Тетрадь 2 (аналитическая геометрия)

умову, що сума осей еліпса дорівнює 16, запишіть систему рівнянь для визначення невідомих півосей еліпса. Розв’яжіть отриману систему. За отриманими значеннями a і b запишіть канонічне рівняння еліпса.

c

с2 a2 b2						a2 b2 ...
	2	b	2	...
a
... ... 16
a ...					b ...
	Для			розв’язку		системи скористайтесь для першого рівняння формулою
a2 b2	(a b)(a b) .					Після цього отриману систему двох лінійних рівнянь із двома
невідомими розв’яжіть будь-яким відомим вам методом.

Крок 6. З умови 2с 6 знайдіть значення с половини відстані між фокусами. З означення ексцентриситету знайдіть значення a великої півосі еліпса. Знайдіть значення b – малої півосі еліпса та запишіть його канонічне рівняння (див. крок 3).

с					0,6;	a	...
						...
b ...2 ...2
x2		y2		1
... ...

Ексцентриситетом еліпса називається відношення aс .

Відповідь: 1).		x2			y2		1; 2).		x2				y2		1; 3).		x2		y2	1;	4).	x2		y2	1;
	16		9					36			20					100		19				64	16
5).		x2			y2		1; 6).	x2				y2			1.
	25		9					25			16

4.22. Написати рівняння траєкторії точки M (x, y) , якщо точка M у двічі ближча до точки A(0; 1) , ніж до прямої y 2 .

93

Хід розв’язання.

Крок 1.Знайдіть відстань AM та відстань d від точки M (x, y) до прямої y 2 0 .

AM
d				...
				...

Скористайтесь тим, що коли A1 (x1; y1 ), A2 (x2 ; y2 ) , то відстань між точками A1

та

A

обчислюється за формулою

A A

(x x )2

( y

y )2 .

2

1

2

2

1

2

1

Відстань від

точки M0 (x0 , y0 ) до прямої

Ax By C 0 обчислюється

за

формулою d

Ax0 By0 C

.

A2

B2

Крок 2. За умовою задачі d 2 AM . Запишіть відповідну рівність. Піднесіть обидві частини цієї рівності до квадрата та спростіть її.

y 2 2 x2 ( y 1)2

4x2 3y2 4 y 0

Перетворення здійснюйте за допомогою формули скороченого добутку

a b 2 a2 2ab b2 .

Крок 3. Згрупуйте доданки, які містять тільки y та доповніть їх до повних квадратів.

4x2 3 ( y2 43 y) ...

94

Перетворення здійснюйте за допомогою формул скороченого добутку a2 2ab b2 a b 2 .

При

виділенні

повного

x2 px q x2 2 2p x q x2 2 2p x

квадрату

p2 p2 q x 4 4

скористуйтесь схемою

p 2			p2
		q		.
2			4

(x x )2

( y y )2

Крок 4.Запишіть отримане рівняння у вигляді

0

0

1.

a2

b2

Зробіть висновки.

(x ...)2

( y ...)2

1

...2

...2

a

;

b

; x0

; y0

(x x )2

( y y )2

Рівняння

0

0

1 описує еліпс

із півосями

a,b , центр якого

a2

b2

знаходиться в точці C(x0 ; y0 ) .

x

2

( y

2

)2

3

2

Відповідь:

3

1, еліпс із півосями

a

, b

,

центр якого

1

4

3

3

3 9

знаходиться в точці C(0; 23) .

4.23. Складіть рівняння гіперболи, фокуси якої розміщено на осі абсцис, симетрично початку координат, якщо:

1)її осі 2a 14 і 2b 10 ;

2)відстань між фокусами 2c 10, а вісь 2b 8;

3)відстань між фокусами 2с 6 , а ексцентриситет 1,5 ;

4)рівняння асимптот y 43 x , а відстань між фокусами 2с 20 .

Хід розв’язання.
Крок 1. З умови	2a 14 та 2b 10	знайдіть	значення	a дійсній
півосі та b уявної	півосі гіперболи.	Запишіть	канонічне	рівняння

гіперболи з відомими a та b .

95

a

b

x2 y2 1

... ...

	Канонічне рівняння гіперболи має вигляд	x2		y2	1, де величини a	та b
		a2		b2

називають відповідно дійсна та уявна півосі.

Крок 2. З умови 2c 10 та 2b 8 знайдіть значення с половини відстані між фокусами та b уявну піввісь гіперболи. Зі співвідношення між a,b та с , установіть значення a дійсної півосі гіперболи. Запишіть відповідне канонічне рівняння гіперболи.

c ...					b ...
a			...2 ...2
x2		y2		1
... ...

Скористайтеся тим, що коли фокуси гіперболи розташовано на осі абсцис,

	симетрично початку координат, то канонічне рівняння гіперболи має вигляд	x2		y2	1, де
		a2		b2

величини a та b називають відповідно дійсна та уявна півосі і b2 c2 a2 .

Крок 3. З умови 2с 6 установіть значення с половини відстані між фокусами. Використовуючи означення ексцентриситету гіперболи, знайдіть значення a дійсної півосі. За відомими значеннями a і с , використовуючи співвідношення між a,b та с , установіть значення b уявної півосі гіперболи. Запишіть відповідне канонічне рівняння гіперболи.

с							...
					1,5;	a ...
b ...2 ...2
x2		y2		1
... ...
						96

Ексцентриситетом гіперболи називається відношення aс .

Скористайтеся тим, що коли фокуси гіперболи розташовано на осі абсцис,

	симетрично початку координат, то канонічне рівняння гіперболи має вигляд	x2		y2	1, де
		a2		b2

величини a та b називають відповідно дійсна та уявна півосі і b2 c2 a2 .

Крок 4. З умови 2с 20 знайдіть значення c половини відстані між фокусами. Використовуючи означення рівняння асимптот гіперболи та співвідношення між a,b та с , установіть значення a дійсної півосі гіперболи. Запишіть відповідне канонічне рівняння гіперболи.

с

b

4

4

...2 a2

b

c2 a2

...2 a2

a

3

3

a

a

b

x2 y2 1

... ...

Прямі y

b

x називаються асимптотами гіперболи.

a

Скористайтеся тим, що коли фокуси гіперболи розташовано на осі абсцис,

симетрично початку координат, то канонічне рівняння гіперболи має вигляд

x2

y2

1, де

a2

b2

величини a та b називають відповідно дійсна та уявна півосі і b2 c2 a2 .

Відповідь: 1)

x2

y2

1; 2)

x2

y2

1; 3)

x2

y2

1;

4)

x2

y2

1.

49

25

9

16

4

5

36

64

4.24.Складіть канонічне рівняння параболи, якщо:

1)відстань від фокуса, що лежить на осі Ox , до вершини дорівнює 4;

2)відстань від фокуса, розміщеного на осі Oy до директриси

дорівнює 6; 3) парабола симетрична осі абсцис і проходить через точку

M (1;2) .

97

Хід розв’язання.

Крок 1. Скористайтеся канонічним рівнянням параболи. Відомо, що відстань фокуса, що лежить на осі Ox , до вершини дорівнює 4. Тобто фокус параболи знаходиться в точці F(4;0) . Знайдіть параметр p

параболи та запишіть її канонічне рівняння.

p

2

2 px ,

Канонічне рівняння параболи з фокусом у точці F

; 0 має вигляд

y

2

де p параметр параболи.

Крок 2. Так як фокус параболи розміщено на осі Oy , то її директриса

має рівняння y

p

p

, а фокус F 0;

. Тому, так як відстань від фокуса до

2

2

директриси дорівнює 6,

то це і є параметр параболи

p , що

дозволяє

записати її канонічне рівняння.

p

x2 2 py

x2

Пряма y

p

,

де p параметр параболи, з фокусом на осі Oy , називається

2

директрисою параболи.

p

2

2 py ,

Канонічне рівняння параболи з фокусом у точці F 0;

має вигляд

x

2

де p параметр параболи.

Крок 3. Через те, що парабола симетрична осі абсцис, то її фокус

p

2

2 px .

знаходиться в точці

F

;0

і канонічне рівняння має вигляд

y

2

Підставте координати точки M у рівняння параболи та

знайдіть параметр

p .

98

...2 2 p ...		p
y2 .....
Якщо точка M (x; y)	належить кривій, то її координати задовольняють рівняння
кривої.
Канонічне рівняння параболи з фокусом у точці			p				має вигляд	y	2	2 px ,
			F		; 0
			2
де p параметр параболи.
Відповідь: 1) y2 16x ; 2) x2		12 y ; 3) y2 4x .

Учимося моделювати професійну діяльність інженера

4.25. З’єднали під прямим кутом дві циліндричні труби радіуса 5 см. Визначте вид кривої у площині перерізу, якщо відомо, що при зварюванні вийшло необхідне коліно.

Хід розв'язання.

Крок 1. Скористаємося прийомом, що застосовується під час виготовлення колінчатих труб.

Накреслимо півколо радіуса 5 см і приймемо його діаметр за вісь абсцис Ox1 , а центр O – за початок координат. На відрізку, рівному випрямленій довжині півкола, побудуємо півхвилю синусоїди з амплітудою 5 см й півпериметром 5 . Виріжемо фігуру, обмежену синусоїдою й випрямленим півколом, і сполучимо основу цієї фігури, поставивши її вертикально, з півколом. Синусоїда (півколо) займе положення AВМA1 (рис. 4.7).

99

Рис. 4.7. Схема з’єднання під прямим кутом двох циліндричних труб

Крок 2. Складіть рівняння лінії (коло) AВМA1 . Для цього знайдіть значення x1 і y1 для рівняння x12 y12 R2 .

Оберіть площину, у якій лежить крива AВМA1 , за нову координатну площину хОy. Система координат хОу може бути отримана з раніше уведеної системи

x1Oy1 поворотом останньої навколо осі Ox1	на кут 45 . Для з’ясування значення y1
скористайтесь співвідношеннями для прямокутного трикутника.
Крок 3. Підставте значення	x	і y	у рівняння кола	x2	y2	R2 .
	1	1		1	1

Отримане рівняння є шуканим рівнянням лінії AВМA1 у площині розрізу.

У ході схематичного зображення побудова починалась із зображення півкола радіуса 5 см.

100

Крок 4. Запишіть отримане рівняння в канонічному вигляді.

	Канонічний вигляд рівняння еліпса	x2		y2	1.
		a2		b2

Відповідь: отримана лінія – еліпс.

Учимося самостійно розв’язувати завдання

4.26.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Знайдіть точки перети-

З’ясуйте

взаємне

За яких

значень

k

ну прямої

y х 1 та

розташування

прямої

пряма

y kx

дотика-

кола x

2

y

2

1.

y 2x 3

та

кола

ється кола

x2 y2 3x 2y 3 0.

x2 y2 10x 16 0.

Переформулюйте

Знайдіть

кількість

Переформулюйте

задачу: розв’яжіть

спільних

точок

задачу: за яких

систему

кола та прямої.

значень k система

y х 1,

x2

y2

10x 16

0,

x2 y2 1.

у kx

має єдиний розв’язок?

4.27.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Складіть рівняння кола

Складіть рівняння кола,

Складіть рівняння кола,

з центром О(1; 1) , яке

описаного навколо три-

якщо

центр

кола

–

проходить

через точку

кутника

з вершинами

точка

О(1; 1)

і пряма

А(1;0).

А(1;1), B(1; 1), C(2;0).

5x 12y 9 0 є дотич-

ною до цього кола.

Зверніть увагу на

Складіть

систему

Радіусом

те, що відрізок АО

рівнянь,

виходячи

шуканого кола

є

є радіусом кола.

з того, що в разі

відстань від точки

належності точки

О до дотичної.

колу,

її

координати

задовольняють

рівняння

кола.

101

4.28.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Установіть,

що

Зведіть

рівняння

кривої

Зведіть рівняння кривої

рівняння

другого порядку

другого порядку

x 2y2 12y 18

x2 2 x 1 4 y 2

8 y 4 1

9x2

16y2 90х 32y 367 0

задає

параболу.

до канонічного вигляду та

до

канонічного

вигляду

Знайдіть

коорди-

побудуйте її

в

декартовій

та

побудуйте її в декар-

нати

вершини

системі координат.

товій системі координат.

параболи та пара-

метр р.

Виділіть пов-

Виділіть

повні

Виділіть

повні

ний квадрат у

квадрати

лівій

частині

квадрати

лівій

правій

рівняння.

частині рівняння.

частині

рівності.

4.29.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Складіть

рівняння

Складіть

рівняння

Складіть

рівняння

еліпса,

якщо

його

еліпса,

фокуси

якого

еліпса,

фокуси

якого

фокуси

лежать на осі

знаходиться

в

точках

лежать

на

осі

Ох

Ох симетрично початку

F1( 10;0), F2 (14;0), а ве-

симетрично

початку

координат, мала піввісь

лика вісь дорівнює 26.

координат, якщо від-

b 5, а

відстань

між

стань

між директри-

фокусами 2с 24.

сами

дорівнює

32 і

0,5.

Розбийте задачу на

Рівняння

еліпса

з

За

даними

задачі

підзадачі:

центром

у

точці

складіть

систему

1) знайдіть велику

О(х0 ; у0 ) , осі якого

рівнянь, з якої знай-

піввісь а;

паралельні

осям

діть значення с і а.

2) складіть рівняння еліпса.

координат,

має

вигляд

х х 2

y у

2

1.

0

0

a2

b2

4.30.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Складіть

рівняння

Складіть

рівняння

Складіть

рівняння

гіперболи, фокуси якої

рівносторонньої

гіпер-

гіперболи,

фокуси якої

лежать

на

осі

Ох,

боли, фокуси якої ле-

лежать

на

осі

Оу

відстань між фокусами

жать

на

осі

Ох

симетрично

початку

симетрично

початку

координат,

відстань

2с 10 і ось

2b 8.

координат,

якщо

між фокусами

2с 10,

відстань

між

фокусами

5

.

6

2.

3

102