Kepchik

2x 2 0

tg x (x 2 2x 1)

1

cos2

x

2x 2

tg x (x 2 2x 1)

1

.

cos2 x

3) y )

6x 5

)

(6x 5)) sin5x (6x 5)(sin5x))

(sin5x)2

sin5x

6 sin5x (6x 5)cos 5x(5x)) 6 sin5x 5(6x 5)cos 5x.
sin2 5x	sin2 5x

4)y ) (cos2 x cos 2x cos x 2 )) (cos2 x)) (cos 2x)) (cos x 2 ))

2 cos x(cos x)) sin2x(2x)) sin x 2 (x 2 ))

2 cos x sin x 2 sin2x 2x sin x 2

sin2x 2 sin2x 2x sin x 2 3 sin2x 2x sin x 2.

5)y ) (cos 7x sin3 x)) (cos 7x)) sin3 x cos 7x(sin3 x))

sin7x(7x)) sin3 x cos 7x(3 sin2 x)(sin x))

7 sin7x sin3 x 3 cos 7x sin2 x cos x.

		Пример 2. Найти приближенное значение выражения cos 30o30) .
		Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию	y cos x и обозначим через
	x0	30o èëè x0 , x 30) èëè x			, так же вычислим произ-
			360
		6

водную

y ) (cos x)) sin x.

Далее воспользуемся приближенным равенством: y(x0 x) y(x0 ) y ) (x0 ) x,

которое характеризуется большой степенью точности при достаточно малых значениях x. Таким образом, получим следующее приближенное равенство:

cos(x0 x) cos x0 sin x0 x

èëè

32

							sin						3			1
cos					cos														0,8616.
	6					6		6		360		2				2		360
			360

Пример 3. Дрожжи в специальном растворе растут так, что их масса увеличивается за каждый час на 5 %. Если начальная масса составляет 1 г, то после t часов роста она равна w(t) 105,t . Найти приближенное значе- ние массы после 10 мин роста.

Р е ш е н и е. Поскольку 10 мин – это 1 ч, то необходимо вычислить

6

			1				1
значение w					105, 6 6 105,.
			6
Для приближенного вычисления этого значения воспользуемся фор-
мулой f (x0 x)							f (x0 ) f ) (x0 ) x, где в данном случае
																	1
f (x) 6			x, f ) (x) (6 x ))																		, x0		1, x 0,05,f (x0 ) f (1) 1,
																		x 5
							66
														f ) (x0 ) f ) (1)										1	.
																							6
							1	1			0,05 èëè 6
Тогда 6 105,																			105,				10083,. Иными словами, через
							6
10 мин масса дрожжей составит примерно 10083,																										ã.

7.1. Найти производную функции:

1)y 7x 3 5x 2 4x 1;

2)y 5x 5 2x 3 6x;

3)y x(x 1);

4)y (x 4 7x)(x 1);

5)y x 3 ;

x4

6)y 3x 2 x 5;

7) y	1	;
	(3 2x 2 )3

8)y 3x 3 3x 2 5;

9)y 5(2x 2 4x 3 )2 ;

33

10) y	ax b			;
	cx d
11) y	4		1			1	;
			2x 2			3x 3
	x

12) y x 4 1 ; x 2 2

13)y (x 2)(x 1) ;

x2

14)y (2x 2 7)3;

15)y (x 2 4)(x 3 3);

16)y 3x 3 2x 2 x 1;

17)y x 1 1;

x2

7.2. Найти производную функции:

1)y 3 sin5x 7 cos 3x;

2)y 7 sin x ;

3

3)y x 2 cos x sin2 x;

4)y sin2 x ;

cos x

5) y sin2 x cos3 x ;

22

6)y 15 cos(8 5x);

tg x

7)y 2 4 ;x

8)y arctg(x 3 1);

9)y arctg 1 x ;

1x

10)y 5x 7 cos7 5x sin5 7x;

7.3.Найти производную функции:

18)y 3xx ;

19)y (x 2 3x)(x 5) ;

x2 4

20)y 33x 2 8x x 5;

21)y (10x 2 5)3 (x 7)5.

11)y arccos1 x;

12)y x 3 sin5 x cos3 x;

13) y 7		sin2 x	;
	x 3
		3x 2 1

14)y tg 2x ctg2x;

15)y sin2 (3x 3 4);

16) y			tg x		;
			tg 2x
1

17)y 8x cos2 (x 5)sin4 x;

18)y cos x tg 2x;

19)y cos2 x 2;

20)y 7 sin(x 2 2x );

21)y cos9 x sin9x;

22)y cos6 8x tg(x 2 4x).

34

2) p (t) 5000 200t 2.

1)y ln(7x 2 4);

2)y log3 (x 3 4x x 2 );

3)y ln(cos 3x 3 );

4)y x 2 ln2 (x 5);

5)y ln(cos x sin x);

6)y ln 5x 1;

17x

7) y e sinx cos x;

5x 2 x

15)y 2x ;

16)y 8x 2 x 3 8x 1;

17)y 3x ln x 25x ;

18)y log2sin x;

19)y lg2 8x 2;

20)y ax 2 x 1;

8) y ex 2 9 ;

x

9) y e sin 5 e cos 5x ; 10) y e 7(x 3 7x ) ln7x; 11) y e 4cos(x 2 5) x 2 ;

12) y 5ln5x 8;

13) y 6cos 6x ;

14) y 4x x 4;

21) y ln(x 2 5) ln2 (x 5);

22) y 7x 7x x 7 e 7x ;

23) y ln6x ln 6x 2 1; 5x 5

24)y e 5x cos 6x 5x sin9x;

25)y ((x 2 2x)ln3 (x 7))2;

26)y ln4 ((cos x sin x)2 );

27)y 7(5x 8) x 4 ln6x.

7.4. Растворение лекарственных веществ из таблеток описывается уравнением c (t) c0e kt , ãäå c (t) – количество лекарственного вещества в таб-

летке, оставшегося к времени растворения t; c0 – исходное количество лекарства в таблетке; k – постоянная скорости растворения. Определить скорость растворения лекарственных веществ из таблеток.

7.5. Объем популяции насекомых в момент t (где время t выражено в днях) задается величиной p (t) 10 000 9000(1 t) 1. Вычислить начальную численность популяции и скорость ее роста в момент времени t.

7.6. Объем популяции бактерий в момент времени t (где время t выражено в часах) задается формулой:

1) p (t) 106 104 t 103 t 2;

Найти скорость роста популяции при t 1.

7.7. Смещение в ответ на одиночное мышечное сокращение (единичный импульс) описывается уравнением:

35

t 2

1)y (t 1)e 2 , t 1; 2) y 1 0,1455e 1755,t 11455,e 0,225t , t 1.

Определить скорость и ускорение в зависимости от времени.

7.8.Зависимость между количеством x вещества, полученного в некоторой химической реакции, и временем t выражается уравнением

x(t) A(1 e kt ), ãäå À è k – постоянные. Определить скорость реакции.

7.9.Точка движется прямолинейно по закону s(t) 4et (м). Вычислить скорость и ускорение точки в момент времени: 1) t 0; 2) t 1.

7.10.Найти дифференциал функции:

1)y x 2 1;

x2

3) y	2 ln x		;
	x	2

4)y x 3 2x 2 x 7;

5)y tg 2 8x;

6)y 5e x 2 ;

2)y sin2 3x;

7)y x 2 cos 8x;

8)y 8 cos2 (x 1);

9)y e x 2 (x 8);

10)y x (x 2 5x);

11)y x 3 (cos x sin6x).

7.11. Найти производную и дифференциал 3-го порядка функции:

1)y 7x 4 5x 3 8x 6;

2)y 1 e kx ;

3)y 3 cos3 x;

4)y sin5 8x;

5)y (1 x 3 )arctg x;

6)y 5 ln(2x 3);

7)y x 3 1 x 2 ;

8)y 7e 8x sin9x;

9)y 1 ln x 2 1; 4 x 2 1

10)y 5ln5x ;

11)y (7 x)ln x 2 5x ;

x2 2

12)y cos x (1 x 3 )sin x.

7.12. Вычислить приближенно значение выражения:

1) cos 31*+
			6)	2,02;			11) arctg104, ;
2) tg 44*;			7) 3				12) e 0,995;
				65;
3) sin 30°2)+			8) 6				13) e 1005, ;
				63;
			9) 5,033;				14) sin 44*;
4) 5 33;

36

			(2,037)2		1
5) 5;
			10)			;	15) ln102,.
			(2,037)2		1

7.13. Дрожжи в растворе сахара растут таким образом, что их масса увеличивается за каждый час на 3 %. Если начальная масса составляет 1 г, то после t часов роста масса равна w (t) 103,t . Найти приближенное значение массы после 20 мин роста.

7.14.У годовалых лососей потребление кислорода с повышением скорости плавания возрастает экспоненциально. Определим C(v) как потребление

кислорода в час годовалым лососем, плывущим со средней скоростью v футов в секунду. Пусть C(0) 100 è C(3) 800 (соответствующих единиц). Найти приближенное значение Ñ(1/2).

7.15.При добавлении в бактериальную среду бактериального агента происходит изменение численности популяции бактерий. Найдите приближенную численность популяции через 1 мин после добавления агента, если

известно, что спустя t минут после добавления агента популяция насчитыва-

t

åò p (t) 1000 000 (8,1) 3 .

7.16. Объем популяции бактерий изменяется согласно уравнению

p (t)	1000et
			(где время t выражается в часах). Найти численность
	1 0,1(et
		1)

популяции бактерий спустя 1 ч 50 мин.

8. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Основные понятия и теоремы: правило Лопиталя – Бернулли; исследование функции: промежутки возрастания и убывания функции, минимум и максимум функции; необходимые и достаточные условия максимума и минимума; выпуклость и вогнутость графика функции; необходимое и достаточное условия выпуклости; точки перегиба; необходимое и достаточное условия существования точки перегиба; наклонная, вертикальная и горизонтальная асимптоты; построение графиков функции.

–	+	çíàê y,
0		поведение y

Ðèñ. 8.3

37

Пример 1. Используя правило Лопиталя – Бернулли, вычислить

пределы:
	x sin x			lnsin3x			1		1
1) lim		;	2) lim		;	3) lim				.
	x tg x			ln x
x 0			x 0			x 1
						ln x x 1

Y

1

1	X

Ðèñ. 8.4

Ð å ø å í è å.

1) lim

x sin x

0

#

lim

(x sin x))

lim

1 cos x

0

$

(x tg x))

1

x 0

x tg x

x 0

% x 0

1

cos2 x

lim

cos2 x(1 cos x)

lim

cos2 x(1 cos x)

lim

cos2 x

1

.

x 0

cos2 x 1

x 0 (cos x 1)(cos x 1)

x 0 1 cos x

2

2)lim

lnsin3x

" # lim

(lnsin3x))

lim

3x cos 3x

x 0

ln x

%

x 0

(ln x))

x 0

sin3x

" $

lim

3x

lim cos 3x 1 1 1.

x 0 sin3x x 0

1

3)lim

x1 ln x

	1		[" "] lim	x 1 ln x		0		#
								%
	x 1		x 1	(x 1)ln x
						0		$

38

	(x 1 ln x))									1				1
lim							lim								x												0		#
														x 1															%
x 1	((x		1)ln x))					x 1
										ln x															0				$
					1		)									x
														1
			1
lim					x				lim							x 2										1		.
				x 1 )								1
x	1									x 1									1						2
		ln x
												x							x	2
					x

Пример 2. Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении артериального давления, понижении температуры тела, изменении пульса или в изменении других физиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства. Пусть x означает дозу назначенного лекарства, а степень реакции y описывается функцией y x 2 (a x),ãäå a – некоторая положительная постоянная. При

каком значении x реакция максимальна?

Р е ш е н и е. Из условия задачи видно, что для того чтобы найти, при каком значении x реакция максимальна, надо исследовать на «экстремум» функцию y x 2 (a x), ãäå a 0. Для этого воспользуемся достаточным

условием экстремума.

Вычислим первую производную данной функции, приравняем ее к нулю и исследуем ее знак (рис. 8.1):

y ) (x 2 (a x))) (ax 2 x 3 )) 2ax 3x 2.

Ïðè ýòîì y ) 2ax 3x 2 0 тогда и только тогда, когда x 0 èëè

x2 a. 3

–		+	–	çí àê y ′
	0	2	à	п о веден ие y
		3

Ðèñ. 8.1

Таким образом, при дозе лекарства x 2 a реакция организма на вве-

3

денный препарат будет максимальна.

39

Пример 3. Исследовать функцию y x 2 1 и схематично построить x

ååграфик.

Ðе ш е н и е. При исследовании функции и построении ее графика будем руководствоваться общей схемой.

1. Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, кроме x 0, при котором знаменатель дроби обращается в нуль.

2. Так как область определения функции симметрична относительно начала координат, проверяем, является ли исследуемая функция четной

или нечетной: f ( x) ( x)2 1 f (x), т. е. функция нечетная.

x

3. Так как точка x 0 не входит в область определения функции, то она является точкой разрыва для этой функции. Найдем односторонние преде-

лы функции в этой точке:

lim

x 2 1

1

#

";

lim

x 2 1

1

#

".

0

$

0

$

x 0

x

x 0

x

%

%

Точка x 0 является точкой разрыва 2-го рода для заданной функции. Во всех остальных точках вещественной оси функция непрерывна, так как представляет собой частное двух непрерывных функций, где знаменатель не обращается в нуль.

4. Прямая x 0 является вертикальной асимптотой графика данной

функции, поскольку пределы lim

x 2 1

,

lim

x 2

1

бесконечны.

x 0

x

x 0

x

Определим наклонные асимптоты при x " è x ":

k1 lim

f (x)

lim

x 2 1

1,

x 2

x "

x

x "

x 2 1

1

b1

lim (f (x) k1x)

lim

1 x

lim

0.

x

x "

x "

x " x

Следовательно, уравнение первой наклонной асимптоты запишется так:

y k1x b1 x. Вычислим пределы k2 ,b2 ïðè x ":

k2	lim	f (x)	lim	x 2 1		1,
				x 2
	x " x		x "

40

	lim f x k	1x	x 2 1						1		0.
b2			lim			1 x		lim
				x
	x "		x "					x " x

Следовательно, уравнение второй наклонной асимптоты запишется так: y k2x b2 x.

Другими словами, график функции имеет только одну наклонную асимптоту: y x.

5. Исследуем поведение функции при стремлении аргумента к концам

промежутков области определения:

lim f (x) lim

x 2 1

" #

",

lim f (x) lim

x 2 1

" #

".

" $

" $

x "

x "

x

x "

x "

x

%

%

6. Òàê êàê x 2 1 0 ни при каком значении аргумента и x не может при- x

нимать значение, равное нулю, то график функции не пересекает оси Ox è Îó. 7. Вычислим первую производную функции y x 2 1, приравняем ее

x

к нулю и исследуем ее знак (рис. 8.2):

x 2

)

x 2

1

y )

1

0

- x1, 2 1; 1.

x

x

2

+

–

–

+

çíàê y)

–1

0

1

поведение y

Ðèñ. 8.2

Таким образом, интервалы убывания функции – ( 1,0), (0,1), а интервалы возрастания данной функции – (", 1), (1, "). Точка x1 1– точ- ка максимума, а точка x2 1– точка минимума и

fmax	( 1)	( 1)2 1	2 , fmin	(1)	(1)2 1	2.
		( 1)		1

8. Вычислим вторую производную данной функции:

	x 2				,			x 2				)		2
y ))			1							1						.
	x								2					x	3
							x

41