Тетрадь 2 (аналитическая геометрия)

Кут між двома прямими та умови їх паралельності й перпендикулярності

Якщо прямі L1

і L2

задані канонічними

рівняннями:

x x1

y y1

z z1

,

l1

m1

n1

x x2

y y2

z z2

,

l2

m2

n2

то один з кутів між цими прямими

визначають через кут між їхніми

напрямними векторами

a1 l1; m1; n1

і

cos

... ... ... ... ... ...

a2 l2 ; m2 ; n2

та

обчислюють

за

2

2

2

2

2

2

формулою

...

...

...

...

...

...

Якщо прямі L1

і L2 , задані канонічними

рівняннями:

x x1

y y1

z z1

,

l1

m1

n1

x x2

y y2

z z2

,

... ... ...

l2

m2

n2

паралельні, то

...

...

...

Якщо прямі L1

і L2 , задані канонічними

рівняннями:

x x1

y y1

z z1

,

l1

m1

n1

x x2

y y2

z z2

,

l2

m2

n2

.. ... ... ... ... ... 0

перпендикулярні, то

Кут між прямою і площиною та умови їх

паралельності й перпендикулярності

Якщо пряма і площина задані рівняннями

x x0

y y0

z z0

,

l

m

n

A x B y C z D 0,

то кут між цими прямими визначають

через кут між нормальним вектором

площини n A; B; C

і

напрямним

вектором прямої a l; m; n та обчислюють

... ... ...

... ... ...

за формулою

sin

...2 ...2

...2 ...2 ...2

...2

53

Якщо пряма і площина, задані рівняннями

x x0

y y0

z z0

,

l

m

n

A x B y C z D 0,

... ... ... ... ... ... 0

паралельні, то

Якщо пряма і площина, задані рівняннями

x x0

y y0

z z0

,

l

m

n

... ... ...

A x B y C z D 0,

... ... ...

перпендикулярні, то

Знаходження точки перетину прямої і площини

Для знаходження точки перетину прямої

A x B y C z D 0,

і площини, заданих рівняннями

x x0

y y0

z z0

,

...

,

l

m

n

A x B y C z D 0,

...

,

відповідно, потрібно розв’язати систему

рівнянь

...

Належність прямої

x x0

y y0

z z0

l

m

n

площині

A x B y C z D 0 описується

...

,

умовою

...

Відстань між паралельними прямими

Якщо паралельні прямі задані рівняннями

x x1

y y1

z z1

і

l

m

n

x x2

y y2

z z2

,

... ...

l

m

d

,

n

то відстань між ними дорівнює висоті

...

паралелограма, побудованого на векторах

a l, m, n

і

M1M 2 ,

де

M1 x1 ; y1 ; z1

M 2 x2 ; y2 ; z2 . Отже,

54

Перевіряємо готовність до практичного заняття

3.1. Пряма задана своїми канонічними рівняннями:

x 2

y 1

z. Який з

3

2

наведених векторів є напрямним вектором до цієї прямої?

А

Б

В

Г

Д

2;1;0

2; 1;0

3;2;0

1;1;1

3;2;1

a

a

a

a

a

Канонічне рівняння прямої, що проходить через

точку

M0 (x0 ; y0 ; z0 )

паралельно вектору

l; m; n ,

має вигляд

x x0

y y0

z z0

. Вектор

l; m; n

a

a

l

m

n

називають напрямним вектором прямої.

3.2. Пряма задана своїми канонічними рівняннями:

x 2

1 y

3 z

.

3

2

1

Який із наведених векторів є напрямним вектором цієї прямої?

А

Б

В

Г

Д

2;1;3

2; 1;3

3;2;1

3; 2;1

2; 1; 3

a

a

a

a

a

Дивись підказку до задачі 3.1.

x 2 3t,

3.3. Пряма задана своїми параметричними рівняннями: y 4t 1, Який з

z t.

наведених векторів є напрямним вектором цієї прямої?

А

Б

В

Г

Д

3;4; 1

2;4; 1

2;4;0

2;4;0

2;1;0

a

a

a

a

a

Параметричні рівняння

прямої, яка проходить через точку M0 (x0 ; y0 ; z0 )

x x0 lt,

паралельно вектору a l; m; n ,

y0 mt,

мають вигляд y

z0 nt.

z

3.4. Пряма задана своїми канонічними рівняннями:

x 2

y 1

z. Яка з

3

2

наведених точок належить цій прямій?

А

Б

В

Г

Д

A( 2;1;0

A 2; 1;0

А 3;2;0

А 2;1;0

А 3;2;1

55

Дивись підказку до задачі 3.1.

3.5. Пряма задана своїми параметричними рівняннями:

наведених точок належить цій прямій?

x 2 3t,

y 4t 1, Яка зz t.

А

Б

В

Г

Д

А 3;4; 1

А 2;4; 1

А 2; 1;0

А 2;4;0

А 2;1;0

Дивись підказку до задачі 3.3.

3.6.

Пряма проходить через точки А 0;4; 1

і В 1;4;0 .

Рівняння цієї

прямої мають вигляд:

А

x

y 4

z 1

1

0

1

Б

x

y 4

z 1

1

0

1

В

x

y 4

z 1

1

8

1

Г

x 1

y 4

z

1

1

8

Д

x 1

y 4

z

1

1

0

Рівняння

прямої,

що

проходить

через

дві точки,

мають

вигляд

x x1

y y1

z z1

.

x x

y

y

z

2

z

2

1

2

1

1

3.7. Канонічні рівняння прямої мають вигляд

x 2

y 1

3 z

.

Який

1

2

4

вигляд мають її параметричні рівняння?

А

Б

В

Г

Д

x t 2,

x t 2,

x 2t 1,

x t 2,

x 2t 1,

2t 1,

2t

1,

t 2,

1,

y

y

y

y 2t

y t 2,

4t 3.

4t

3.

t 4.

z

z

z

z 4t 3.

z t 4.

56

Для того, щоб перевести канонічні рівняння прямої

x x0

y y0

z z0

до

l

m

n

параметричного вигляду, необхідно з рівнянь

x x0

y y0

z z0

t виразити x, y, z.

l

m

n

3.8. Пряма

задана

загальним

рівнянням

2x 3y z 1 0,

Напрямний

x y 2

z

0.

вектор цієї прямої дорівнює:

А

Б

В

Г

Д

i

j

k

i

j

k

i

j

k

2;3;1

2;3; 2

a

2

3

1

a

2

3

1

a

2

3

1

a

a

1 1 1

1 1 1

1 1

2

A x B y C z D 0,

Якщо

пряма

задана

загальним

рівнянням

1

1

1

1

то

її

A2 x B2 y C2 z D2 0,

напрямний вектор обчислюється, як: a n1 n2 , де n1 A1; B1;C1 , n2 A2 ; B2 ;C2 .

3.9.

Косинус

гострого

кута

між

прямими

x 3

y 2

z

,

x 2

y 3

z 5

обчислюється за формулою:

1

1

2

1

1

2

А

1 1 2

1 1 2 1 1

2

Б

1 1 2

1 1 2 11 2

В

1 1 2

1 1 2 1 1

2

Г

6 6 0

9

4 0 4 9

25

Д

6 6 0

9

4 0 4 9

25

Косинус

одного

з кутів

між

прямими

x x1

y y1

z z1

та

l1

n1

m1

x x2

y y2

z z2

обчислюється, як кут між їхніми напрямними

векторами

l2

n2

m2

57

l1; n1; m1 та

l2 ; n2 ; m2 . Косинус гострого кута між цими прямими знаходять

a1

a2

за формулою cos

a1

a2

.

a1

a2

3.10. Які з наведених пар прямих паралельні?

А

x 2

y 1

3 z

;

x

y 1

z

1

2

2

4

4

8

Б

x 2

y 1

3 z

;

x

y 1

z

1

2

8

2

4

4

В

x 2

y 1

z

;

x

y 1

z 2

0,5

2

3

2

4

6

Г

x 2

y 1

z

;

x

y 1

z 2

0

2

2

3

4

5

Д

x 2

y 1

3 z

;

x

y 1

z 2

4

6

6

2

3

9

Прямі

x x1

y y1

z z1

та

x x2

y y2

z z2

паралельні, якщо

l1

n1

m1

l2

n2

m2

l1

n1

m1

.

l2

n2

m2

3.11. Які з наведених пар прямих перпендикулярні?

А

x 2

y 1

3 z

;

x

y 1

z

1

2

2

4

4

8

Б

x 2

y 1

3 z

;

x

y 1

z

1

4

1

8

2

4

В

x 2

y 1

z

;

x

y 1

z 2

0,5

2

3

2

4

6

Г

x 2

y 1

z

;

x

y 1

z 2

0

2

2

3

6

4

Д

x 2

y 1

3 z

;

x

y 1

z 2

4

2

6

6

3

5

Прямі

x x1

y y1

z z1

та

x x2

y y2

z z2

перпендикулярні, якщо

l1

n1

m1

l2

n2

m2

l1l2 n1n2 m1m2 0.

58

3.12. Якщо

– кут

між

прямою

l :

x

y 1

z

та площиною

8

1

4

: 2x y z 3, то:

А

cos

2 4 8

1

16 64 4 1 1

Б

sin

2 4 8

1

16 64 4 1 1

В

sin

2 4 8

1

16 64 4 1 1

Г

sin

2 4 8

1

16 64 4 1 1

Д

cos

2 4 8

1

16 64 4 1 1

Кут між

прямою

x x0

y y0

z z0

та

площиною Ax By Cz D 0

l

n

m

Al Bn Cm

знаходиться зі співвідношення: sin .

l2 n2 m2 A2 B2 C2

3.13. Серед наведених тверджень оберіть хибне.

Пряма

x 1

y

z 1

та площина

3

А

2

2

4x y 2z 1 0 паралельні.

Пряма

x

y 1

z 2

та площина

4

Б

2

6

х 2y 3z 5 паралельні.

Пряма

x

y 1

z 2

та площина

4

В

2

6

х 3y 2z 5перетинаються.

Пряма

x

y 1

z 2

та площина

0,5

Г

2

1

4x y 2z 1 0 перпендикулярні.

Пряма

x 1

y

z 1

та площина

Д

2

2

3

x y 1,5z 1 0 перпендикулярні

59

Умова

перпендикулярності

прямої

x x0

y y0

z z0

та

площини

m

l

n

Ax By Cz D 0 має вигляд:

l

n

m

.

A

B

C

Умова

паралельності

прямої

x x0

y y0

z z0

та

площини

l

n

m

Ax By Cz D 0 має вигляд:

Al Bn Cm 0.

3.14. Відстань між прямими

x 2

y 1

3 z

;

x

y 1

z

знаходять

8

1

2

4

2

4

за формулою:

А

Б

В

Г

Д

d

M1M 2

a

,

d

M1M 2 a

,

d

M1M 2 a

,

d

M1M 2 a

,

d

M1M 2 a

,

M1M 2

M1M 2

a

a

a

де

де

де

де

де

M1 2;1; 3 ,

M1 2;1; 3 ,

M1 2;1; 3 ,

M1 2;1; 3 ,

M1 2;1; 3 ,

M 2 0; 1;0 ,

M 2 0; 1;0 ,

M 2 0; 1;0 ,

M 2 0; 1;0 ,

M 2 0; 1;0 ,

1;2; 4 .

1;2; 4 .

1;2; 4 .

1;2; 4 .

1;2;4 .

a

a

a

a

a

Відстань

між паралельними прямими

x x1

y y1

z z1

і

l

n

m

x x

y y

z z

d

M1M

2 a

де

х ; y ; z

,

2

2

2

знаходять

за

формулою

,

M

l

n

m

a

1

1

1

1

M2 х2 ; y2 ; z2 , a l; n; m .

Учимося розв’язувати типові задачі

x 2 y 3z 5 0

3.15. Пряма задана загальними рівняннями . Складіть

2x y z 2 0

канонічні та параметричні рівняння цієї прямої.

Хід розв’язання.

60

Крок	1. Знайдіть			точку M0 (x0 , y0 , z0 ) ,	яка	належить	прямій
x 2 y 3z 5 0		.	Для цього довільно оберіть одну з її координат,
2x y z	2 0
наприклад	z0 0 ,		а інші	дві координати x0	та y0	знайдіть з	умови
належності точки прямій, як розв’язок системи рівнянь:

x0 2 y0 5 02x0 y0 2 0

x0 y0

	M (x0 , y0 , z0 )	A x B y C z D 0,
Відомо, що точка		належить прямій 1	1	1	1
		A2 x B2 y C2 z D2 0

якщо її координати задовільняють кожному з рівняннь системи.

Для розв’язування системи рівнянь скористайтесь будь-яким відомим вам методом, наприклад, методом підстановки.

Довільно можна обирати будь-яку координату точки M (x0 , y0 , z0 ) , але так, щоб визначник при невідомих системи, що залишилися, був відмінний від нуля.

Отже, отримали точку M0 ( 0,2;4,8;0) , яка належить прямій.

Крок 2. Знайдіть напрямний вектор									s	прямої. Для цього запишіть
координати нормальних векторів n1 та									n2	площин x 2y 3z 5 0 і
2x y z 2 0,			перетином яких утворюється пряма, та знайдіть їх
векторний добуток.
n1								n2
	i			j		k
s n1 n2 ...			...			...

... ... ...

s

61

Скористайтесь означенням загального рівняння площини: загальне рівняння

площини має вигляд	Ax By Cz D 0 , де A; B,C – координати		вектора		n ,
перпендикулярного до прямої, тобто нормального вектора площини.
Через те, що вектори n1 та n2 перпендикулярні до площин		A1 x B1 y C1z D1			0
та A2 x B2 y C2 z D2 0	A x B y C z D 0,
	, то вони перпендикулярні й до прямої 1	1	1	1		.
	A2 x B2 y C2 z D2 0

Вектор n1 n2 , за означенням векторного добутку, є перпендикулярним до векторів n1 та n2 . Отже, вектор n1 n2 – є напрямним вектором прямої.

Крок 3. Запишіть канонічне рівняння прямої, яка проходить через точку M0 ( 0,2;4,8;0) , з напрямним вектором s 1;7;5 .

Канонічні рівняння прямої, що проходить через точку				M0 x0 , y0 , z0 з
напрямним вектором a l; m; n у просторі, мають вигляд	x x0		y y0			z z0	.
	l		m			n

Крок 4. Запишіть параметричне рівняння прямої, яка проходить через точку M0 ( 0,2;4,8;0) , з напрямним вектором s 1;7;5 .

Параметричні рівняння прямої, що проходить		через	точку M0 x0 , y0 , z0
	x x0 l t
		0	m t	, де t ;
паралельно вектору	a l; m; n у просторі, мають вигляд y y
			n t
	z z0

– довільний параметр.

62