Kepchik

1). (x 5 7)dx;

2). xdx;

3). 34x 3 dx;

4). dx ;

x

dx

5) . x 2 ;

6) . (x 3 6x 2 4x 5)dx;

	.	1											1									1
7)																								dx;
		x													x							x 2
	.																										2						1
8)		5 cos x 2 3x																																dx;
																																	x
9) .								dx					;
			x 2 5
10) .										dx										;
						16 x										2
											1													1
11).																																dx;
								2			25
																							x	2
	x																								5
12) .										2											3
																													dx;
									2
																					1 x					2
		x									1

13). (2x 3x )dx;

14). sin x 8 cos x dx;

x 2

15) . x 3 dx;

x2

16). x 2 1dx;

17). tg 2xdx;

18)	.			x		x 3e x x 2												dx;
									x 3
19)	.							dx							;
		sin2 x cos2 x
20)	.		1 2x 2										dx;
		x 2 (x 2 1)
21)	.		1 2x 2										dx;
		x 2 (x 2 1)
							3										5
22)	.																				dx;
			9x				2	4
																		x	2
											25
23)	.			7dx						;
		x 2 16
							3
24)	.											dx;
					x		2		3
25)	. ctg 2xdx;
26)	. (15x 2 (2x x 2 ) 6x 7)dx;
27)	. (2e x							5x )dx.

9.2. Используя метод замены переменной и свойства дифференциала, вычислить интегралы:

52

1)	. cos 3xdx;
2)	.			1					dx;
			x		1
3)	. sin(3x 4)dx;
4)	. tg(3x 4)dx;
5)	. x 2 cos(x 3 6)dx;
6)	. sin3 x cos xdx;
7)	.					dx										;
			cos2 3x
8)	.		ln x					dx;
			x
9)	.						x									dx;
			(x 4)4
	.		e x				1
10)											dx;
		e x					1
11)	. e cos x sin xdx;
12)	.				e x								dx;
		e 2x 4
13)	.					dx												;
					x					3
													x
	.
14)				2x 3										dx;
	. x
15)						2x 2 5dx;

16).

17).

18).

19).

20).

21).

22).

23).

24).

25).

26).

27).

28).

xx 2dx;

xdx ; x 4

x 1 1

x 1 1dx;

e x dx;

4 e 2x

dx

e x 1 ;

x 2

2x 3 5 dx;

7x

(x 2 6)3 dx;

2x

x 2 3 dx;

x 5

5x 6 7 dx;

9x 2

5x 3 16

dx;

5x 2

(x 3 1)4 dx;

x1

x2 9 dx;

3x 2

x 3 6 dx.

9.3. Используя метод интегрирования по частям, вычислить интегралы:

1)	. xe x dx;	4)	. arctgxdx;
2)	. x sin xdx;	5)	. arcsin xdx;
3)	. ln xdx;	6)	. x cos 5xdx;

53

7)	. x 2e x dx;								17)	. e 2x cos 3xdx;
8)	.	x3x dx;							18)	.	cos 2x			dx;
			2									e 3x
9)	. x			ln xdx;					19)	. e		x	cos 2xdx;
				x
10)	. x 2e				2	dx;				.	x arcsin x
11)	. x 3 sin xdx;								20)									dx;
													1 x 2
	. (3x 1)cos 2xdx;									.
12)									21)			6 x 2 dx;
13)	. x 2 ln(x 1)dx;									.
									22)			9 x 2 dx;
14)	. (2x 3)ln(x 2)dx;									.
									23)			1 4x			2		dx;
	.		xdx
15)							;		24)	.		15 4x 2 dx;
		cos2 x
	.	lnsin xdx								.
												1 16x 2 dx.
16)								;	25)
			cos2 x

9.4. Вычислить интегралы функций, содержащих квадратный трехчлен:

.

dx

10) .

2x 7

1)

;

;

x 2

4x 13

x 2 x 2

2)

.

2dx

;

11) .

dx

;

2

4x 14

x

5 4x x

2

3)

.

dx

;

12) .

dx

;

x 2

6x 16

2 3x 2x 2

4)

.

dx

;

13) .

dx

;

x 2

3x 6

6 4x 2x 2

5)

.

x 2

dx;

14) .

dx

;

2

2x 5

x

12 6x 3x

2

.

dx

15) .

dx

6)

;

;

x 2

36

x 2 x 1

.

dx

16) .

dx

7)

;

;

3x 2 10

2x 2 17

8) .

dx

;

17) .

dx

;

5x

2

x

2

4x 5

7x 11

54

9) .						dx						;					18)	.				dx							;
		4x			2	10x		24
																				x	2			2x 9
19)	.					dx							;				21)	.				dx					;
			12 4x					x		2										25				49x	2
20)	.					dx										;	22)	.						dx							.
			(x			2) x		2	x											4x		2	4x					24
														1
9.5. Вычислить интегралы:
1)	. sin7x sin3xdx;																13)	. ctg 2xdx;
2)	. sin x sin3xdx;																14)	. sin2 x cos2 xdx;
3)	. cos x cos 3xdx;																15)	. sin4 x cos2 xdx;
4)	. cos 2x cos 4xdx;																16)	. cos12x cos 5x cos13xdx;
5)	. sin3x cos 2xdx;																17)	. sin6 x cos2 xdx;
6)	. sin5x cos 3xdx;																18)	. sin2 x cos3 xdx;
7)	. cos2 xdx;																19)	. cos 2x cos x cos 3xdx;
8)	. (sin2 x 9x 2 )dx;																20)	. sin4 x cos8 xdx;
9)	. cos4 xdx;																21)	. cos 5x cos x cos 6xdx;
10)	. sin4 xdx;																22)	. sin x cos6 xdx;
11)	. sin x cos4 xdx;																23)	. sin x sin6x cos 7xdx;
12)	. sin3 x cos3 xdx;																24)	. sin2x sin 4x sin6xdx.

9.6. Скорость распада радиоактивного веществаv (t) km 0e kt ,ãäå k –

постоянная; m – масса радиоактивного вещества при t t0. Составить уравнение изменения массы m(t) радиоактивного вещества.

9.7.Скорость растворения лекарственного вещества из таблетки

vkc0Fe kFt , ãäå c0– концентрация лекарственного вещества при t 0, k

–постоянная растворения; F – площадь поверхности растворяемого вещест-

ва в единице объема. Составить уравнение растворения лекарственного вещества, если c cs c0 ïðè t 0, ãäå cs – концентрация насыщения.

55

9.8.Скорость роста популяции насекомых v t t 2 (где время t выражается в днях). При t 0 число особей в популяции равно 10 000. Определить численность популяции спустя: 1) 5 дней; 2) 10 дней; 3) 20 дней. Сравнить полученные результаты.

9.9.Скорость роста числа бактерий задается при помощи следующей

формулы: v 104 2 103 t. Составить уравнение роста числа бактерий x(t), åñëè x(0) 106.

9.10. Теплоемкость воды определяется при помощи следующей формулы: c 1 4 10 5 t 9 10 7 t 2. Определить количество теплоты, необходимой для нагревания 1 кг воды от 0 до 50 *C.

9.11. Составить уравнение движения точки x(t), åñëè:

1)скорость точки v 2et (ì/ñ) è x(1) 3e (ì);

2)скорость точки v ( 3t 2 12t) (ì/ñ) è x(4) 32 (ì).

10. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Основные понятия и теоремы: определенный интеграл и его свойства; формула Ньютона – Лейбница; основные методы интегрирования; приложения определенного интеграла: вычисление площадей, длин дуг, объемов тел вращения; биологические приложения определенного интеграла; несобственные интегралы 1-го и 2-го родов.

																									4											1						3			dx
Пример 1. Вычислить интегралы: 1) . (x 2 5																																					)dx; 2) .											;
																																x
																																													7
																									1											x						1				2x
	e2
3) . x ln xdx.
	e
						4												1							4							4									4	dx
Ð å ø å í è å. 1) . (x 2 5																					)dx . x 2dx 5. xdx .
															x
																				x																						x
						1																				1						1									1
		3 4				3	4											3 3												3								3
																													4 2					10
	x				2x	2						4					4					1				10												12
				5					ln x			1																													(ln			4 ln1)
	3				3
			1														3 3												3					3
						1
										63						70			ln 4							133		ln 4.
									3								3									3

56

3		dx		7 2x t,		x	7 t	, dx	dt	#		1	1	dt
2) .						2		2		%			.
												2
		7 2x
1					2( 1) 9,					%			9		t
				( 7				7 2 3 1$

9

1 .

dt

3 1 2.

1

t

9

2 1

t

b

b

3) Используем формулу интегрирования .udv uv

ab

.vdu ïî ÷àñ-

a

a

òÿì.

ln x, du

dx

#

2

e2

u

, %

x 2

e

1 e2

x

. x ln xdx

%

ln x

. xdx

2

2

2

e

dv

xdx, v

x

%

e

e

2

$

	x 2	e2	x 2 e2	e 2		2
		ln x			(3e		1).
	2	e	4 e	4

Пример 2. Вычислить: 1) площадь S фигуры, ограниченной линиями: x 2, x 5 и дугой кривой xy 10; 2) объем V тела, полученного вращением вокруг оси Îx криволинейной трапеции, ограниченной линиями, указанными в п. 1).

Р е ш е н и е. 1) Изобразим на рисунке криволинейную трапецию, ограниченную линиями x 2, x 5 и дугой кривой xy 10 (ðèñ. 10.1).

Для нахождения площади искомой фигуры воспользуемся формулой

b

S . f (x)dx и получим

	a
	5	10
	S .		dx 10 ln x		25 10(ln5 ln2) 10(160944,	0,69315) 9,163 êâ.
		x
	2

åä.

2) Для нахождения объема тела, полученного вращением вокруг оси

Îx криволинейной трапеции (ограниченной линиями, указанными в п. 1)),

b

воспользуемся формулойVx . f 2 x dx:

a

	5		10 2				1			5
V					dx 100					30 94,2 êóá. åä.
	.		x				x
	2									2

Пример 3. Вычислить длину дуги кривой y ln x îò x1 3 äî x2 8. Р е ш е н и е. Вычислим производную данной функции

57

f ) (x) (ln x)) (1/ x)

и воспользуемся формулой

x2

l . 1 f ) (x) 2 dx.

x1

Тогда длина дуги кривой равна

8

l .

3

		2
	1				8		1 x 2
1			dx	.
x							x
					3

1
		x 2 t 2, x t 2 1
							1
				(t 2	1)
							2
dx dx									2tdt
					2
t	1		2,		t2 3

#

%

%

%

%

%

%

$

	3										1										1						3		t		2	dt						3		(t			2				1) 1													3									1
	.				2										2												.											.																						.
											2											2
			(t				1)						t(t					1)						tdt																																			dt
																														2																	2																					2
																																																														1										dt
	2																										2 t					1						2							t					1										2							t 1
																	1				t 1					3									1 1 1 1																									1 3
												t
																				ln						1 ln ln 1 ln .
																	2								2							2 2 2 3																												2 2
																					t 1
	Пример 4. Выяснить, является ли несобственный интеграл сходящим-
ся, и, если является, то вычислить его:
				"		10dx											"											1			6dx								3									dx
	1) .											; 2)						. cos xdx; 3) .																		; 4).																					.
						2																									2
																																														9 x									2
				1			x										0											0				x							0
	Р е ш е н и е. 1) Данный интеграл является сходящимся, так как
"10dx														" dx													t	dx																						1					t													1
.										10				.						10 lim													10 lim																								10 lim 1														10.
				x 2												x 2												x 2
																								t ".														t "														x								t "									t
	1													1													1																										1
				"																	t
	2)			.		cos xdx lim															.			cos xdx lim sin x																					t				lim (sint sin0) limsint,
																		t "															t "												0							t	"																		t "
				0																	0

но предел функции y sint ïðè t " не существует, т. е. данный интеграл расходится.

1

6dx

1 dx

1 dx

1 1

1

3)

6

6 lim

6 lim

6 lim

1

",

.0 x 2

.0 x 2

./ x 2

/ 0

/0

x /

/0 /

ò.е. данный интеграл расходится.

4)Данный интеграл является сходящимся, так как

58

3

3 /

3 /

3 /

0 .

.

dx

lim

dx

lim arcsin

x

lim arcsin

9 x

2 /0 .

9 x

2 /0

3 0

/0

3

2

0

0

10.1. Вычислить интегралы:

2

1) . (3x 2 1)dx;

0

3

2) . dx ;

0 1 x 2

3) .2 cos xdx;

0

4) . sin xdx;

0

1

5) . ekx dx;

0

1

1

6) .11 x 2 dx;

4

7) . (32 28x 9x 2 )dx;

2

3

8) . (x 3 )dx;

1 4

10.2. Вычислить интегралы:

3 dx

9) . ;

2 x 2

1

10) . (x x 2 )dx;

0

7

11) . (5x 2 2x 7)dx;

1

12) .5 x x 2 x 3 1dx;

x

1

	2						5dx
13) .																			;
					4 9x									2
	0
	4																						7				6
									3											2
14)	.						x				5x																	dx;
																							x 2
																											x
	1
	5	7									8											1
15) .																								7 dx;
																					5x		2
	1	x										x
	5				5dx
16) .														.
					x			2	5
	0

		2			4			x
		. x			4) .
	1)		2 xdx;									dx;
						1
		1			1					x
		.2 sin2xdx;			8		x
	2)				5) .							dx;
		0			3		x 1
	3)	.2 sin x cos2 xdx;			6) .2		sin x						dx;
						1 3 cos x
		0			0

59

1

7) . x dx;

0 1 x

8) .3 e cos x sin xdx;

0

2

9) . dx ;

0 4 x

10.3. Вычислить интегралы:

1)	.2 x 2 cos 2xdx;
	0
	e 1
2)	. ln(x 1)dx;
	0
	2
3)	. x ln xdx;
	1
	1
4)	. xe x dx;
	0
5)	. x 3 sin xdx;
	0
	1
6)	. arcsinxdx;
	0
	1
7)	. xarctgxdx;
	0
	2	x
	. x sin
8)			dx;
		2
	0

1dx

10).0 1 x ;

2

11) . x4 xdx;

0

4

12) . x5x 2 7dx.

1

1

9) . e 3x cos 4xdx;

0

e

10) . x 2 ln2xdx;

0

11) .2 x(x 5)sin6xdx;

0

1

12) . xe 2x dx;

0

1

13) . x 3e 5x dx;

0

2

14) . e 2x sin2xdx;

0

5

15) . (2x 3)ln(x 2)dx;

3

16) . x 2 sin7xdx.

0

10.4. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: 1) xy 4, x 4, y 4, x 0, y 0;5) y x , y 2, x 0;

2) y x 2 4x, y x 4;	6) y 3 2x, y x 2;
3) y (x 2)2 , y 4 x, y 0;	7) y x, yx 2 1, y 0, x 3;

60

4) y x 3, y 2x, y x;	8) y x 2 2, x y 4;
9) y sin x, y x 2 x;	11) y cos x, y x 2;
10)	y ln x, x e, y 0;	12)

y x 2 x 1, y x 2 4x 5.

10.5. Вычислить длину дуги кривой:

1) y 2 4x между точками 4) y x 3 îò x 0 äî x 5;

A(1; 2) è B(4; 4);

2) y x 2	1, отсеченной осью Îõ;	5) y ln(1 x 2 ) îò x 0 äî x	1	;
		2
3) y x 2	îò x 0 äî x 2;	6) x lncos y îò y 0 äî y .
		3

10.6. Вычислить объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

1)y 2 6x, x 2, y 0 вокруг ожи Ox;

2)y x 3 , x 2, y 0 вокруг ожи Ox;

3)y x 3 , x 2, y 0 вокруг ожи Oy;

4)yx 4, x 1, x 2, y 0 вокруг ожи Ox;

5)y x 3 , x 0, y 1 вокруг ожи Ox;

6)y x 3 , x 0, y 1вокруг ожи Oy;

7)y 2 4ax, x a вокруг ожи Oy;

8)y x 2 , 4x y 0 вокруг ожи Oy;

9)y sin x, x ! [0; ], y 0 вокруг ожи Ox;

10)2y x 2 ,2x 2 2y 3x 0 вокруг ожи Ox.

10.7. Исследовать на сходимость следующие интегралы:

"					dx			"
1) .							;	6) . sin xdx;
			2	4x 5
" x								0
"								"
2) . xe x 2 dx;								7) .	dx	;
									x (
0								1
"
			dx					4
3) .						;		8) . ctgxdx;
			2
1		x		x				0

61