Тетрадь 2 (аналитическая геометрия)

Відповідь:	x 0,2		y 4,8		z	;
	1
		7		5

x 0,2 t

y 4,8 7t

.z 5t

3.16.

Задано

вершини

трикутника

A(3; 1; 1), B(1;2; 7), C( 5;14; 3) .

Складіть канонічні рівняння медіани AP .

Хід розв’язання.

Крок 1.Знайдіть координати точки P , яка ділить сторону BC навпіл.

x

... ...

y

... ...

P

P

2

2

z

... ...

P( ... ; ... ; ... )

p

2

Координати

точки

M x, y, z , яка

ділить

відрізок

A1 A2

навпіл, де

A (x , y , z ), A (x , y , z

) , знаходять за формулами: x

x1

x2

, y

y1 y2

, z

z1 z2

.

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

Крок 2. Знайдіть рівняння медіани

AP . Застосуйте рівняння прямої,

яка проходить через дві відомі точки A(3; 1; 1)

і P( 2;8; 5)

та запишіть

його в канонічному вигляді.

Рівняння прямої,

що проходить через дві точки M1 x1, y1, z1

і M2 x2 , y2 , z2 ,

має вигляд

x x1

y y1

z z1

.

y y

x

x

z

2

z

2

1

2

1

1

Канонічні рівняння прямої, що проходить через точку

M0 x0 , y0 , z0 з

напрямним вектором a l; m; n у просторі, мають вигляд

x x0

y y0

z z0

.

l

m

n

63

Відповідь:

x 3

y 1

z 1

.

5

9

4

3.17. Задано площину

x y z 1 0 і пряму

x 1

y

z 1

.

Знайдіть

0

2

1

координати точки перетину прямої і площини.

Хід розв’язання.

Крок

1.

Запишіть рівняння прямої

x 1

y

z 1

у

вигляді

0

2

1

параметричних рівнянь. Для цього прирівнюємо до t

кожне з цих трьох

відношень.

x 1			y		z 1				x
0		t;	2 t;		1		t		y
									z

Параметричні рівняння	прямої, що проходить через		точку M0 x0 , y0 , z0
	x x0 l t
паралельно вектору a l; m; n		0		, де t ;
	у просторі, мають вигляд y y		m t
			n t
	z z0

– довільний параметр.

Крок 2. Для знаходження точки перетину площини x y z 1 0 і

прямої	x 1
	0

y

2

				x y z 1 0
	z 1
				x 1
			,	розв’яжіть систему:		. Для цього
	1			y 2t
					1
				z t

підставте x, y, z у рівняння площини.

64

Для знаходження точки перетину прямої і площини, заданих рівняннями

x x0

y y0

z z0

,

A x B y C z D 0 відповідно, потрібно розв’язати систему

l

m

n

A x B y C z D 0,

рівнянь x x

y y

z z

0

.

0

0

l

m

n

Отже, значення параметра t , при якому перетинаються пряма і

площина, є t 13 .

Крок 3. Знайдіть координати точки перетину, для цього обчисліть x, y, z при t 13 .

x y z

Якщо пряма і площина перетинаються, то існує єдина точка перетину, якій відповідає єдине значення параметра.

	2	;	2
Відповідь: 1;				.
	3		3

3.18 Знайдіть	проекцію	P0 (x0 ; y0 ; z0 )	точки P( 1;3;2) на	площину
x 2y 5z 27 0.
Хід розв’язання.
Крок 1.	Знайдіть	координати	нормального вектора	площини

x 2y 5z 27 0. n

Скористайтесь	означенням загального рівняння площини: загальне рівняння
площини має вигляд	Ax By Cz D 0 , де A; B,C – координати вектора n ,

перпендикулярного до прямої, тобто нормального вектора площини.

65

Крок 2. Вектор	n 1; 2;5 перпендикулярний до		площини
x 2y 5z 27 0, буде	напрямним вектором	прямої	PP0 , яка
перпендикулярна цій площині. Складіть канонічні		рівняння прямої, що
проходить через точку P( 1;3;2) з напрямним вектором s n			1; 2;5 .

Канонічні рівняння прямої, яка проходить через

точку

M0 x0 , y0 , z0 з

напрямним вектором a l; m; n у просторі, мають вигляд

x x0

y y0

z z0

.

l

m

n

Крок

3.

Знайдіть

координати точки

перетину прямої

x 1

y 3

z 2

і площини

x 2y 5z 27 0 . Ця точка і є проекцією

2

1

5

точки

P( 1;3;2) на площину

x 2y 5z 27 0 . Для цього переведіть

рівняння прямої з канонічних до параметричних та розв’яжіть систему рівнянь, яка поєднує рівняння площини й параметричні рівняння прямої.

	x 1		t;	y 3		t;	z 2	t.
				2
1							5
x 2 y 5z 27 0
x
y
z
		t						P0 ( ... ; ... ; ... )

Проєкція P0 (x0 ; y0 ; z0 ) точки P(x; y; z) на площину Ax By Cz D 0 є основа перепендикуляра PP0 , що проведений із точки P(x; y; z) до площини.

66

Рис. 3.2. Рисунок до задачі 3.18.

Відповідь: P0 ( 2;5; 3)

3

x 1

y 2

z 1

3.19. Знайдіть проекцію P0

точки P 1;2;

на пряму

.

1

2

0

2

Хід розв’язання.

Крок 1. Скористайтесь тим, що точка

P0

є точкою перетину цієї

прямої з перпендикулярною їй площиною. Знайдіть напрямний вектор

s

прямої

x 1

y 2

z 1

та оберіть його у якості нормального вектора

1

0

2

3

площини, яка

проходить

через точку

P 1;2;

перпендикулярно цій

2

прямій. Запишіть рівняння площини.

n s

		Скористайтесь означенням канонічних рівнянь прямої, що проходить через
точку		M0 x0 , y0 , z0 з напрямним					вектором a l; m; n , які у просторі мають вигляд
	x x0		y y0		z z0	.
	l		m		n

67

Рівняння площини, яка проходить через точку M0 (x0 ; y0 ; z0 ) з нормальним вектором n A; B;C , має вигляд A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 .

		Крок		2.		Знайдіть	координати точки перетину прямої
x 1			y 2		z 1	і площини	x 2z 2 0. Скористайтесь методом, який
1
		0		2

був описаний у попередніх задачах.

x 2z 2 0x

yz

t	P0 ( ... ; ... ; ... )

		Для знаходження точки перетину прямої і площини, заданих рівняннями
	x x0		y y0		z z0	, A x B y C z D 0 відповідно, потрібно розв’язати систему
	l		m		n

	A x B y C z D 0,
рівнянь				y y		z z		.
	x x						0
		0		0
		l		m		n

	Відповідь: P0 (0; 2;1)
	3.20. Знайдіть кут між прямими	x 2		y 3			z 1
		1		2			1

Хід розв’язання.

x 3t 2y t 4

і .

z 2t 1

Крок 1.Скористайтесь тим, що кут між прямими дорівнює куту між їх напрямними векторами. Запишіть координати напрямних векторів цих прямих, враховуючи, що перша пряма задана канонічними рівняннями, а друга – параметричними.

a1 a2

68

Канонічні рівняння прямої, що проходить через точку					M0 x0			, y0 , z0		з
напрямним вектором a l; m; n у просторі, мають вигляд	x x0			y y0			z z0		.
		l		m			n
Параметричні рівняння прямої, що проходить		через		точку			M0	x0 , y0		, z0
		x x0 l t
паралельно вектору a l; m; n у просторі, мають вигляд		y y		m t	,	де t ;
			0
				n t
		z z0

– довільний параметр.

Крок 2. Знайдіть скалярний добуток a1 a2 , та модулі векторів a1 , a2 .

a1 a2

a1

a2

	Скористайтесь формулою для обчислення скалярного добутку векторів, які
задано	своїми	координатами:	якщо		ax ; ay ; az ,		bx ; by ; bz ,	то
				a		b

a b ax bx ay by az bz .

Скористайтесь формулою для знаходження модуля вектора a ax ; ay ; az :

a ax2 ay2 az2 .

Крок 3. Знайдіть косинус кута між векторами a1 і a2 .

cos

Скористайтесь тим, що кут між прямими l1

і l2

у просторі, знаходять, як кут між

їх напрямними векторами

1

1

1 1

та

2

2

2 2

, і обчислюють за формулою

a

l ; m ; n

a

l ; m ; n

cos

a1

a2

l1 l2

m1 m2

n1 n2

a1

a2

l2 m2 n2

l2

m2 n2

1

1

1

2

2

2

69

Відповідь: cos

3

.

84

3.21.

Знайдіть

кут

між прямою

x 4

y 5

z 2

і

площиною

1

4

3

2x 5y z 3 0 .

Хід розв’язання.

Крок

1.

Запишіть координати

напрямного

вектора

a прямої

x 4

y 5

z 2

і нормального вектора n

площини 2x 5y z 3 0 .

4

3

1

a n

Скористайтесь означенням канонічних рівнянь прямої у просторі: канонічні

рівняння

прямої у просторі мають

вигляд

x x0

y y0

z z0

, де M

x

, y , z

–

0

0

l

m

n

0

0

точка, яка належить прямій, a l; m; n – напрямний вектор прямої.

Скористайтесь означенням загального рівняння площини: загальне рівняння

площини

має вигляд

Ax By Cz D 0 , де

A; B,C – координати

вектора

n ,

перпендикулярного до прямої, тобто нормального вектора площини.

Крок 2. Знайдіть скалярний добуток a n та модулі векторів

a

,

n

.

a n

a

n

Скористайтесь формулою для обчислення скалярного добутку векторів, які

задано

своїми

координатами:

якщо

ax ; ay ; az ,

bx ; by ; bz ,

то

a

b

a b ax bx ay by az bz .

70

Скористайтесь формулою для знаходження модуля вектора a ax ; ay ; az :

a ax2 ay2 az2 .

Крок 3. Знайдіть синус кута між векторами a і n .

sin

	Якщо пряма і площина задані рівняннями	x x0		y y0		z z0	,
		l		m		n

A x B y C z D 0, то кут між ними визначають через кут між нормальним вектором

площини n A; B; C і напрямним вектором прямої

a l; m; n та обчислюють за

формулою sin

A l B m C n

A2

B2 C2 l2 m2 n2

Відповідь: sin

4

.

195

Учимося моделювати професійну діяльність інженера

3.22. Звиси чотирьохскатного даху цеху створюють прямокутник, сторони якого рівні 12 і 30 м. Скати покрівлі мають рівний ухил, що дорівнює 12 .

Вибравши систему координат, як показано на рисунку 3.3, складіть рівняння ребер і гребня, запишіть рівняння ребер і гребня в канонічній формі.

Рис. 3.3. Схема чотирьохскатного даху цеху

71

Хід розв'язання.

Крок 1. Звиси даху – це відрізки прямих AC, CD, DF, AF; гребінь – відрізок прямої ВЕ; кут нахилу ската – кут , що створений прямою скату ВК та її горизонтальною проекцією. З’ясуйте, чому дорівнює ухил скату та координати точок А, С, D, F в обраній системі координат.

tg ...... 12 ; А(...; ...; ...); С(...; ...; ...); D(...; ...; ...); F (...; ...; ...);

1

...

1

zB BO ... tg

...

...;

yB OO

...

... .

2

tg

2

Для знаходження ухилу скату застосовуйте співвідношення у прямокутному

ВО / К ,

тобто tg

BO

. Враховуйте, що точка О збігається з початком координат і

O K

належить

відрізку АС : АО ОС .

Координати (ординати, аплікати)

точок В і Е

знаходьте зі співвідношень у прямокутному трикутнику.

Крок 2. З’ясуємо рівняння ребер АВ, ВС, DE, EF й гребня ВЕ.

y 2z 0,

ребро АВ :

... x ... у ... z 6 0,

... х ... y ...z ... 0,

ребро ВС :

x 2z 6 0,

... х ... y ...z ... 0,

ребро DE :

... х ... y ...z ... 0,

... х ... y ...z ... 0,

ребро EF :

... х ... y ...z ... 0,

		x ...				y ...				z ...
...			...				...
	x ...				y ...				z ...
...			...				...

x ... y ... z ...

... ... ...

x ... y ... z ...

... ... ...

		y	z	0,		x ...		y ...		z ...
	... х ...
гребінь BE :
	... х ...	y ...	z ...	0,		...		...		...

Ребра АВ, ВС, DE, EF й гребінь ВЕ є лініями перетину відповідних площин

A x B y C z D 0,
1	1	1	1	З загальних рівнянь прямих отримайте їхні канонічні
A2 x B2 y C2 z D2 0.

рівняння.

72