Kepchik

	á) lim		4 x					2		;
				1
	x 2 3							4x
	â) lim		tg 2	2x			;
	x 0 x sin9x
			8x 6			x
	ã) lim					.
			8x	7
	x "

	á) lim				x 13				4	;
					x 2 9
	x 3
	â) lim			tg2x			;
	x 0 sin9x
						2			x
	ã) lim 1								.
						7x 2
	x "

VII. В задачах 61–70 найти точки разрыва и указать их вид.

1

61. à) y 2	x 2 25							;
x 2				1, x 1,
				,1 x 3,
á) y 2x
x 2, x 3.
			1
62. à) y 6	x 2 9					;
cos x, x ,
									2
									x ,
á) y 0,				2
			, x ' .
2
			1
63. à) y 5	x 2 16						;
0, x 0,
											,
á) y tg x, 0 x										2
x, x ' .
									2
			1
64. à) y 4		x 2 1;
x 1, x 0,
			2	, 0 x 2,
á) y x
2x				, x 2.

			1
65.	à) y 8	x 2 4		;
	x 3, x 0,
			1, 0 x 4,
	á) y x
			x , x 4.
	3
			1
66.	à) y 3	25 x 2			;

x, x 0,
á) y sin x, 0 x ,
		2, x .
x
			1
67. à) y 14		16 x 2		;
cos x, x 0,
	2		1, 0 x			1,
á) y x
x, x 1.
			1
68. à) y 15		8x x 2			;
1	2x, x 0,
	x		, 0 x 2,
á) y 2

1, x 2.

82

21

1

69. à) y 4

x 2 6x 5

;

70. à) y 6

x 2 4x 4

;

4

, x 2,

9 x, x 2,

x

á) y 3 x, 2 x 1,

á) y x 2, 2 x 0,

2

2, x 0.

x

1, x 1.

x

2

VIII. В задачах 71–80 найти производные данных функций.

71. y cos2 (4x) sin3 (3x 4).

76. y tg 2 (x 6) ctg 3 (3x 4).

72. y tg 2 (6x 5) sin3 (x 2 ).

77. y cos2 (x 1) sin3 (9x 5 ).

73. y cos4 (4x 5) sin2 3x.

78. y cos2 (6 x) tg 4 (6x 9).

74. y cos2 (5x 5) ctg 3 (x 2 ).

79. y cos5 (10x) sin3 (x 2 6).

75. y cos3 (6x 2 ) sin2 (5x 4).

80. y ctg 2 (7 5x) sin3 (x 2 ).

IX. В задачах 81–90 приближенно вычислить значение выражения.

86. cos 181*.

81.

4,01.

82. ctg46*.

87. 64,01.

88. ctg61*.

83.

25,02.

84. sin61*.

89. 3 7,99.

90. sin89*.

85. 3 26,98.

X. В задачах 91–100 исследовать на локальный экстремум данные

функции.

91. à) y (x 5)3;

94. à) y xe x ;

1

á) y (

x)3 x 2 .

á) y 2x 33 x 2 .

4

1

(x 2)(8 x)

92. à) y xe

;

95. à) y

;

x

x 2

á) y 33

x 3

.

á) y (x 1)3 x 2 .

x 2

3

83

93.	à) y		x 3		;
			x 2	3
	á) y (x 4)3 x 2 .
97.	à) y			16				;
			x(4 x 2 )
			x 3
	á) y			33 x 2 .
	3

98.à) y x 2 (x 12)2;

á) y ( 1 x)3x 2 . 2

96. à) y xe x ;

á) y 63x 2 3x 3.

1

99. à) y x 2e x ;

á) y (3 x)3x 2 .

100. à) y	x	;
	x 3

á) y (x 1)3x 2 .

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 2

I. В задачах 1–10 вычислить интегралы.

1. à) .

tg x

5. à) . e x

2 e x dx;

dx;

cos2 x

á) .

6xdx

;

á) . 2arctg8xdx;

cos2 8x

â) .

dx

.

â) .

dx

.

2

x

x

x

2

4x

5

1

2. à) .

1

dx;

6. à) .

1

dx;

x ln2 x

x ln3 x

á) . (3x 1)sin3xdx;

á) . (1 x)cos(x 1)dx;

â).

dx

.

â) .

dx

.

2

5x

x

2

x

2x 2

6

3. à) .

cos(ln x)

dx;

7. à) . x cos(1 x 2 )dx;

x

á) . 2 arccos 4x dx;

á) . 9x cos 6xdx;

â) .

dx

.

â) .

dx

.

x 2 4x 12

x 2 3x 2

84

e x

4. à) . e x 1dx;

á) . 8 arcsin 6x dx;

dx

â) . x 2 7x 13.

9. à) . sin(ln x) dx; x

á) . (x 2)sin5xdx;

dx

â) . x 2 2x 3 .

8. à) . x5 x 2 dx;

á) . 4x ln2xdx;

dx

â) . x 2 2x 5 .

10. à) .				e x			dx;
			1 e		2x
á) . 4xe 9x dx;
â)	.			dx				.
			3x 2 x 1

II. В задачах 11–20 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

11. y x 3 , y x 6, y 0. 2

12.y ln x, x 2, x 5, y 0.

13.y x 2 2x, y x 2.

14.y cos x, y x 1, y 0.

15.y x 2 , y 2 x 2.

16.y x 2 4x, y 0.

17.y x 2 , y x 3.

18.yx 4, y x 5.

19. y x 2 1, y 2(1 x 2 ). 4

20. y sin x, y 2 2x, y 0.

III. В задачах 21–30 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Îõ фигуры, ограниченной данными линиями.

21.y 3e 2x , y 0, x 1, x 2.

22.y x x 2 , y 0.

23.y x 2 , y x 2, x 0.

24.y sin2x, y 0, 0 x .

2

25. y 2 2x, y 0, x 4.

26.y 4x x 2 , y x.

27.y x 2 3x 2, y 0.

2
28. y x 2	, y 0, x 0, x 1.

29. y 2x x 2 , y x.

30. y e x e x , x 1, x 1.

IV. В задачах 31–40 найти частные производные 1-го порядка и полный дифференциал данной функции.

85

31. z sin5x cos(y x) . xy

32. z sin(y x) ln6y . xy

33. z sin(x 5y )e xy . xy

34. z ln(4x y )cos 9y . 2x y

sin(x y )e x y

39. z . (x y )x

35. z	sin(xy )e x 2y
		.
	x 7y

36. z sin(x y )cos 8y . x y

37. z e x y cos(4y x) . (2 x)y

38.z ln7x cos(y x) .

x(y 5)

40. z sin(xy )cos(y x) . 3x 6y

V. В задачах 41–50 вычислить частные производные 2-го порядка дан-

ной функции.
41. z 3x 3	4y 4 5x 2y 6.	46. z (y 4)x 3 6y 4	x 2y.
42. z 5x 4	6y 5 7x 3y 8.	47. z 3x 5 2y 4 7x 2	(y 6).

43.z yx 3 6y 4 5x 2 6xy. 48. z 7x 4 9y 4 6(x 2y 6x).

44.z 9x 4 6y 4 5xy 3 7y. 49. z 2x 5 6y 5 5x 2y 3 5xy.

45.z x 3 4(y 4 x) 3x 2y 2. 50. z 3(x 3 y 3 ) 2xy 4 6xy.

VI. В задачах 51–60 исследовать данную функцию на экстремум.

51. z x 3	y 2x 5x 2y 12y.	56. z y 3 3x 2y 12x 15y.
52. z e x y ( 2y 2 x 2 ).		57. z x 2	y	2 xy x 2y.
53. z x 2	y 2 xy 2x y.	58. z e y x (y 2 2x).
54. z 3x 3 y 2x 2x 2y 5x.		59. z x 3	y	2x 2x 2y 16y.
55. z e y x (y 2 2x 2 ).		60. z e x y (x 2 2y ).

VII.В задачах 61–70 найти наибольшее и наименьшее значения данной функции в заданной области D.

61.z yx 2 (x 4y 3), область D: x 0, y ' 0, x 4y ' 4.

62.z xy 2 (x 5y 6), область D: x 0, y ' 0, x 5y ' 5.

63.z yx 2 ( x 4y 3), область D: x ' 0, y 0, x 4y 4.

64.z xy 2 ( x 3y 5), область D: x ' 0, y 0, x 3y 6.

65.z xy 2 (x 4y 9), область D: x 0, y 0, x 4y ' 8.

66.z xy 2 (x 3y 3), область D: x 0, y 0, x 3y ' 4.

86

67.z xy 2 (2x 3y 7), область D: x ' 0, y 0, 2x 3y ' 6.

68.z x 2y(3x 2y 4), область D: x 0, y ' 0, 3x 2y ' 5.

69.z xy 2 (3x y 7), область D: x ' 0, y 0, y 3x ' 6.

70.z x 2y(y 2x 3), область D: x 1, y ' 0, 2x y 4.

VIII. В задачах 71–80 решить дифференциальные уравнения.

71.	à) (x 2 y 2 )dy 2xydx 0;	73. à) xy 2dy (x 3 y 3 )dx;
	á) xy )y x 3;	á) y )2y e 3x ;
	â)	y )) y )y 3 sin2x.			â)
y )) 6y ) 25y 3 cos x 2 sin x.
72.	à) (x 2 y 2 )dx 2xydy 0;	74. à) (x 2 y 2 )dx xydy 0;
	á) y )y e x sin x;	á) xy )xy e x ;
	â) y )) y )2y cos x 3 sin x. â) y )) 2y )y cos x sin x.
75.	à) (y 2 xy )dx 2(xy x 2 )dy;	78. à) (x 2 y 2 )ydx x 3dy;
	á) y ) 2y e x x;	á) y )y cos x;
	â) y )) y ) sin2x.	â) y )) 6y ) 9y 5 sin x.
76.	à) 2x 2y ) 3x 2 6xy y 2;	79. à) (x y )2 dx xydy y 2dx;
	á) y ) 4y e 2x ;	á) y )2y e x ;
	â)	y )) 4y ) 4y 3 cos 2x 2 sin2x.
â) y )) 3y )10y 3 cos x sin x.
77.	à) x 2y ) xy y 2;	80. à) (x 2 y 2 )y ) 2xy;
	á) xy )y sin x;
		á) xy )y x	x	;
	â) y )) 2y )y cos x sin x.	â) y )) 5y ) sin5x.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

1.Метод координат и прямая линия

Âзадачах 1–10 заданы координаты вершин треугольника ÀÂÑ. Надо найти: а) длину стороны ÂÑ; б) уравнение линии ÂÑ; в) уравнение высоты, проведенной из точки À; г) длину высоты, проведенной из точки À; д) точ- ку пересечения медиан треугольника; е) площадь треугольника.

1. À(–3; 6), Â(6; 1), Ñ(3; –4).

6. À(4; –2), Â(–2; 3), Ñ(2; –5).

87

2.	À(3; 2),	Â(0; 1),	Ñ(2; –5).	7.	À(2; 2),	Â(–3; –2),	Ñ(4; –2).
3.	À(1; –1),	Â(5; 6),	Ñ(7; –3).	8.	À(–3; –2),	Â(1; 4),	Ñ(6; –5).
4.	À(1; 3),	Â(4; –6),	Ñ(0; –2).	9.	À(–3;–5),	Â(2; 6),	Ñ(7; –10).
5.	À(1; 2),	Â(4; –1),	Ñ(3; –4).	10. À(2; 1),		Â(6; 5),	Ñ(5; –2).

2. Пределы

В задачах 11–20 найти пределы.

11. à) lim

3x

2 2x 1

;

4x 2 x 5

x "

á) lim

x 2 5x 6

;

x 3 8

x 2

3

;

â) lim

3x 3

x 2

x 2 4

2x 1 x

ã) lim

.

x "

2x 2

13. à) lim

1 2x x 2

;

x " 4 3x 2x 2

á) lim

x 2 2x 3

;

x 3 x 2 5x 6

â) lim

4 x

2

;

x 0

x

x 2 2x

ã) lim

.

x " x 3

14. à) lim

3x 3 x 5

;

1

x " 4x 3 2x 2

á) lim

x

2 7x 10

;

x 2 2x 2 9x 10

â) lim

1

x 4

;

x 5

x 2 5x

ã) lim

1 cos x

.

x 0

x 2

12. à) lim

x 3

2x 2 4

;

3x

1

x " 2x 2

á) lim

2x 2 3x 1

;

x 1 2x 2 5x 3

â) lim

x 2

3x 2

;

x 1

3

x 1

ã) lim

tg4x

.

x 0

3x

17. à) lim

5x

3 x 4

;

3 x 5

x " 2x

á) lim

x 2 8x 15

;

10x

21

x 3 x 2

â) lim

x 2

5x 4

;

2

x 4

x

4

2x

ã) lim 1

.

x

x "

18. à) lim

1 2x x 2

;

x 5x 2

x " 4

á) lim

2x

2 x 1

;

2

5x 4

x 1 x

3

â) lim

x

1

;

1

x 1 x 2

ã) lim

sin(x 2)

.

x 2 x 2 3x 2

88

15. à) lim

x 4

2x 2 1

;

19. à) lim

4x

3 5x 6

;

2

1

x " 3x 4 6x 2

x " 2x 3 x 2

á) lim

2x 2

x 10

;

á) lim

x 2 7x 10

;

2

5x

6

x 2 25

x 2 x

x 5

2

2 16

â) lim

5 x

;

â) lim

x

;

x 1 x 2

3x 2

x 4 1

x 3

1

1 x 2x

x

3x

ã) lim 1

.

ã) lim

.

2

x

x 0

x "

16. à) lim

2x 4 x 2 4

;

20. à) lim

x 2

2x 3

;

4 x 1

x 2 1

x " 3x

x " x 3

á) lim

2x

2 7x 4

;

á) lim

2x

2 13x 20

;

x 2 16

x 4 x 2 x 12

x 4

x 2 4

â) lim

;

â) lim

9 x

3

;

3

2 2x

x 2 2x 5

x 0 x

ã) lim xctg3x.

ã) lim

2x

.

x 0

x 0 tg3x

3.Производная функции одной переменной

Âзадачах 21–30 найти производные данных функций.

89

21.

à) y

1

;

(2x 2 3)4

á) y tg5

x;

â) y ln

x 2 a2 ;

ã) y 3sin2 x .

22.

à) y 3 (4x 5)2 ;

á) y

1

;

cos 3x

â) y lg(x 2 5x 6);

ã) y e 2x (

2x

1).

23.

à) y

1

;

x 2 a2

á) y ctg3 x ; 2

â) y ln tg x ; 2

ã) y 53x (3x)5.

24.à) y 1 3x 2 ;

á) y cos3 x ; 3

â) y ln 2 x ; 2 x

ã) y arcsin 1 .

x2

1
25. à) y			;
	(1 x 2 )3
á) y sin2 x 2;
â) y lnln x;
ã) y arcsin		1		2x.

26.à) y 4(4x 3)3 ;

1 x á) y cos x ;1

â) y lnsin2 x;

ã) y arcctg 1 . x

27.à) y x 4 2x 3;

á) y e sin3 x ;

â) y lnctgx;

ã) y arccos x 3.

28. à) y

1

;

3x 2 1

á) y asin2 x ;

â) y ln

x a

;

x a

ã) y arctg

1

.

x

29. à) y

1

;

3x

4

á) y tg 4 5x;

â) y lnctg3x;

2

ã) y

1

arcsin3x

2.

30.à) y 2x sin 4x; á) y ln2 4x;

â) y x e 2x ; x e 2x

ã) y arccos 1 . x 2

4. Исследование функций и построение графиков

90

В задачах 31–40 исследовать функцию и построить ее график.

31. y

1

.

36. y

x 2 2x 2

.

1

x 2

x 1

32. y

x 3

.

37. y

x 4 3

.

2(x 1)2

x

33. y

1

.

38. y x 2

2

.

x

2 3x 2

x

34. y

x 4 1

39. y

4x

.

.

x 2

4 x 2

35. y

1 4x 3

.

40. y

4x 12

.

x

(x 2)2

5. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

В задачах 41–50 приближенно вычислить значение выражения.

41.	26 .				46. ln0,97.
42. 3					47. sin60*12).
	124.
43. 4
		82.			48. ln103,.
44. cos 91*.					49. ctg29*30).
45.	50.				50. (3,03)5.

6.Интегральное исчисление функции одной переменной

Âзадачах 51–60 вычислить интегралы.

x2dx

51.à) . x 3 3;

á) . x cos 6xdx;

4			dx
â) .								.
0		2x 1
52. à) .			sin xdx							;
		2 cos x
á) . xe 2x dx;
9
			xdx
â) .						.
		x 1
4

53. à) . e sinx cos xdx;

á) . x ln xdx;

1

â) . xdx .

15 4x

54. à) . cos xdx ;

2 sin x

á) . x sin3xdx;

5			dx
â) .						.
1	1			2x 1