Kepchik
.pdfОна имеет такую же область определения, как и исходная функция, и не обращается в нуль ни в одной точке.
Таким образом, на интервале (",0) график функции является выпуклым, а на интервале (0, ") – вогнутым (рис. 8.3).
9. По результатам исследования, проведенного выше, построим схема-
тический график функции y x 2 1 (ðèñ. 8.4). x
8.1. Используя правило Лопиталя – Бернулли, найти пределы:
1) lim |
1 x |
; |
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8) lim |
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3tg4x 12tg x |
; |
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x 1 ln x |
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x 0 3 sin 4x 12 sin x |
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2) lim |
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tg x x |
; |
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9) lim |
e x e |
x 2x |
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; |
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sin x |
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x sin x |
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x 0 x |
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x 0 |
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3) lim |
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x cos x sin x |
; |
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10) lim |
e 3x |
3x 1 |
; |
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x 3 |
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sin2 |
5x |
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x 0 |
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x 0 |
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4) lim |
ln x |
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; |
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11) lim x 2 ln x; |
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x 11 x 3 |
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x 0 |
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5) lim |
e x 1 |
; |
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12) lim( x)tg |
x |
; |
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x 0 sin2x |
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x |
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2 |
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1 cos 8x |
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1 |
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1 |
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6) lim |
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; |
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13) lim |
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; |
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tg 2 |
2x |
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x 0 |
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x 0 x e x |
1 |
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e 2x |
1 |
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2 |
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3 |
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||||||||||||||||||
7) lim |
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; |
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14) lim |
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; |
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2 |
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3 |
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x 0 |
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ln(1 2x) |
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x 1 |
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1 x |
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1 x |
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1 |
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ctg |
2 |
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3 |
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15) lim |
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x |
; |
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21) lim |
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x ln x; |
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x 0 x 2 |
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x 0 |
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||||||||||
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|
x |
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1 |
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1 |
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16) lim |
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; |
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22) lim |
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ln x; |
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x 1 |
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ln x |
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x " |
x |
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||||||||||||||||
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|
x 1 |
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17) lim |
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ln(1 xe x ) |
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; |
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23) lim |
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1 |
ln |
x 2 |
; |
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x 3 |
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|||||||||||||||||||
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1 x 2 ) |
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x 0 ln(x |
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x " x |
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18) lim |
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cos xe 2x |
2 sin xe 2x 1 |
; |
24) lim |
1 cos3 2x |
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; |
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10x 3x 2 |
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x sin3x |
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||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
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x 0 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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|
1 |
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5x 7 6x 2 4 |
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19) lim |
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; |
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25) lim |
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x 7 8x 77 |
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x 0 x |
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sin x |
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x " |
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42
20) lim |
cos2 3x |
; |
26) lim |
ln tg x |
. |
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3 cos2 |
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|||||
x |
|
x |
|
x 0 ln tg 2x |
|
||
|
2 |
|
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8.2. Найти промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции:
1) y |
1 |
x 3 |
1 |
|
x 2 2x 1; |
6) y 2x 3 3x 2; |
||||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
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x 3 3x 2 |
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||||||||
2) y 2x 3 12x 2 30x 7; |
7) y |
; |
||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
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|
x 1 |
||||||
3) y |
x 3 |
|
x 2 6x 2 |
; |
8) y x 2e x ; |
|||||||||||||
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|
2 |
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|||||||||||||||
3 |
|
|
3 |
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9) y 3x x 3; |
|||||||||||||
1 |
x 2 |
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2 |
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||||||||||||
|
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|||||||
4) y |
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; |
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10) y 4x 3; |
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2 |
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||||||||||||||
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11) y x(x 3)3; |
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5) y |
1 |
x 2 |
1 |
; |
12) y |
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5 |
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|||||||
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|
|
. |
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||||||||||||
2 |
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|
x |
|
|
|
|
|
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|
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||||||
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|
|
|
x |
2 |
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||||||||
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|
|
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|
5 |
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8.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке:
1) y 3x 2 |
x |
, [0; 4]; |
5) y 3x 14x 2 , [8; 10]; |
|
2) y x 2 , [0; 1]; |
6) y 2x 3 6x 5, [ 5 / 2; 3 / 2]; |
|||
|
|
|
|
|
3) y 9 x 2 , [ 3; 3]; |
7) y 2 cos x sin2x, [0; 3 / 2]; |
|||
4) y x 3 , [ 2; 2]; |
8) y x 4 8x 2 3, [ 2; 2]. |
8.4. Реакции организма на два лекарства как функции t (где время t выражается в часах) составляют u1 (t 1)e t è u2 t 2e t . У какого из ле-
карств выше максимальная реакция? Какое из лекарств медленнее в своем воздействии?
8.5. В питательную среду вносят 1000 бактерий. Численность ó бактерий
изменяется по закону y 1000 |
1000t |
|
(где время t выражается в часах). |
|
|
||
100 t |
2 |
|
Определить максимальное количество бактерий.
8.6. Зависимость между объемом воды V и температурой t *С определяется по формуле V 1 8,38 10 6 (t 4)2. При какой температуре объем воды будет наименьшим?
43
8.7. Больному делается инъекция лекарства в момент времени t 0. Концентрация этого лекарства в крови в момент времени t описывается зависимостью:
1) x (t) c(e at e bt ), ãäå a,b,c – положительные постоянные и
ab;
2)x (t) 10(e 8t e 6t ).
Каково максимальное значение x (t) и когда оно достигается?
8.8. Установить, при каком процентном содержании y кислорода в газовой смеси скорость окисления азота будет максимальной, если уравнение кинетики имеет видv k(100x 2 x 3 ),ãäå k – постоянная; õ – концентрация окиси азота и x y 100.
8.9. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости графика
функции: |
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1) y x 36x 2 2x 3 x 4; |
7) y x 3; |
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|
8) y x 3 |
x 4 |
; |
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||||||||||
2) y 3 4x 3 12x; |
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|
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|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
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||||||||
3) y 4x |
x 3 |
; |
|
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9) y 2 x 3 |
3 |
x 4; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
8 |
|
||||||||||
|
|
4x |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|||||||
4) y |
|
; |
|
|
|
|
10) y 3 |
x 1; |
|||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||
5) y 5 4x 2x 2 x 3; |
11) y 6 9x 3 5x 4; |
||||||||||||||||||||
6) y 5 9x 6x 2 x 3; |
12) y 5x 3 6. |
||||||||||||||||||||
8.10. Найти асимптоты графика функции: |
|
|
|
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|
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|||||||||||
1) y |
|
1 |
|
|
; |
3) y |
2x 2 9 |
; |
|||||||||||||
|
|
2 4x |
5 |
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
x 2 |
|||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2) y |
x 2; |
|
|
|
4) y x 2 9; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
5) y xe |
x |
1; |
9) y e |
x |
; |
|
|
|
|
||||||||
6) 2y(x 1)2 x 3; |
10) y |
|
|
x 2 |
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|||||||
7) y x 3 x 5; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
8) y |
|
x |
3 |
; |
|
11) y |
|
6x 3 |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
2 |
|||||||||
4(x 2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
9) |
|
|
|
|
8.11. Исследовать функцию и построить ее график:
45
1)y x 2e x ;
2)y x ; ln x
3) y |
|
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8x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
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|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) y |
|
x 3 |
|
|
; |
|
|
|||||
(x 2)2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
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|||||||
5) y |
|
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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||||
x 2 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6) y |
|
x 3 3x; |
||||||||||
7) y |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
2 (x |
4) |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
8) y |
|
4 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 x 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9) y |
|
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10)y (2 x 2 )e x 2 ;
11)y x 3 4x 2 3x;
12) y |
x 2 |
5x 4 |
; |
x 2 |
|
||
|
6x 5 |
13)y 3 x 2 ;
x2
14)y x 2 ln x;
15)y x 3 4 ;
x2
16)y 33x x;
34) y e x ;
|
x |
|||
|
1 |
|
||
35) y x 2e |
x |
; |
|
|
36) y xe x ; |
||||
37) y |
x 2 |
|||
|
; |
|||
1 x 2 |
17) y |
x 3 |
|
; |
|
|
|
|
|||||
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
||||||||||
18) y |
|
|
x 3 |
|
|
|
; |
|
|
|||
(x 2)2 |
|
|
||||||||||
19) y (x 1) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x ; |
|
|||||||||
20) y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 2 |
2x 2 |
|||||||||||
21) y |
x |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
22) y |
x 4 |
|
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
23)y 3(x 1)2 3x 2 1;
24)y 31 x 3 ;
25)y xx 3;
26)y xe x ;
27)y x ln x;
28)y x 4 x;
29) y |
|
x 3 |
; |
|
x 2 |
||
1 |
|
30)y (x 1)2 (x 3)2;
31)y x 1 ;
x
32)y (x 1)2 ; x 2
33)y 3x 2 ; 5x 2
38) y |
x |
; |
|
||
(x 1)2 |
39) y ln x ; x
40)y x 2 1.
x2 1
46
9. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Основные понятия и теоремы: понятие первообразной функции; неопределенный интеграл и его свойства; таблица основных интегралов; основные методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования, метод замены переменной, метод интегрирования по частям; интегрирование выражений с квадратным трехчленом в знаменателе; интегрирование некоторых тригонометрических выражений.
Пример 1. Используя свойства и таблицу неопределенных интегралов,
|
|
8 |
|
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|
1 |
|
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|
вычислить интеграл . 8x 6 |
6x |
|
|
|
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|
3 dx. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
2 |
||||||
|
|
x |
9 |
|
|
|
Ð å ø å í è å.
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|||
. 8x 6 |
6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 dx . 8x 6dx . 6x dx . |
|
dx |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
9 |
x |
2 |
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
. |
|
dx |
|
|
|
. 3dx |
|
. 8x 6dx . 6x dx 8. |
|
dx . |
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
9 |
x |
2 |
x |
3 |
2 |
x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3. dx 8 |
x 7 |
|
|
|
6x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 ln| x | arcsin |
|
|
3x c. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
7 |
|
ln6 |
3 |
|
|
|
|
|
Пример 2. Используя метод замены переменной, вычислить интегралы:
1) |
. |
cos 7x sin2 |
7xdx; 2) |
|
5e x dx |
; 3) |
. |
x 2dx |
. |
|
|
(x 3 5)2 |
|||||||
|
|
|
. e 2x 1 |
|
|||||
Ð å ø å í è å. |
|
|
|
|
|
|
1) |
. cos 7x sin2 7xdx 71 . cos 7x sin2 7xd 7x [7x u]
71 . cosu sin2 udu 71 . sin2 u d sinu [sinu t]
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. t 2dt |
|
t 3 |
|
|
|
|
sin3 7x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
c. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
7 3 |
21 |
|||||||||||||
|
|
5e x dx |
e x u, |
# |
|
|
|
|
|
du |
5arctgu c 5arctge x c. |
|||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||
. e |
2x |
1 |
e |
x |
. u |
2 |
1 |
|||||||||||||||
|
|
du |
|
dx$ |
|
|
|
|
|
|
47
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
x 2dx |
|
1 |
. |
3x 2dx |
1 |
. |
d(x 3 ) |
|
|
|
|
u] |
1 |
. |
|
du |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[x 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(x 3 5)2 |
3 |
(x 3 5)2 |
3 |
(x 3 5)2 |
3 |
(u 5)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
. |
|
d(u 5) |
|
|
|
1 |
. |
dt |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
[u |
5 t] |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
c. |
||||||||||||||||||
|
3 |
(u 5)2 |
3 |
t 2 |
|
3t |
|
3(x 3 5) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.u dv |
||
|
Пример 3. Используя метод интегрирования по частям |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
uv |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
x |
2 |
cos xdx; 2) |
. |
e |
x |
sin xdx; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
v du , вычислить интегралы: 1) |
|
|
|
|
|
|
3). 1 x 2 dx .
Ðå ø å í è å.
u x 2 ,
1) . x 2 cos xdx
dv cos xdx,
du u) (x)dx 2xdx # |
|
% |
|
v . dv . cos xdx sin x$ |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 sin x . 2x sin xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
u x, |
|
|
|
|
|
du u) (x)dx dx |
|
|
# |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
sin xdx, |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|||||||
|
|
|
dv |
. dv . sin xdx cos x$ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
2 |
|
x cos x |
. |
|
|
|
|
|
2 |
sin x 2(x cos x sin x) c |
|||||||||||||
|
sin x 2 |
( cos x d x) x |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x 2 sin x 2x cos x 2 sin x c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
u sin x, |
du u) (x)dx cos xdx# |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2) . e x sin xdx |
|
|
e |
x |
dx, |
v . dv . e |
x |
dx |
e |
x |
% |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
$ |
|
|
|
|
|||||||||||
e x sin x . e x cos xdx |
u cos x, |
du u) (x)dx sin xdx# |
|
|||||||||||||||||||||
|
e |
x |
dx, |
|
v . dv |
. e |
x |
dx e |
x |
% |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
$ |
|
e x sin x (e x cos x . e x sin xdx) e x sin x e x cos x . e x sin xdx.
48
Получили |
равенство |
. e x sin xdx e x sin x e x cos x . e x sin xdx, èç |
которого следует, |
÷òî 2. e x sin xdx e x (sin x cos x). |
|
|
Следовательно, . e x sin xdx |
1 |
e x sin x cos x c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
# |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
, du u) (x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 x |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv dx, |
|
|
|
|
|
|
v |
dv |
dx x |
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x 1 x 2 . x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx x 1 x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx x 1 x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x |
2 |
1 x |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
. |
|
x 2 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
1 |
(1 x 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
dx x 1 |
x |
2 |
|
dx x 1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsinx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x 2 dx x |
|
|
1 x 2 |
1 x 2 dx c. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Ïîëó÷èëè |
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равенство |
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. 1 x 2 dx x |
1 x 2 |
arcsinx . |
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1 x 2 dx c, из которого следует, |
÷òî 2. 1 x 2 dx x1 x 2 arcsinx c.
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. |
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dx |
x |
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1 |
arcsinx c , ãäå c |
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c |
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
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1 x 2 |
1 x 2 |
1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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2 |
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1 |
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2 |
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Пример 4. Вычислить интегралы от функций, содержащих квадрат- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ный трехчлен: 1) . |
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dx |
; 2) . |
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dx |
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. |
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; |
3) |
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8x x 2 dx. |
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2 |
6x 13 |
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2 |
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x |
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|
x |
|
6x 13 |
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|||||||||||||||||
Ð å ø å í è å. |
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1) |
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dx |
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выделим полный |
|
# |
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dx |
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% |
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|||||||||||||||||
. x |
2 |
6x |
13 |
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. (x |
|
3) |
2 |
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4 |
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||||||||||||||||||||||||||
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квадрат в знаменателе$ |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
. |
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d(x 3) |
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. |
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d(x 3) |
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[x |
3 u] . |
|
du |
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1 |
arctg |
u |
c |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(x 3)2 4 |
|
(x 3)2 4 |
u 2 4 |
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2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
arctg |
x 3 |
c. |
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2 |
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|
2 |
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49
|
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|
2) |
. |
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|
dx |
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|
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|
|
вы делим |
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|
ï î ëí û é |
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|
# |
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|
. |
|
|
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|
dx |
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% |
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x2 6x 13 |
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квадрат в зн ам ен ателе$ |
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(x 3)2 4 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
. |
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|
d(x 3) |
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[x 3 u] . |
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du |
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ln |
u |
u |
2 |
4 |
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c |
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2 |
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2 |
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(x |
3) |
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4 |
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u |
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4 |
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ln |
x 3 (x 3)2 4 |
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c ln |
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x 3 x 2 6x 13 |
c. |
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x 4 u, |
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# |
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|||||||||||||||||
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3). |
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8x x |
2 |
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. (x 4) |
2 |
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16dx |
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dx |
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% |
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$ |
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||
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du d(x 4) dx |
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u |
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u |
16 u |
2 |
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|||||||||||||
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. 16 u |
2 |
du . |
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2 |
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2 |
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4 |
|
u |
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|
du |
8arcsin |
|
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|
c |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
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2 |
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|
8arcsin |
x 4 |
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(x 4) |
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16 (x 4)2 |
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c. |
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2 |
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4 |
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Пример |
5. |
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Вычислить |
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интегралы: |
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1) |
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. sin3 x cos4 xdx; |
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2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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. sin2 x cos2 xdx; 3) . 7 sin5x cos 4xdx. |
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Ð å ø å í è å. 1) . sin3 x cos4 xdx . sin2 x sin x cos4 xdx |
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. sin2 x cos4 xd( cos x) |
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t, |
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# |
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cos x |
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. (1 t 2 ) t 4dt . (t 8 t 4 )dt |
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2 |
x |
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1 t |
2 % |
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sin |
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$ |
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t 9 |
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t 5 |
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c |
cos9 x |
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cos5 x |
c. |
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5 |
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9 |
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9 |
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5 |
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2) . sin2 x cos2 xdx . sin2 x(1 sin2 x)dx . (sin2 x sin4 x)dx |
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2 |
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4 |
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|
2 |
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1 |
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|
# |
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1 |
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. sin |
|
|
xdx . sin |
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|
|
xdx |
sin |
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|
|
x |
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(1 cos 2x)% . |
|
|
(1 cos 2x)dx |
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2 |
|
2 |
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$ |
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1 |
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2 |
|
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1 |
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|
1 |
|
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1 |
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2 |
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. |
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(1 |
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|
dx |
|
|
|
|
. |
dx |
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|
. |
cos 2xdx |
|
|
. |
(1 2 cos 2x cos |
|
2x)dx |
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2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos 2x) |
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|
|
|
|
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|
|
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|
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1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
1 |
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. dx |
|
|
|
|
. cos 2xd(2x) |
|
|
. dx |
|
|
|
. cos 2xdx |
|
|
. cos2 2xdx |
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|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
4 |
2 |
|
4 |
|
50
|
cos2 |
x |
1 |
1 cos 2x |
# |
|
1 |
|
dx |
1 |
|
cos 2xd(2x) |
1 |
|
1 |
|
cos 2xd(2x) |
|
% |
|
. |
|
. |
|
|
. |
|||||||||
|
|
2 |
|
2 |
4 |
2 2 |
|
||||||||||
|
|
|
$ |
|
|
|
|
41 . 21 (1 cos 4x)dx 21 . dx 41 . cos 2xd(2x) 41 . cos 2xd(2x)
81 . dx 81 . cos 4xdx 21 . dx 41 . cos 2xd(2x) 41 . cos 2xd(2x)
|
1 |
. dx |
1 |
|
1 |
. cos 4xd(4x) |
1 |
x |
1 |
x |
1 |
sin 4x c |
5 |
x |
1 |
sin 4x c. |
8 |
8 |
4 |
2 |
8 |
32 |
8 |
32 |
3)
Y
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 10.1 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
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# |
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|
. 7 sin5x cos 4x dx |
sin x cos y |
|
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sin(x y ) |
sin(x y ) % |
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2 |
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
|
||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
. |
(sin x sin9x)dx |
|
. |
sin xdx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin9 xdx |
|
|
||||||||||||||
|
7 |
|
|
sin xdx |
1 |
. |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
c. |
|
||||||
|
|
|
|
sin9xd(9x) |
|
cos x |
|
|
cos 9x |
|
|||||||||||||||
2 |
|
9 |
2 |
18 |
|
||||||||||||||||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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9.1. Используя метод непосредственного интегрирования, вычислить интегралы:
51