Kepchik

1)y ) 2x y ;

2)(y 1)dx (x 5)dy 0;

3)y ) y 3 ;

x

4)(9y 2 1)dx 3dy;

5)dx (1 5x)dy;

6)xy xdy (y 1)dx;

7)x 2 4dy xy 1dx;

8)sin2 (x 1)dy ydx 0;

2

9)y ) y 3 ;

10)y ) y cos x;

11)xydx (x 1)dy 0;

12)y ln ydx xdy 0;

13)y ) y 7 ;

8x

14)y 2 1dx 4(x 1)dy;

15)x1 y 2 yy ) 1 x 2 0.

12.2. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения 1-го порядка:

1) (x 2y )dx xdy 0;

2) (x y )dx (x y )dy 0;

3) y ) y tg y ; x x

4) (x 2 y 2 )dx 2x 2dy 0;

5) y )	y	2		y	;
		2
	x			x

6)(x 2 xy y 2 )dx x 2dy;

7)(y x 2 y 2 )dx xdy 0;

8)y ) y ln y ;

xx

9)ydx (2xy x)dy 0;

		y
10) xy ) y 1	ln		;
		x

11) y ) x y ; x

12)2x 2y 1 y ) (x y 2) 0;

13)4x 3y y ) (2y 3x) 0;

y

14) y ) e x y ; x

15)xy ) cos y y cos y x;

xx

16)yy ) 1 y x;

2

17) (y x 2 y 2 )dx xdy 0.

12.3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка:

72

1) y )	3y	x;	9) y ) y	1			1			;
	x			x			x	2
2) 2xy ) y 3x 2;			10) y ) y e x ;
3) y x(y ) x cos x);			11) y ) y x 1;
4) xy ) (x 1)y 3x 2e x ;			12) y ) x 2 2x 3y y 2 (1 2x 2 );
5) y ) 2xy 2xe x 2 ;			13) xy ) y y 2 ln x;
6) xy ) y x;			14) 3xy ) 2y			x 3
7) y ) y cos x sin x cos x;									;
						y 2
8) x 2y ) 2yx 3;			15) 2ydx (y 2 6x)dy 0.

12.4. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

1) y )) 6y ) 8y 0;	9) y )) 7y ) 0;
2) y )) y ) 2y 0;	10) y )) 3y 0;
3) y )) 24y ) 144y 0;	11) 4y )) 8y ) 5y 0;
4) y )) 49y 0;	12) y )) 2y ) 3y 0;
5) y )) 7y ) 10y 0;	13) y )) 3y ) 2y 0;
6) y )) 2y ) 0;	14) y )) y ) 12y 0;
7) y )) 20y ) 19y 0;	15)	7y )) 4y ) 3y 0;
8) y )) 4y ) 4y 0;	16)	3y )) 17y ) 6y 0.

12.5. а) Решить линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами, когда его правая часть f (x) имеет вид f1(x); б) написать частные решения данного уравнения, когда правая часть f (x) имеет вид f2 (x) è f3 (x); в) найти частные решения данных уравнений, удовлетворяющие начальным условиям y(0) 0, y ) (0) 0:

1)y )) 6y ) 5y f (x), f1(x) 3xe 2x , f2 (x) 2e x , f3 (x) 3 sin x;

2)y )) 2y ) 8y f (x), f1(x) 3e 4x , f2 (x) (x 1)e x , f3 (x) 4 cos x;

3)y )) 9y ) f (x), f1(x) x 2 3x 1, f2 (x) (x 2)e x , f3 (x) 7 sin x;

4)y )) 4y ) f (x), f1(x) (x 4)e 2x , f2 (x) x 3 3, f3 (x) 5e 4x ;

5) y )) 4y ) 4y f (x), f1(x) 7xe x , f2 (x) x 2 x 3, f3 (x) xe 2x ; 6) y )) 6y ) 9y f (x), f1(x) xe 3x , f2 (x) 2xe 4x ,

f3 (x) 4 sin x 5 cos x;

73

	7)	y )) 2y )17y f (x),	f1(x) 3xe x ,	f2 (x) (x 1)e 4x ,
f3	(x) 5 sin2x;			f2 (x) (x 5)e 2x ,
	8)	y )) 4y ) 29y f (x),	f1(x) 8 sin5x,
f3	(x) x 2 5;
	9) y )) 4y ) f (x),f1(x) (x 2 x)e x ,f2 (x) x 3 x 1,f3 (x) sin2x;
	10)	y )) y f (x),	f1(x) sin3x,	f2 (x) (3x 5)e x ,

f3 (x) 2x 2 3x 2.

12.6. Скорость укорочения мышцы описывается при помощи уравнения

dx B(x0 x),ãäå x – укорочение мышцы в момент времени t, B – постоян- dt

ная, зависящая от нагрузки, x0 – полное сокращение мышцы. Установить закон сокращения мышцы, если в момент t 0 величина укорочения мышцы равна нулю.

	12.7. Скорость изменения пороговой силы тока выражается формулой
dI		1,12		. Установить закон изменения силы тока, если в момент времени
dt
		t	2

t0,4 с соответствующее значение тока равно 3,2 мА.

12.8.При непрерывном внутрисосудистом введении лекарственного препарата с постоянной скоростью v изменение его в крови описывается

уравнением dm v km, ãäå k – постоянная удаления препарата из крови. dt

Определить зависимость количества лекарственного препарата в крови от времени при условии, что при t 0 m(0) 0.

12.9.Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству.

Âначальный момент t 0 имелось 100 бактерий, а в течение 3 ч их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от времени. Во сколько раз увеличится количество бактерий в течение 9 ч?

12.10.В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна наличному его количеству x. Первоначальное количество фермента a в течение часа удвоилось. Во сколько раз оно увели- чится через 3 ч?

12.11.Известно, что скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела Ò и температурой

74

воздуха Ò. Температура воздуха равна 20 *С, в течение 20 мин тело охлаждается от 100 до 60 *С. Через сколько времени его температура понизится до 30 *Ñ?

12.12. В ультрацентрифугах скорость смещения молекул исследуемого полимера в направлении от оси вращения выражается формулой v bw 2x, ãäå b – постоянная величина, характеризующая данный полимер, w – угловая скорость вращения центрифуги, x – расстояние от оси вращения до движущейся границы оседающего полимера. Составить уравнение движения границы полимера, если в момент времени t 0 она находилась на расстоянии 0,5 см от оси вращения.

12.13. Тело температурой 25 *С погружено в термостат, в котором поддерживается температура 0 *С. Зная, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды, определить, за какое время тело охладиться до 10 *С, если за 20 мин оно охлаждается до 20 *Ñ.

12.14.За 30 дней распалось 50 % первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько дней останется 1 % первоначального коли- чества?

12.15.Если первоначальное количество фермента равно 1 г, а через 1 ч становится равным 1,2 г, то чему оно будет равно через 5 ч после начала брожения? (Скорость прироста фермента считать пропорциональной его наличному количеству.)

12.16.За 15 мин растворилось 30 % таблеток дигитоксина. Сделать заключение о качестве таблеток дигитоксина по тесту растворимости, если за 1 ч таблетки должны раствориться на 75 % и скорость их растворения пропорциональна количеству лекарственного вещества в таблетке.

12.17.Скорость растворения соли пропорциональна разности между

концентрациями насыщенного y 0 и действительного x растворов. Установить закон изменения концентрации соли, если при t 0 x x0.

12.18.Уравнение растворения лекарственных форм вещества из табле-

ток имеет вид dm km , ãäå m – количество вещества в таблетке, остав- dt

шееся ко времени растворения t, k – постоянная скорости растворения. По-

75

казать, что среднее значение лекарственной формы вещества в таблетке за время растворения от t1 äî t2 можно вычислить по формуле

m cp		m 1 m 2			.
		m
		ln	1
		m 2

12.19.Скорость распада некоторого лекарственного вещества пропорциональна наличному количеству лекарства. Известно, что по истечении 1 ч

âорганизме осталось 31,4 г лекарственного вещества, а по истечении 3 ч – 9,7 г. Определить, сколько лекарственного вещества было введено в организм и через какой промежуток времени после введения в организме останется 1 % первоначального количества лекарственного вещества.

12.20.Распределение потенциала V вдоль пассивного волокна задается

дифференциальным уравнением 1 d 2V V, ãäå 1 – постоянная, равная от- dx 2

ношению сопротивления протоплазмы и мембраны на единицу длины волокна, x – длина волокна. Установить зависимость изменения потенциала от длины волокна с учетом того, что потенциал не может неограниченно расти вдоль волокна и при x 0 V V0.

12.21. Скорость ферментативных каталитических реакций иногда под- чиняется следующему уравнению:

dx		k(a x)	,
dt		1 k) (a x)

ãäå x – концентрация продукта в момент времени t; a – начальная концентрация реагента.

Установить зависимость изменения концентрации продукта от времени.

12.22. Определить период полураспада радия и радона, если постоянные распада данных веществ равны 1354, 10 11c 1 è 2,1 10 6 c 1.

76

ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ (САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ) РАБОТЫ

1.Студент выполняет контрольные (самостоятельные) задания в отдельной тетради (12 листов), оставляя поля для замечаний рецензента.

2.На обложке тетради студент указывает свою фамилию, имя, номер учебной группы и номер зачетной книжки, вариант контрольного (самостоятельного) задания (вариант контрольного задания совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки студента (см. таблицу)).

3.Решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях.

4.Оформление каждой задачи должно содержать следующие пункты: а) постановка задачи; б) решение; в) ответ.

5.Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, выполняя теоретические обоснования.

Вариант				Контрольное задание
1	1	11	21	31	41	51	61	71	81	91
2	2	12	22	32	42	52	62	72	82	92
3	3	13	23	33	43	53	63	73	83	93
4	4	14	24	34	44	54	64	74	84	94
5	5	15	25	35	45	55	65	75	85	95
6	6	16	26	36	46	56	66	76	86	96
7	7	17	27	37	47	57	67	77	87	97
8	8	18	28	38	48	58	68	78	88	98
9	9	19	29	39	49	59	69	79	89	99
0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 1

I. В задачах 1–10 представить в тригонометрической форме данные числа.

1.	3 i	.		3.	1 i	.		5.	2 4i	.	7. 12 3i .	9.		4 2i		.
	2 i			1 i					1 i		1 4i			1 i
2.	1 3i		.	4.	1 3i		.	6. 2 i .			8. 4 7i .	10.		3 i	.
	2 i				1 i				i		1 2i			2 2i

77

II. В задачах 11–20 найти 5A 3B, AB, det A.

				0	i	i																		2 1 5
									3 0 1								3 2 1
11. A				1	0	2		, B	2	i	2		. 16. A				1	2	0			, B		3	i	4 .
									1 0 3								2 i							4 0 3
				2 3 1															1
				0	i				2 0		i						0 1 0							0 0		i
						1
12. A
				1	4	2		, B	3	0	2		. 17. A				4	i	1			, B		3	1	2 .
			5 3 i					1 1 3								2 3 i						4 0 2
				1	i	i			1 0 3								2	i	4					3	i
																										1
13. A
				1	1	2		, B	2	i	2		. 18. A				1	3	2			, B		3	2	1 .
				0	3	4			3	1							2	0						1	0
											1								1							1
				1	i	5
									3 4 1								0 1 1						1 0 1
14. A				2	2	2		, B	6	i	0		. 19. A				1	2	i	, B			2		8	2 .
									1 2 3														i		0 3
				3 3 1													2 3 1
				1 1		i			3 0		i						0 2 3
																								3 6 1
15. A				1	2	2		, B	2	2	2		. 20. A				1	i	i			, B		4	i	i		.
				2 3 0					1	i							2	i						1 0 3
											1								1
III. В задачах 21–30 найти ранг данной матрицы.
		2		3											1		4		6
					1
															2
21.		1		1	0 .								24.				9		5	.
	1 2 1													3 1 4
				3													17
	2				3									4					16
		0		2	3										2		1		3
															3
22.		1		3	5 .								25.				4		2 .
	3 5 7													1 1 3
	1 3 6													5			3 1
		1		1	0										2		3		1
23.		2	1		1	.							26.		1		2		4 .
	0 1 1													2 1 3
	1 8				5									1 9					3

78

	7 1 3					2 1 3
		2						3
27.			5	4 .	29.		2		1 .
	3 1 2					1 1 2
	3 14 10					7 6 7
	3		1	4			1	3	2
28.		1	2	3 .	30.	2		1	2	.
	1 2 1					2 1 1
	2		1 5			2		3 11
IV. В задачах 31–40 решить систему.
			4y 2z 8,				x	2y z 4,
	3x
			y 3z 1,		36.			5y 3z 1,
31. 2x						3x
			5y z 0.
	x					2x 7y z 8.
	x 4y 2z 3,						x 2y 3z 6,
		3x y z 5,			37.			3y 4z 20,
32.						2x
	3x 5y 6z 7.					3x 2y 5z 6.
		5x	8y z 7,				3x	2y z 5,
					38.
33. x 2y 3z 1,						2x 3y z 1,
			3y 2z 9.					y 3z 11.
	2x					2x
		2x y 5z 4,				x		y 2z 1,
			2y 13z 23,		39.			y 2z 4,
34. 5x						2x
			3x z 5 0.
						4x y 4z 2.
	x y z 2,					x 2y 4z 31,
			3y z 1,		40.			y 2z 20,
35. 4x						5x
	2x y 5 0.					3x y z 10.

V. В задачах 41–50 заданы координаты вершин треугольника ÀÂÑ. Найти: а) длину стороны ÀÂ; б) уравнение линии ÀÂ; в) уравнение высоты, проведенной из точки Ñ; г) точку пересечения медиан треугольника; д) площадь треугольника.

41.	À(–4;	8), Â(5; –4), Ñ(10; 6).	43. À(–1; –1), Â(3; 2),	Ñ(3;	–1).
42.	À(–1;	–1), Â(2; –5), Ñ(–1; –5).	44. À(–5; 7), Â(4; –5),	Ñ(9;	5).

79

45.	À(–9; 12), Â(0; 0), Ñ(5; 10).	48.	À(–6; –4), Â(–10; –1), Ñ(6; 1).
46.	À(–1; –1), Â(2; 3), Ñ(2; –1).	49.	À(–3; 5), Â(6; –7), Ñ(11; 3).
47.	À(–1; –1), Â(–4; 3), Ñ(–1; 3).	50.	À(–6; 10), Â(3; –2), Ñ(8; 8).

VI. В задачах 51–60, не используя правило Лопиталя, вычислить пределы.

80

51. à) lim

5x 2 7x 4

;

5

x " 6x 2 2x

á) lim

4x 2 x 5

;

x 3

1

x 1

â) lim

6 sin5x

;

x 0 tg9x

2x 6

x

ã) lim

.

x "

2x 3

52. à) lim

9x 2 3x 1

;

8

x " 6x 2 5x

á) lim

x 8

3

;

1

x 1

x

â) lim tg6xctg8x;

x 0

5

x

ã) lim 1

.

x

x "

2

53. à) lim

x 2 5x 1

;

x " x 2 2x 7

8 x 3

á) lim

;

x 2 x 2 x 6

â) lim

tg4x

;

x 0 sin8x

4x 4 x

ã) lim

.

x "

4x 3

54.à) lim 10x 2 6x 8 ;

x" 16x 2 7x 3

á) lim

x 3

1

;

x 2 2

10 3x

â) lim

9 sin5x

;

x 0 tg6x

7

x

ã) lim 1

.

x

2

x "

59. à) lim

2x 2 x 11

;

3x 2

x " 4x 2

55. à) lim			x 2			3x 7				;
						2 x 9
x " 6x
á) lim						8 x 3					;
						3x			2
x 2 x 2
â) lim		sin8x					;
x 0 tg16x
	3x 4 x
ã) lim								.
x " 3x 2

56.à) lim 12x 2 7x 16 ;

x" 6x 2 7x 2

á) lim

x 2

x

;

1

x 1

x

â) lim x 2ctg 2 8x ;

x 0

8

x

ã) lim 1

.

x "

2x 3

57. à) lim

5x

2 6x 10

;

x " 10x 2 6x 10

á) lim

(x 4)2

;

x 4 2x 2

x 36

â) lim tg5xctg10x;

x 0

5x 6 x

ã) lim

.

x " 5x

3

58. à) lim

3x 2 x 1

;

x

1

x " x 2

á) lim

x 2

x 6

;

x 2

7x 2

4

â) lim

tg3x

;

x 0 sin9x

9

x

ã) lim 1

.

x "

3x 2

60. à) lim

x 2

x 1

;

x

3

x " 6x 2

81