Kepchik

		1	4	5	2
1)		2	9	10 4			;
	1		5	6	2
			4	5
	1				3
		2	3	2	3			1
2)		4	1	1	2		2			;
	1		1	2	1		1
		1	2	2
3)		2	1	1	;
	1		1	2
		1	2	3	1
		2	0	2	0
4)							;
	3		2	5	1
			0	1
	1				2
		1	0	0	1		4
		0	1	0	2		5
8)	0		0	1	3		6 ;
		1	2	3	14		32
			5	6	32
	4						77
		0	4		10		1
		4	8		18		7
9)									;
	10		18		40	17
			7		17
	1						3

	1		5	9		7
5)	1		0	3		2	;
	1		0	0		1
			1	1
	1					1
		1	1		1
		0	2i		2i
6)						;
		1	1		0
		1		1		2	3	4
		2		1	1		2	0
7)		1		2		1	1	3	;
		1		5	8		5	12
				7		8	9	13
	3

		2	1	5	6
10)		1	1	3	5		;
	1		5	1	3

		1	1	3	7	1
11)		2	1	1	6	4 .
	1		2	1	10	5
			1	2	5
	2					4

2.4. Найти обратную матрицу для данной матрицы:

12

1)		2	0
			;
	0		3
		2	1
2)
			;
	0		1
		0	0
				1
3)		0	1	0 ;
		1	0	0
		1	2	3
4)		0	1	2	;
	0		0	1
		2	2	3
5)		1	1 0			;
		1	2	1
		1	1	2
6)		2	1 2		;
		4	1	4

		2	7	3
7)		3	9	4	;
	1		5	3

	1		1	1	1
8)	1		1	1	1	;
	1		1	1	1
			1	1
	1				1
		1	2	3	0
9)		0	1	1	1 ;
		1	3	4
					1
		1	2	2
10)		2	1	2 ;
		2	2
				1
		1	2	3	0
11)		2	2	1	1 .
	3		0	1	2
			1	0
	4				5

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Основные понятия и теоремы: система линейных уравнений; решение линейной системы; однородная и неоднородная линейные системы; определенная и неопределенная линейные системы; эквивалентные системы; элементарные преобразования линейной системы; теорема Кронекера – Капелли; теорема о единственности решения линейной алгебраической системы; правило Крамера; метод Гаусса.

13

Пример 1. Решить систему уравнений
x1 3x2 2x3		4,
	x3	2,
2x1 6x2
	x3	2
4x1 8x2

при помощи правила Крамера.

Р е ш е н и е. Вычислим определитель основной матрицы

	1	3	2
	2	6	1	12.
	4	8	1

Так как , то по правилу Крамера система имеет единственное решение. Для того чтобы найти решение данной системы, вычислим определители 1, 2 , 3:

		4	3	2			1	4	2			1	3	4
		2	6	1 36	,		2	2	1 12	,		2	6	2 24.
	1					2					3
		2	8	1			4	2	1			4	8	2

Тогда x1 1	36 3,	x2 2	12	1,	x3	3		24 2.
	12		12					12
Таким образом, решение данной системы – (3, –1, 2).
Пример 2. Решить систему уравнений
	3x1 x2 2x3 7,
		1 2x2 x3 2,
	x
	2x1 3x2 5x3 11

при помощи метода Гаусса.

Р е ш е н и е. Для того чтобы использовать метод Гаусса: 1) составим расширенную матрицу данной системы (из коэффициентов при неизвестных и свободных членов); 2) при помощи элементарных преобразований изменим составленную матрицу.

	3	1 2		7			3	1 2		7	3 1 2					7
	1 2 1
				2			0	7 5		1		0	7	5		1	.
	2	3 5					0	7 11					0	42
				11						19	0					126

14

		3x	1 x2 2x3 7,
			7x2 5x3	1,
По полученной матрице составим систему
			42x3	126.
Из третьего уравнения системы находим x3			3, второе уравнение
äàåò x2 2, а из первого получим, что x1 1.
Таким образом, решение данной системы – (1, 2, 3).
3.1. Решить системы уравнений при помощи правила Крамера:
9x 2y 3,	4x y 2z 7,
		y 2z 3,
1)	6) x
7x 2y 13.		3y	3z 1.
	x
5x 9y 2,	x 2y z 1,
			z 4,
2)	7) 2x y
6x 7y 10.	3x 2y 3z 5.

x 2y z 4,

3) 2x y z 5,

x z 0.

3x 2y z 0,

4) 2x y 3z 0,

x y z 0.

x 2y z 0,

5) 2x y z 2,

3x y 3z 1.

3x 2y z 1,

8) x 2y 4z 11,

2x 4y 3z 0.

2x 3y z q 0,

3x y 2z 7q 0, 9) 4x y 3z 6q 0,

x 2y 4z 7q 0.

x 2y 5z 2q 5,

6x y 6z 9q 1,

5x 3y z 8q 2,

4x 3y 7z 9q 2.

3.2. Решить системы уравнений при помощи метода Гаусса:

15

		4x 3y 2,
1)			2z 4,
	x y
			z 10.
	3x 2y
	x 2y 4z 7,
2)			5z 11,
	2x 3y
	3x y 5z 16.
		x 5y z 0,
			3z 1,
3) 2x 4y

3x 4y 2z 8.

x 2y 3z 3,

4) 3x y 2z 0,

2x 3y z 3.

3x 2y 5z 10,

5) x 3y 6z 12,

2x 5y 3z 6.

x y z q 7,

x y z q 1,

6) x y z q 1,

x y z q 5.

x 2y 3z 4q 4,

		y z q 3,
	7)	x 3y 3q 1,
		7y 3z q 3.
	x 2y 3z q 0,
		x y z q 0,
	8)	x y z q 0,
	2x y 4z 5q 0.
		x z 1,
		2x 8y 2z 1,
		16y 10q 21,
	9)
		x 10y z 10p 2,
		4y 6z q 2p 1.
	x

x y z 6,

4x y 3z 15,

10)3x 2y z 4,2x y z 3,

7x 5y z 14.

3.3.Для нормальной жизнедеятельности организма необходимо, чтобы животное получало в сутки 5000 ед. витамина А, 30 – витамина Е и 400 ед. витамина D. Животное потребляет три вида кормов. Килограмм корма 1-го вида содержит 5000 ед. витамина А, 10 ед. витамина Е, 100 ед. витамина D. Килограмм корма 2-го вида содержит соответственно по 3000, 20, 300 витаминов А, Е и D. И килограмм корма 3-го вида содержит соответственно 1000, 10, 100 ед. витаминов А, Е и D. Сколько килограммов каждого корма должно потреблять в сутки животное, чтобы удовлетворить потребность в необходимом количестве витаминов А, Е и D?

3.4.На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью в 10 000 особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать с ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4 и 5 % соответственно для 1, 2 и 3-го видов. Установлено, что общий прирост популяции за пер-

16

вый год составит 380 особей и что прирост популяции 1-го вида равен приросту популяции 3-го вида. Найти начальные численности популяций трех видов.

3.5. Активность пасущегося животного можно грубо разделить на три категории: поедание пищи, передвижение и покой. Чистая энергетическая прибавка при поедании составляет 200 калорий в час. Чистые энергетиче- ские потери при движении и покое соответственно составляют 150 и 50 калорий в час. Как следует распределить сутки между тремя этими состояниями, чтобы энергетический доход за время поедания в точности компенсировал потери при движении и в состоянии покоя?

4.ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

ÈПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Основные понятия и теоремы: прямоугольные координаты точки на плоскости; расстояние между двумя точками на плоскости; деление отрезка в данном отношении; площадь треугольника; общее уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через две данные точки; уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой в «отрезках»; угол между двумя прямыми; расстояние между прямой и точкой; условия перпендикулярности и параллельности прямых.

Пример 1. Даны вершины треугольника A(5; 5), B(7; 4),C(1; 1). Найти:

1)уравнение высоты BD, опущенной из вершины Â;

2)уравнение медианы ÀÅ, проведенной из вершины À;

3)длину отрезка ÂÅ;

4)величину внутреннего угла треугольника при вершине Ñ;

5)площадь треугольника ÀÂÑ;

6)уравнение прямой, параллельной стороне ÀÑ;

7)уравнение прямой, перпендикулярной стороне ÀÑ.

Ð å ø å í è å. 1) BD – высота, опущенная из вершины Â. Следовательно, высота BD перпендикулярна стороне ÀÑ и справедливо равенство для угловых коэффициентов kACkBD 1.

Запишем уравнение стороны ÀÑ, для чего воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две известные точки:

y y 0		x x0	, т. е. получим	y 5		x 5	èëè y x.
y 1 y 0		x1 x0
				1 5 1 5

Èòàê, y x – уравнение стороны ÀÑ, угловой коэффициент kAC 1. Îò-

ñþäà kACkBD 1 kBD 1è kBD 1.

17

Для написания уравнения высоты BD воспользуемся формулой y y 0

k(x x0 ) и получим y 4 1(x 7) èëè y x 11.

Èòàê, y x 11– уравнение высоты BD.

2) ÀÅ – медиана, следовательно, точка Å является серединой сторо-

íû ÑÂ.

Найдем координаты точки Å, для этого воспользуемся формулами

x

x1 x2

, y

y 1 y 2

и получим x

7 1

4, y

4 1

2,5.

2

2

2

2

Другими словами, E(4; 2,5).

Запишем уравнение медианы ÀÅ:

y 5

x 4

èëè y 2,5x 15.

2,5 5

5 4

3) Найдем длину отрезка ÂÅ. Для этого воспользуемся формулой

BE

(x2 x1)2 (y 2 y 1)2

и получим

BE

(7 4)2 (4 2,2)2

1125,

3,354.

4) Для нахождения величины внутреннего угла треугольника при вершине Ñ надо найти угловые коэффициенты сторон ÀÑ è ÑÂ и воспользоваться формулой

										^			kAC kCB
										tgC																.
													1 kAC kCB
В пункте 1) найдено kAC 1. Найдем kCB . Для этого запишем уравнение
стороны ÑÂ:	y 1				x 1			èëè y				1			x				1			.
	4 1			7 1							2					2
															1			1
								1		^																1
																2
Следовательно, kCB
								2	è tgC											1								.
														1		1										3
																				2
^				1
Отсюда C arctg						.
				3
5) Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой
		1				x			1	y 1		1					1										5 5 1
	S 2 mod x2									y 2		1					2 mod 7												4 1 6.
						x3				y 3		1															1 1 1

18

6)Известно, что две прямые y k1x b1 è y k2x b2 параллельны, если k1 k2. В пункте 1) найдено k1 kAC 1и, следовательно, k2 1и уравнение y x b, ãäå b ! R, задает прямую, параллельную стороне ÀÑ.

7)Прямые y k1x b1 è y k2x b2 перпендикулярны, если выполняется условие k1k2 1. В пункте 1) найдено k1 kAC 1. Следовательно, k2 1. Уравнение y x b (ãäå b ! R) – уравнение прямой, перпендикулярной стороне ÀÑ.

4.1.Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная

ååугловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый ею на оси Îó:

1) k	2	, b 3;	3) k	1	, b 2;
3			2
2) k 3, b 0;			4) k 3, b 3.

4.2. Записать уравнение прямой, проходящей через точки À è Â, и найти координаты середины отрезка ÀÂ:

1)	A(2; 3), B( 1; 6);		4)	A(2; 1),	B(4; 1);
2)	A(3; 1),	B(2; 5);	5)	A(8; 1),	B(8; 7);
3)	A(4; 0),	B( 1; 2);	6)	A(0; 2), B( 3; 7).

4.3. Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки:

1)	A(2; 5), B(3; 2);	4)	A(7; 7), B( 1; 8);
2)	A(5; 3), B( 1; 6);	5)	A(10; 5), B( 1; 15);
3)	A( 3; 1), B(7; 8);	6)	A(0; 3), B( 6; 6).

4.4. Определить угол между двумя прямыми:

1) 5x y 7 0, 3x 2y 0;	4) x 5y 3 0, 2x 3y 4 0;
2) 3x 5y 1 0, 5x 3y 2 0;5) x 2y 4 0, 2x 4y 3 0;
3)	3x 2y 7 0, 2x 3y 3 0;
6) 3x 2y 1 0, 5x 2y 3 0.
4.5. Определить взаимное расположение прямых:
1)	x 5y 35 0, 3x 2y 27 0;
5) 3x 5 0, y 2 0;	9x 12y 5 0, 8x 6y 13 0;
2)
6) 6x 15y 7 0,10x 4y 3 0;	3x 5y 4 0, 6x 10y 7 0;
3)
7) 2x 4y 3 0, x 2y 0;

19

4) y 3 0, 5y 7 0;		8) 3x y 5 0, x 3y 1 0.
4.6. Вычислить площадь треугольника ÀÂÑ, если известны координаты
его вершин:
1)	A( 2; 2), B(6; 2),C(4; 8);	4)	A(2; 4), B( 2; 1), C(14; 1);
2)	A( 3; 1), B( 2; 4),C(3; 7);	5)	A( 1; 1), B(3; 2), C( 1; 5);
3)	A(2; 3), B(0; 0),C(3; 4);	6)	A(5; 4), B(1; 2), C( 2; 0).
4.7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2; 3) ïà-
раллельно прямой:
1) 3x 7y 3 0;		4) 3y 1 0;
2) x 9y 11 0;		5) 5x 2y 1 0;
3) 2x 3 0;		6) x 5 0.
4.8. Для данных прямых составить уравнения в отрезках и построить их
на чертеже:
1) 2x 3y 6 0;		4) 3x 5y 12 0;
2) 4x 3y 24 0;		5) 5x 2y 1 0;
3) 2x 3y 9 0;		6) 4x 5y 17 0.

4.9. Вычислить расстояние d от прямой до точки À:

1) A(2; 1), 4x 3y 10 0;		4) A(1; 2), x 2y 5 0;
2)	A(0; 3), 5x 12y 23 0;	5)	A(0;	5), 5x 10y 20 0;
3)	A( 2; 3), 3x 4y 2 0;	6)	A(6;	0),12x 10y 24 0.

4.10. Вычислить расстояние d между параллельными прямыми:

1)3x 4y 10 0, 6x 8y 5 0;

2)5x 12y 26 0, 10x 24y 39 0;

3)5x 12y 26 0, 5x 12y 13 0;

4)24x 10y 39 0, 12x 5y 26 0;

5)2x 10y 15 0, 2x 10y 5 0;

6)5x 6y 6 0, 10x 12y 1 0.

4.11. Составить уравнения биссектрис углов между прямыми:

1)	3x 4y 2 0, 5x 12y 3 0;
4) x 5y 35 0, 3x 2y 27 0;

2) 3x y 5 0, 3x y 4 0; 5) 2x y 5 0, 2x 2y 10 0; 3) 3x 5y 1 0, 5x 3y 2 0; 6) 5x y 7 0, 3x 2y 0.

20

4.12. Даны координаты вершин треугольника ÀÂÑ. Написать уравнения сторон треугольника ÀÂÑ и вычислить их длины.

1)	A(4; 6),B( 4; 0),C( 1; 4);	4)	A( 8; 9), B(1; 3),C(6; 7);
2)	A(3; 2), B(5; 2),C(1; 0);	5)	A(2; 1), B(8; 7),C( 10; 4);
3)	A(8; 1), B( 8; 11),C( 1; 1);	6)	A(2; 4), B( 2; 1),C(14; 1).

4.13. Даны вершины треугольника ÀÂÑ. Написать уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине Â.

1)	A(4; 6), B( 4; 0),C( 1; 4);	3)	A(0;	5), B(4; 0),C(10; 10);
2)	A(5; 4), B(1; 2),C( 2; 0);	4)	A(3;	2), B(0; 0),C( 1; 1).

4.14. Даны вершины треугольника ÀÂÑ. Написать: а) уравнения его медиан; б) координаты точки пересечения медиан.

1)	A(3; 2), B(5; 2),C(1; 0);		4)	A(1; 2), B(7; 6),C( 11; 3);
2)	A( 4; 0), B(0;	4),C(2; 2);	5)	A(3; 1), B( 5; 2),C(1; 8);
3)	A( 4; 8), B(5;	4),C(10; 6);	6)	A(2; 1), B(8; 7),C( 10; 4).

4.15. Даны вершины треугольника ÀÂÑ. Написать уравнение высоты, проведенной из вершины Ñ.

1)	A(5; 3), B(1; 0),C(17; 2);	4)	A(1; 1), B( 4; 4),C(0; 0);
2)	A( 1; 1), B(3; 2),C( 1; 5);	5)	A(2; 6), B( 9; 0),C( 2; 4);
3)	A(4; 6),B(7; 0),C(1; 8);	6)	A(4; 6), B(8; 0),C(5; 4).

4.16. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Ñ и отсекает от координатного угла треугольник с площадью S:

1) C(1; 1), S 2; 2) C(6; 4), S 6; 3) C(4; 3), S 3.

4.17.Составить уравнение прямой, если точка A(4; 2) является серединой ее отрезка, заключенного между осями координат.

4.18.Составить уравнение прямой, отсекающей на положительных полуосях координат равные оòðезки, если длина отрезка, заключенного между

осями координат, равна 72.

4.19. При каких значениях a è b прямая (a b)x (2a b)y 1 0 отсекает на оси Ox отрезок, равный 1, à íà îñè Oy – отрезок, равный 1 (åäè-

7

2

ниц масштаба)?

5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

21