Тетрадь 2 (аналитическая геометрия)

Відповідь: ребро ВС:	x						y 6							z 3						;
2							2							1
ребро DE:		x 6									y 30										z	;
				2								2						1
ребро EF :				x						y 24										z			;
				2
											2								1
гребінь BE:					x				y 6							z 3								.
				0							1							0

Учимося самостійно розв’язувати завдання

3.23.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Складіть

рівняння

Складіть

рівняння

Складіть

рівняння

прямої,

що

проходить

прямої,

що

проходить

прямої, що

проходить

через точку M ( 1;2;1)

через

точку

M (1; 2;0)

через точку

M (1; 2;0)

паралельно

вектору

паралельно

прямій

паралельно

прямій

2; 3;1 .

x

y 6

z 3

x y 2z 1 0,

а

.

2

2

1

3x 2 y z 2 0.

Скористайтесь рів-

Оскільки

прямі

Оскільки

прямі

няннями прямої, що

паралельні,

то

паралельні,

то

проходить

через

напрямний вектор

напрямний вектор

точку

паралельно

однієї

є напрям-

однієї

є напрям-

заданому вектору.

ним вектором іншої прямої.

ним вектором іншої прямої.

3.24.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Складіть параметричні

Дано вершини трикут-

Дано вершини трикут-

рівняння

прямої,

що

ника

A(3;6; 7), B(1;0;1),

ника A(3;6; 7), B(1;0;1),

проходить через точки

C( 1; 2;1).

Складіть

C( 1; 2;1).

Складіть

M ( 1;2;1) і N (0;1;3).

параметричні

рівняння

параметричні

рівняння

прямої,

що

містить

середніх

ліній

медіану

трикутника

трикутника.

BM .

Розбийте задачу на

Розбийте задачу на

Розбийте задачу на

підзадачі:

підзадачі:

підзадачі:

1)

складіть

кано-

1)

знайдіть

коор-

1) знайдіть коор-

нічні рівняння пря-

динати точки М –

динати середин

мої, що проходить через дві

середини відрізка АС;

сторін трикутника АВС;

точки;

2) складіть рівняння пря-

2) складіть рівняння пря-

2) запишіть канонічні рів-

мої, що проходить через дві

мих, що проходять через

няння цієї прямої.

точки.

дві точки.

73

3.25.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Знайдіть

кут

між

Знайдіть

кут

між

Знайдіть

кут

між

прямими

x 2t 1,

прямими

x 3

y 2

z

x y 4 z 5 0,

прямими

y 3t 2,

і

і

1

1

2

2 x y

2 z 4 0

x 2

y 3

z 5

z 6t 1

x 6 y 6z 2 0,

і

2x y 4z 2 0,

1

1

2

4

0.

2x 2 y 9z 1.

4x y 5z

Кут

між

прямими

Знайдіть

напрямні

Знайдіть

напрямні

визначається кутом

вектори

заданих

вектори

заданих

між

напрямними

прямих.

Кут

між

прямих.

Кут

між

векторами.

прямими

визна-

прямими

визна-

чається

кутом

між

чається

кутом

між

напрямними векторами.

напрямними векторами.

3.26.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

З’ясуйте, чи

є прямі

З’ясуйте, чи

є прямі

Знайдіть

значення

x 3t 1,

x 2t 1,

параметра , за якого

x

y 1

z

y 2 3t,

і

y

3t 2,

і

прямі

і

1 6t

1

3

z 1,5t

z

3x y 5z 1 0,

x

y 6

z 3

2x y 4z 2 0,

2x 3y 8z 3

0

2

2

1

4

0

4x y 5z

перпендикулярні.

перпендикулярними?

перпендикулярними?

Прямі

перпенди-

Прямі

перпенди-

Скориставшись

кулярні

тоді й

кулярні

тоді

й

умовою перпенди-

лише

тоді,

коли

лише

тоді,

коли

кулярності

пря-

перпендикулярні

перпендикулярні

мих, складіть рів-

їхні напрямні вектори.

їхні напрямні вектори.

няння з невідомою .

3.27.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Доведіть паралельність

Чи

є

прямі

Знайдіть,

при

яких

прямих

x

y 1

z

та

2x y 2z 5 0,

і

значеннях

прямі

1

2

1

x 2

y 1

z

2x 2 y

z

2

0

і

3x y 5z 1 0,

x y 3z 1 0,

2 2

x y z 0,

2x 3y 8z 3 0.

2

0

2x y 9z

3y

5z

8 0

паралельними?

x

паралельні?

74

Прямі

паралельні

Прямі

паралельні

Скориставшись

тоді й лише тоді,

тоді й лише тоді,

умовою

паралель-

коли колінеарні їхні

коли колінеарні їхні

ності

прямих,

напрямні вектори.

напрямні вектори.

складіть рівняння з

невідомою .

3.28.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Знайдіть

точку

Доведіть,

що

пряма

Знайдіть, при яких

перетину

прямої

5x 3y 2z 5 0,

пряма

x 1

y 1

z

x 3

y 2

z 1

2x y z 1

0

1

6

3

1

5

2

лежить

в

площині

з площиною

перетинає

площину

4x 3y 7z 7 0.

2x 3y z 1 0.

x ( 1) y z 15 0?

Розв’яжіть систему

Переформулюйте

Переформулюйте

рівнянь, що скла-

задачу: доведіть, що

задачу:

за

яких

дається

з

рівнянь

система, яка скла-

значень система,

прямої та площини.

дається

з

рівнянь

яка складається

з

прямої та площини, має

рівнянь прямої та площини,

безліч розв’язків.

має єдиний розв’язок?

3.29.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Складіть рівняння пло-

Знайдіть

проекцію

Складіть

рівняння

щини,

що

проходить

точки P(2; 1;3)

на

перпендикуляра,

через

точку

P(2; 1;3)

x 3t,

проведеного

з

точки

перпендикулярно

пря-

5t

7,

P(2; 1;3)

на

пряму

пряму y

x 3t,

мій

x

y 7

z 2

.

2t

2.

z

3

5

2

y 5t

7,

2.

z 2t

Скористайтесь тим,

Проекцією точки Р

Розбийте задачу на

що напрямний век-

на

пряму

є

точка

підзадачі:

тор прямої є нор-

перетину площини,

1) знайдіть проек-

мальним вектором

що

проходить

цію

точки

Р

на

до площини.

через точку Р перпенди-

пряму;

кулярно прямій, з прямою.

2) складіть рівняння пря-

мої, що проходить через

точку Р та її проекцію на

пряму.

75

3.30.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Складіть

рівняння

пря-

Знайдіть

проекцію

Знайдіть

точку

Р0

мої, що проходить через

точки P( 5;1;0) на

симетричну

точці

точку P(1;3; 4) перпен-

площину 3x y 2z 0.

P( 5;1;0)

відносно

дикулярно до площини

площини

3x y 2z 0.

3x y 2z 0.

Скористайтесь

Проекція

точки

Р

Розбийте задачу на

тим, що нормаль-

на площину

–

це

підзадачі:

ний вектор площи-

точка

перетину

1)

знайдіть

О

ни

є напрямним

прямої, що прохо-

проекцію точки Р

вектором прямої.

дить через точку Р перпен-

на площину;

дикулярно

з

цією

2)

знайдіть

координати

площиною

точки Р0

за умови, що О

середина відрізка РР0 .

3.31.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Знайдіть

відстань

між

Знайдіть відстань від

Знайдіть відстань між

паралельними прямими

точки

P( 5;1;0)

до

мимобіжними прямими

x

y 7

z 2

x 1

y

z 2

x 7

y 4

z 3

та

прямої

.

та

3

5

2

3

4

2

3

5

2

x 1

y

z 2

.

x 2

y 5

z 2

.

3

5

2

6

4

1

Скористайтесь

Знайдіть

будь-яку

Знайдіть

будь-яку

формулою відстані

точку

M 0 ,

що

точку

M1 ,

що

між

паралельними

належить

цій

належить

першій

прямими.

прямій,

та

прямій та M 2 , що

напрямний

вектор

а

належить іншій прямій. Якщо

прямої.

У

такому

разі

а1,

а2 напрямні

вектори

відстань

від

точки

Р

до

цих прямих, то відстань між

прямої

дорівнює

висоті

прямими

дорівнює

висоті

паралелограма,

що

паралелепіпеда, побудованого

побудований на векторах а

на

векторах

а1,

а2 , М1М2

та M0 Р (рис.3.4).

(рис.3.5).

Рис. 3.4. Відстань від точки

до прямої

Рис. 3.5. Відстань між

мимобіжними прямими

76

А( 6; 0; 0), В(0; 6; 3), Е (0; 24; 3), С (6; 0; 0) .

Учимося застосовувати ППЗ Gran-3D для знаходження відстані

між прямою і площиною

3.32. Звиси чотирьохскатного даху цеху створюють прямокутник. Бічні скати покрівлі ABEF та BCDE мають рівний ухил і задані координатами своїх вершин Знайдіть

відстань від гребня до прямокутника, що створено звисами.

Хід обчислення.

1.Відкрийте вікно ППЗ Gran-3D.

2.Побудуйте зображення площин ABEF та BCDE за допомогою опції

Об’єкт-Створення-Площина-Три точки за координатами відповідних точок А (– 6; 0; 0), В(0; 6; 3), Е(0; 24; 3); С (6; 0; 0).

3. За допомогою опції Обчислення-Відстань-Між прямою і площиною, за відповідними запитами програми, послідовно вкажіть у полі програми об’єкти площин ABEF та BCDE. У полі звіту з’явиться результат обчислення відстані між прямою і площиною.

Як пов’язані криві другого порядку з інженерною практикою

Механізм (антипаралельний кривошип) складається з чотирьох попарно рівних ланок АВ = СD й АD = ВС, шарнірно з'єднаних між собою, як показано на рисунку 4.1. Ланку АВ закріплено нерухомо, а ланки АD й ВС обертаються навколо центрів А і В. Виникає необхідність визначення траєкторії руху точки М (х;у) перетину малих ланок.

Оберемо систему координат так, щоб вісь Ох пройшла через точки А і В, а вісь Оу – через середину відрізку АВ. Легко побачити, що різниця відстаней до точки М від точок А і В є величина постійною, рівною довжині малої ланки. Позначаючи цю довжину через 2а, а довжину ланки

АВ		через		2с,	будемо	мати AM BM 2a ,	або
					2a .
	x c 2 y2			x c 2 y2

77

Рис. 4.1. Схема механізму (антипаралельний кривошип)

Спрощуючи це рівняння, одержимо, що точка М рухається по дузі кривої, що називається гіперболою.

Оскільки найчастіше траєкторія руху різних механізмів чи каркаси металевих споруд мають вигляд ліній, що називаються кривими другого порядку, з’ясуємо, які можливості є для задання їхніх рівнянь.

	Складаємо опорний конспект
	Криві другого порядку
Множину точок площини, координати
яких задовольняють рівняння
ax2 by2 cxy dx ey f 0 , де хоча б
одне з чисел a, b, c відмінне від нуля,
називають		…
Колом називають множину точок
площини, відстані від яких до заданої		задана точка площини
точки цієї ж площини дорівнюють		називається…	,
сталому числу, де		а стале число –	…
Рівняння	x a 2 y b 2 R2
описує коло (рис. 4.2)
		з радіусом…, центр якого
		міститься в точці …
	Рис. 4.2. Коло
	78

У разі, коли центр кола – початок координат (рис. 4.3), рівняння кола набуває канонічного вигляду

...2 ...2 ...2

Рис. 4.3. Коло, центр якого співпадає з початком координат

Еліпс

Множину всіх точок площини, сума

відстаней від яких до двох цих точок

площини (фокусів) є величина стала і

більша, ніж відстань між фокусами,

називають

…

Канонічне рівняння еліпса (рис. 4.4) має

вигляд

...2

...2

1

...2

...2

,

де величини 2 a та 2 b

називають відповідно

…

, а

2 с –

…

Рис. 4.4. Зображення еліпса

Міру відхилення еліпса від кола

характеризує величина, яку називають

...

, де 0

1

ексцентриситетом еліпса й обчислюють

...

Прямі x

a

, або

x

a 2

називають

… еліпса

c

Гіпербола

Множину всіх точок площини, модуль

різниці відстаней від яких до двох

фіксованих цієї площини (фокусів) є

величина стала і менша, ніж відстань

між фокусами, називають

…

79

Канонічне рівняння гіперболи (рис. 4.5)

має вигляд

...2

...2

1,

...2

...2

де величини 2 a та 2 b

називають відповідно

…

, а

2 с –

…

Рис. 4.5. Зображення гіперболи

Відношення

фокальної

відстані

гіперболи до довжини

її

дійсної осі

...

1

називають ексцентриситетом гіперболи,

, де

...

тобто

Прямі x

a

, де

а –

дійсна

піввісь

…

гіперболи

гіперболи, називають

Парабола

Множину

всіх

точок

площини,

рівновіддалених

від

даної

точки

(фокуса) і

даної

прямої

(директриси)

…

називають

Канонічне рівняння параболи (рис. 4.6)

має вигляд

y 2 2 px ,

де величина p– …

Рис. 4.6. Зображення параболи
Пряма x P , де p дорівнює відстані
2
між фокусом і параболою, називають	… параболи

80

Перевіряємо готовність до практичного заняття

4.1. Рівняння кола з центром в точці 4;

5 і радіусом R 5 має вигляд:

А

x 4 2 y 5 2 5

Б

x 4 2 y 5 2 25

В

x 4 2 y 5 2 25

Г

x 4 2 y 5 2 5

Д

x 4 2 y 5 2 25

Рівняння

кола з

центром

в точці

О(a;b) і радіусом

R має вигляд

x a 2 y b 2 R2 .

4.2. Знайдіть радіус R та координати центра О кола x 1 2

y 3 2 10

А

Б

В

Г

Д

R 10,

R 5,

R 10,

R

10,

R 10,

O( 1;3)

O( 1;3)

O( 1;3)

O(1; 3)

O(1; 3)

Використовуйте підказку до задачі 4.1.

4.3. З наведених рівнянь оберіть те, яке є канонічним рівнянням еліпса.

		А						Б						В														Г						Д
2		2					2						2			2										2				2			2	2
	x		y	1		x			y	1		x			y			1							x				y		0		x		y	0
	2		2		3							3												3									2		2
3		4						4						4														4					3	4
			Канонічне рівняння еліпса має вигляд																x2			y2		1.
																			a2			b2

4.4. З наведених рівнянь оберіть те, яке є канонічним рівнянням гіперболи.

		А					Б						В										Г									Д
2						2						2			2							2			2					2		2
	x	y2	1		x			y	1		x			y		1					x			y		0				x			y	0
	2			3							3								3											2			2
3							4						4										4							3		4
		Канонічне рівняння гіперболи має вигляд															x2				y2		1, або				x2			y2		1.
																	a2				b2						a2			b2
													81

4.5. З наведених рівнянь оберіть те, яке є рівнянням параболи.

А

Б

В

Г

Д

2

2

2

x

y2 1

x

y 1

x2

y

x2 8y2

x2 y2 0

2

3

3

4

Канонічне рівняння параболи має вигляд y2 2 px, або x2

2 py.

4.6. Знайдіть значення малої та великої осей еліпса

x2

y2

1.

4

3

А

Б

В

Г

Д

3 та 2

2 3 та 4

3 та 4

3 та 2

2 3 та 4

Величини 2а та 2b називають малою та великою осями еліпса.

4.7. Знайдіть фокальну відстань еліпса				x2		y2		1.
				4		3
А		Б	В					Г		Д
2		1	7					14		інша
										відповідь
Якщо	a, b велика та мала півосі еліпса,					то		с2 a2	b2 . Фокальна відстань
дорівнює 2с.

4.8. Відстань між фокусами еліпса дорівнює 8, а велика й мала півосі

дорівнюють			відповідно		a 5, b 3.	Чому		дорівнює		ексцентриситет
еліпса?
А			Б		В			Г		Д
	5			3		8			4		5
	8			8		5			5		4

Ексцентриситетом еліпса називається величина ас .

4.9. Дійсна та уявна півосі гіперболи				x2		y2	1 відповідно дорівнюють:
			16		4
А	Б		В					Г	Д
4 та 2	16 та 4	8 та 2						2 та 4	2 та 8

82