возрастает на ( "; ").

8.3. 1) (1/9; –1/3) – наименьшее, (4; 8) – наибольшее; 2) (0; 0) – наименьшее, (1; 1) – наибольшее; 3) (–3; 0), (3; 0) – наименьшее, (0; 3) – наибольшее; 4) (2; –8) – наименьшее, (–2; 8) – наибольшее; 5) (8; 920) – наименьшее, (10; 1430) – наибольшее; 6) (–5/2;

– 45/4) – наименьшее, (–1; 9) – наибольшее; 7) (5 / 6; 33 / 2) – наименьшее, (0; 2) – наибольшее; 8) (2; –13) и (–2; –13) – наименьшие, (0; 3) – наибольшее.

8.4.У второго лекарства максимальная реакция выше.

8.5.1050 бактерий при t 10 ÷.

8.6.4 *C.

		aln	b			bln	b
	8.7. xmax c(e		a		e		a
		b a				b a

lnb

); t a . b a

8.8.33,3 %.

8.9.1) (–3; 294), (2; 114) – точки перегиба; 2) (33; 0), (0; 0) – точки перегиба;

3) (0; 0) – точка перегиба; 4)( 3; 3), (0;0), (3; 3) – точки перегиба; 5) (2/3; 31/27) – точка перегиба; 6) (2; 7) – точка перегиба; 7) (0; 0) – точка перегиба; 8) (0; 0 ), (–2; –4) – точки перегиба; 9) (0; 2), (4/3; 22/27) – точки перегиба; 10) (1; 0) – точка перегиба.

8.10. 1) y 0; 2) x 0; 3) y 2x 4, x 2; 4) y x; 5) y x 3, x 0; 6) y 1 x 1,

2

x 1; 7) нет асимптот; 8) y

1

x, x 3,

x 3; 9) y 1; 10) y 0.

4

x 6

7x c;

2

12

c;

4) 2

c; 5)

1

c;

1)

2)

x

c;

3)

x4 x 3

6)

9.1.

x

x

6

3

7

x

x 4

2x 3

2x 2 5x c;

7)

ln|x | 2

1

c;

8)

5sinx 2x x 3 ln|x | c;

9)

x

4

x

1

arctg

x

c;

5

5

x

1

x 5

10)

arcsin

c;

11)

ln

ln

x

x 2 5

c;

12) 2arctgx 3arcsinx c;

10

x 5

4

1 x

13)

2x

3x

c; 14) cos x 8sinx c; 15)

c; 16) x arctgx c; 17) tgx x c;

ln2

ln3

x 2

102

																		2													3																																																																													1
																																																		c; 19) tgx ctgx c; 20) arctgx
18) ln|x |																							x 2 ex																																																																																								c.
																		3																																																																																										x
								9.2. 1)															1				sin3x c; 2) ln|x 1| c;																																																											3)										1			cos(3x 4) c;																									4) c																1				ln|cos(3x 4)|;
																							3																																																																																																																					3
																																																																																													3
5)					1					sin(x 3 6) c; 6)																																										sin4 x												c; 7)												1				tg3x c; 8) ln|lnx | c; 9)																																																		4																	1															c;
																																																																																																																									3(x 4)3																										2(x 4)2
			3																																																			4																			3
10)															2ln1 ex																												x c;																										11)														ñ ecos x ;																						12)																		1					arctg														ex							c;												13)
																																																																																																				3																							2																	2							3
																																																																																						1																																							1
2					x						33						x				66															x					6ln													6				x					1					c; 14)																						(2x 3)											2				c;										15)															(2x 2 5)																				2			c;								16)
																																																																																			3																																								6
2											5											4																	3																																																				2									3																																		1
		(x 2)																								(x 2)																							c;																								17)																						(x 4)																				8(x 4)																							c;																							18)
													2																																	2																																																								2																																	2
5																																																																																			3
																		3
x 4																					4ln																																	1							c;								19) arcsin																ex									c; 20) ln															ex						1				1								c.
											x 1																																x 1
																																																																																			2																										ex						1 1																														1
										9.3. 1) ex (x 1) c; 2) sinx xcos x c; 3) x(lnx 1) c; 4) xarctgx																																																																ln						1 x 2							c;
																																																																																																																																																2
5)											x arcsinx																												1 x 2 c;																												6)									x sinx cos x c;																																7)									e x (x 2 2x 2) c;																																												8)
										x								1																																																					lnx												1																																					x
	x																																						c;																														4																							c;																					2e					2												2				4x										8) c;
3																																																						9)												x																																		10)																							(x																																						11)
																	(ln3)											2																																													4
			ln3																																																																														16
(3x 2 6)sinx (6x x 3 )cos x c;
12)												1		(3x 1)sin2x																																									3				cos2x c;																								13)															(x 2 1)ln(x 1)																										x 3													x 2											x					c;								14)
											2
																																																						4									x 2																																										3																		9															6									3
(x 2 3x 10) & &ln																																													x 2																							5x c; 15) xtgx ln																																				cos x									c; 16) tgx lnsinx x c; 17)
																																																														2
e2x																																																																										2sin2x 3cos2x																																											2ex 1
								& &(2cos2x 3sin3x) c; 18)
																																																																																																								c; 19)																													cos2x															sin2x													c;
13																																																																																		13e										3x																									5
																																																																																																																													2
20) c																		1 x 2 arcsinx x.																																																																																																																										x 8
																																1																						x 2										c;																			1																	x 2								c;																									1
								9.4.										1)																							arctg																																2)																					arctg																								3)																				ln																			c;				4)
																																3																						3																													10																						10																									10										x 2
	2									arctg									2x														3						c;															5)											1		arctg											x 1											1					ln(x 1)2 4																	c;												6)													1			arctg														x				c;				7)
	15																						15																																									2															2				2																																																			6													6
			1																		3			x																	10
											ln																																					c;
2			30																		3x																		10
								2																					10x 7																																							1 2x 3																																					(x 1)3																																																				x 2
																																																				c;
8)															arctg																																															9)										ln																			c; 10) ln																														c;													11)										arcsin																		c;
								171																															171																												22						2x								8																											x 2																																							3
											1																			4x 3																				c;																						1															x 1										c;																1
12)													arcsin																																																	13)													arcsin																														14)											ln				x 1																						x 2 2x 4																		c;
											2																												5																																		2										2																												3

103

	1									2x 1											5														1												2
15)									ln																c; 16)																		arctg									x c.
																																														17
					5 2x 1																5														34
		9.5. 1)															1	sin4x											1		sin10x c; 2)															1		sin2x									1		sin4x c; 3)												1		sin4x						1				sin2x c ;
																																																									8
		1						8											1		20																									4															8													4
4)							sin6x													sin2x c;												5)								1					cos5x								1		cos x c ; 6)												1			cos8x						1					cos2x c ;
	12
								4																																10											2										16													4
7)	1			(x								1			sin2x) c; 8)																		1	(x							1			sin2x) 3x 3 c;																	9)	1	(	3		x sin2x											1				sin4x) c ;
	2																															2
								2																																2																					4 2													8
10)				1			(			3	x sin2x													1				sin4x) c; 11)																					1	cos5 x c;											12)							1				cos4 x						1				cos6 x c;
	4 2																				8																									5															4													6
13) ctgx x c; 14)																											1			x		1					sin4x c; 15)																	1		x			1	sin4x					1				sin2x								1							sin6x c;
																																																			16																							192
																					8											32																									64				64
16)		1			(x									1		sin4x)						1				sin2x											1		sin6x c.
	4							4													8														24

9.6.m(t) m0 (e kt 1 ekt0 ).

9.7.c(t) cs c0ekFt .

9.8.1) 10 054; 3) 10 383.

9.9.x(t) 106 104 t 103 t2.

	9.10. Q 100175,								Äæ.
	9.11. x(t) 2et e.
																																												ek 1
	10.1. 1) 6;						2) ln(3 10);																				3) 1; 4) 2;												5)
																																																				;	6)						; 7) 64;										8) 7;						9)1/6; 10) 1/3.
				14									1																9						32								1			k								5			2
															; 4)1 ln																																									ln4; 8) e
	10.2. 1)					; 2) 1; 3)																									; 5)							; 6)							ln4; 7)																												e	; 9) 4 2						2; 10) 2.
	15								3																		4							3								3											3
					2 8																						2ln2							3		; 4) 1										2						5)					3			6 ;												1;								1				8) 4 ;
	10.3. 1)				;				2) 1;											3)																													;																6)										7)							;
																																		4																																			2							4				2
					32																																									e
	9) –4,128; 10) 8,984.																																																																															3
																			5														2						3							8													2						7							1
	10.4. 1) 4ln(4e);								2) 20															;			3) 10							; 4)							;	5)									;	6) 10										;	7)					;	8) 4						; 9) 2					;				10) 1.
																			6														3						2							3													3						6
																																																																								2								6
																						2				1													1																														1															22
							5		2 ln
	10.5. 1) 2																													; 2)						5						ln(2											5);						3)				17								ln(4					17);				4) 24								;
																									2															2																														4																	27
																					5
	5) ln(3	1	); 6) ln(2
									3).
	2
	10.6. 1) 12 ; 2)									128						;								3)				64				;		4) 8;								5)					6			;			6)					3			;			7)			16a3						;		8)	20		; 9)							1	2;
									7																		5																			7											5												5							3								2

10) 18 2 .

15

10.7. 1) ; 2) 1; 3) ln2; 4) –1; 5) ; 6) расходится; 7) сходится при1 (, расходится

2		2
ïðè ( 1; 8) расходится;	9) 2	; 10) расходится.
	8

104

10.8.arctgt.

10.9.c v . ln2

10.10.5,23 êÄæ.

11.1. 1) круговое кольцо, ограниченное окружностями x 2 y 2 4, x 2 y 2 9; 2) две полосы x ' 3, 3 y 3 è x 3, 3 y 3; 3) y x; 4) y ' 0; 5) x 2 y 2 ' R 2;

																		2
																	x 0,
6) x	2	y	2	R	2	; 7) x	2	y		2	R	2	; 8) y x 0;			9)
																	y ' x, 10) x y.
																	y x.
	11.3.			1)		zmax (0;			3	) zmax (0;				3	) 5;		2)	zmin (1;1) 1;	3)	zmax (0;0) 2;
4)	zmin (0; 2) 0;							5)			zmax (2; 2) 8;					6)	zmin (2; 2) 3;		7)	zmin ( 4; 1) 1;
8) zmin (1; 1/ 2) 0; 9) zmin (1;2) 7; 10) экстремума нет.
	11.4.			1)		zíàèá (1;2) 17,							zíàèì (1;0) 3;				2)	zíàèá (1;1) 4,	zíàèì (1/ 2;1/ 2) 1;
3)	zíàèá (2;3) 11, zíàèì (1;2) 5;												4) zíàèá (0;0) 1,					zíàèì (0;3) 19;	5)	zíàèá (2;1) 4,
zíàèì (16 / 3; 8 / 3) 8192										/ 9.

11.5.1) v 0,7Akt 0,3e 0,0125h ; 2) v 0,0125Akt0,7e 0,0125h.

11.6.x 25 %, y 50 %, z 25 %.

11.7.x 2a/3, t 2 c.

11.8.

0z

xy 2 (b y)(2a 3x);

0z

x 2y(a x)(2b 3y).

0x

0y

12.1.

1)

2y 2x

c;

2)

(x 5)(y 1) c; 3)

y cx 3;

4)

x arctg3y c;

1

5) y

ln|1 5x | c; 6)

c; 7) 2

x 2 4 c; 8) ln| y | ctg(x 1) c;

y 1

x

y 1

5

9) 33

y

x c; 10) ln|y | sinxc.

12.2. 1) x y cx;

2) ln(x 2 y 2 ) arctg

y

c;

3) sin

y

cx; 4)

x

2ln|cx |;

x y

x

x

5) x y ln|cx | 0;

y

y xecx 1;

6)

ln|cx | arctg

;

7)

y

x 2 y 2

cx 2;

8)

x

x

x

9) ln| y |

c; 10) y xe 2 .

y

y cx 3 x 2;

y x(c sinx);

xy e x (c x 3 );

12.3.

1)

2) y c

x

x 2; 3)

4)

5) x cy 3 y 2; 6) y

c

x

; 7) y ce sinx

sinx 1; 8) y cx 2

1

; 9) cos y

x

c

;

x 2

10) y e x (c x).

2

x

2 x

12.4.

1)

y c1e2x

c2e4 x ;

2) y c1e2x c2e x ;

3)

y (c1 c2x)e 12x ;

4) y c1 cos7x c2 sin7x;

5) y c1e2x c2e5x ; 6) y c1 c2e2x ; 7) y c1e x c2e 19x ;

8) y (c1 c2x)e2x ; 9) y c1 c2e 7x ;																						10) y c1 cos				3	x c2 sin						3	x.
		12.5. 1) à) y c1ex c2e5x															(x 2)e2x ; 2) à) y c1e 4 x												c2e2x						1	xe 4 x ; 3) à) y
																													2
c1 c2e 9x					x 3			29x 2						110x				; 4)			à)				y c1 c2e 4 x			1		(2x 7)e2x ;								5)			à) y
				27		162							729												16
(c1 c2x)e 2x							7		(3x 2)ex ;								6)				à)				y (c1 c2x)e3x						1	xe3x ; 7)						à)				y
						27																							6
										x			3						1				x														2x		1
(c1 cos 4x c2 sin4x)e																x				e					; 8) à) y (c1 cos5x				c2 sin5x)e													sin5x
																																							13
													17						17
	5		cos5x;	9) à) y c1e2x											c		2e 2x					1		(3x 2 x 2)ex ; 10)					à) y (c1 cos x c2 sinx)
13																					9
	1	sin3x.
8

12.6. x(t) x0 (1 e Bt ).

12.7. I(t) 1,12 0,4. t

12.8.m v(1 e kt ) / k.

12.9.Количество бактерий увеличивается в 8 раз.

12.10.Количество фермента увеличится в 8 раз.

12.11.dT dt

	1		t
			20
k(T T0 ); T 20 80			; через 60 мин.
	2

106

ЛИТЕРАТУРА

Основная

Баврин, И. И. Краткий курс высшей математики для химико-биологических специальностей / И. И. Баврин. М., 2003. 328 с.

Гильдерман, Ю. И. Лекции по высшей математике для биологов / Ю. И. Гильдерман. Новосибирск, 1974. 410 с.

Гроссман, Стэнли И. Математика для биологов / Стэнли И. Гроссман, Джеймс Э. Тернер. М., 1983. 383 с.

Гусак, А. А. Высшая математика : в 2 т. / А. А. Гусак. Минск, 2001.

Кепчик, Н. В. Высшая математика : учеб.-метод. рекомендации по курсу «Высшая математика» для студентов биол. фак. : в 2 ч. / Н. В. Кепчик, Н. А. Дегтяренко, Т. И. Рогачевич. Минск, 2005.

Кудрявцев, В. А. Краткий курс высшей математики / В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович. М., 1989. 655 с.

Лобоцкая, Н. Л. Высшая математика / Н. Л. Лобоцкая, Ю. В. Морозов, А. А. Дунаев. Минск, 1987. 319 с.

Натансон, И. П. Краткий курс высшей математики / И. П. Натансон. М., 1968. 727 с.

Дополнительная

Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. М., 1985. 416 с.

Бугров, Я. С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. М., 1980. 432 с.

Воронов, М. В. Математика для студентов гуманитарных факультетов / М. В. Воронов, Г. П. Мещерякова. Ростов н/Д, 2002. 375 с.

Высшая математика. Общий курс / под ред. А. И. Яблонского. Минск, 1993.

350ñ.

Гусак, А. А. Задачи и упражнения по высшей математике : в 2 ч. / А. А. Гусак.

Минск, 1988.

Гусак, А. А. Справочник по высшей математике / А. А. Гусак, Г. М. Гусак, Е. А. Бричикова. Минск, 1991. 479 с.

Жолков, С. Ю. Математика и информатика для гуманитариев / С. Ю. Жолков. М., 2002. 531 с.

Каплан, И. А. Практические занятия по высшей математике : в 4 ч. / И. А. Каплан. Харьков, 1971.

Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д. В. Клетеник. М., 1998. 224 с.

Матвеев, Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Н. М. Матвеев. СПб., 2002. 432 с.

Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии / А. А. Бурдун [и др.]. Минск, 1999. 302 с.

Сборник задач по высшей математике : в 2 ч. / К. Н. Лунгу [и др.]. М., 2004. Сухая, Т. А. Задачи по высшей математике : в 2 ч. / Т. А. Сухая, В. Ф. Бубнов.

Минск, 1993.

Шипачев, В. С. Математический анализ / В. С. Шипачев. М., 2002. 176 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................		3
1.	КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА....................................................................................	5
2.	МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ........................................................................	8
3.	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ .....................	13
4.	ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ И ПРЯМАЯ
	НА ПЛОСКОСТИ ..................................................................................................	16
5.	ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.............................................................................................	20
6.	НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. ТОЧКИ РАЗРЫВА ......................................	27
7.	ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
	ПЕРЕМЕННОЙ ......................................................................................................	28
8.	ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ.......................................................................	34
9.	НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ......................................................................	42
10. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.........................................................................		50
11. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ...................................................		56
12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ..........................................................		60
ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ
(САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ) РАБОТЫ ........................................................................		70
ПРИЛОЖЕНИЯ..........................................................................................................		85
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ .........................................................................................		90
ЛИТЕРАТУРА............................................................................................................		97

Учебное издание

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Практикум для студентов биологического факультета

Ñ î ñ ò à â è ò å ë ü Кепчик Наталья Владимировна

Редактор О. Н. Кохно

Технический редактор Т. К. Раманович

Корректор Л. В. Рутковская

Компьютерная верстка Е. В. Заиченко

Подписано в печать 14.04.2008. Формат 60 84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Усл. печ. л. 5,81. Уч.-изд. л. 5,14.

Тираж 300 экз. Зак. 1158.

Белорусский государственный университет. ЛИ ¹ 02330/0056804 от 02.03.2004.

220030, Минск, проспект Независимости, 4.

Отпечатано с оригинала-макета заказчика. Республиканское унитарное предприятие

«Издательский центр Белорусского государственного университета». ЛП ¹ 02330/0056850 от 30.04.2004.

220030, Минск, ул. Красноармейская, 6.