Тетрадь 2 (аналитическая геометрия)

	Якщо рівняння гіперболи має вигляд	x2		y2	1, то а	називають дійсною
		a2		b2

піввіссю гіперболи, а b уявною.

4.10. Чому дорівнює фокальна відстань для гіперболи

x2

y2

1.

16

4

А

Б

В

Г

Д

с 20

с 2 12

с 4 5

с 4 3

с 2 3

Якщо a, b дійсна та уявна півосі гіперболи, то

с2 a2 b2 . Фокальна відстань

дорівнює 2с.

4.11. Якого з наведених значень не може набувати ексцентриситет гіперболи?

А	Б		В			Г		Д
1,4							3		1
	3		5 1
							2		3

Ексцентриситетом еліпса називають величину ас , де c2 a2 b2 .

4.12. Серед наведених пар рівнянь оберіть рівняння спряжених гіпербол.

А

Б

В

Г

Д

x2

y2

1;

x2

y2

1;

x2

y2

1;

x2

y2

1;

x2

y2

1;

16

4

16

4

16

4

16

4

16

4

y2

x2

1.

у2

x2

1.

х2

у2

1.

х2

у2

1.

х2

у2

1.

16

4

4

16

4

16

4

16

4

16

Гіперболи

x2

y2

1 та

x2

y2

1 називають спряженими.

a2

b2

a2

b2

4.13. Рівняння асимптот гіперболи

x2

y2

1 мають вигляд:

2

4

А

Б

В

Г

Д

y

1

1

y 2x

y 2x

x

y

x

y 2x

2

2

Рівняння асимптот гіперболи

x2

y2

1 мають вигляд

у

b

x.

a2

b2

a

83

4.14. Парабола задана рівнянням			у2 8х.			Знайдіть координати фокуса
параболи.
А	Б		В			Г	Д
F(8;0)	F(4;0)					F(2;0)	F( 2;0)
		F (	8;0)

У разі, коли фокус параболи знаходиться в точці F ( p 2 ; 0), а директрисою

параболи є пряма x p 2 , рівняння параболи має вигляд y2 2 px.

4.15. Яка з наведених кривих може бути схематичним зображенням параболи x2 12 y :

А	Б	В	Г	Д

Зверніть увагу, що у може набувати лише від’ємних значень.

Учимося розв’язувати типові задачі

4.16. Складіть рівняння кола з центром у точці C(1; 4) і радіуса R 3 .

Хід розв’язання.

Крок 1. Запишіть рівняння кола з центром в точці C(1; 4) і радіуса

R 3 .

Рівняння (x a)2 ( y b)2 R2 описує коло з радіусом R , центр якого знаходиться в точці C(a;b) .

Відповідь: (x 1)2 ( y 4)2 9.

84

4.17.Складіть рівняння кола в кожному з таких випадків:

1)центром кола є точка C( 3;4) і коло проходить через початок координат;

2)точки A(2;1) і B( 2;3) є кінцями одного з діаметрів кола.

3)центром кола є точка C(2; 2) , а пряма 3x 4 y 6 0 є дотичною до кола.

Хід розв’язання.

Крок 1. Скористайтеся тим, що так як коло проходить через початок координат O(0;0) і точка C( 3;4) є його центром, то радіусом цього кола є

відрізок ОС . Знайдіть вектор OC , визначте його модуль та запишіть рівняння кола з центром в точці C( 3;4) і радіуса R OC .

OC

R

OC

( )2 (... ... ...

...)2

...2

Скористайтесь тим, що в разі,

коли відомо координати початку A(x1; y1 ) та

кінця B(x2 ; y2 ) вектора AB ,

його координати

знаходять за

формулою

x2 x1; y2 y1 .

AB

Скористайтесь

формулою

для

знаходження

модуля вектора

ax ; ay :

a

a ax2 ay2 .

Рівняння (x a)2 ( y b)2	R2 описує коло з радіусом R , центр якого
знаходиться в точці C(a;b) .

Отже, отримали (x 3)2 ( y 4)2 25.

Крок 2. Скористайтеся тим, що центр кола точка C(a;b) лежить на

середині відрізка AB , тому знайдіть координати точки С , що поділяє відрізок AB навпіл. Далі скористайтесь попереднім кроком розв’язку та визначте радіус кола, як довжину відрізка AC .

x	... ...		y	... ...
С	2		С	2
			85

C(...;...)

AC

R AC

		Координати точки M x, y , яка				ділить			відрізок A1 A2 навпіл, де
A (x , y ),			A (x , y ) , знаходять за формулами:			x	x1 x2	,	y	y1 y2	.
1	1	1	2	2	2	2			2

Крок 3. Запишіть рівняння кола з центром у точці C(0;2) і радіуса

R 5 .

Рівняння (x a)2 ( y b)2 R2 описує коло з радіусом R , центр якого знаходиться в точці C(a;b) .

Отже, отримали x2 ( y 2)2 5.

Крок 4. Скористайтеся тим, що радіус шуканого кола дорівнює відстані від точки C(2; 2) до прямої 3x 4 y 6 0 . Знайдіть радіус кола

та запишіть його рівняння, якщо C(2; 2) – центр кола.

R

(... ...)2 (... ...)2 ...2

Відстань			від точки M0 (x0 , y0 )					до прямої Ax By C 0	обчислюється за
формулою d		Ax0 By0 C					.
				A2 B2
Рівняння			(x a)2 ( y b)2 R2					описує коло з радіусом	R , центр якого
знаходиться в точці C(a;b) .

86

Отже, отримали (x 2)2 ( y 2)2 16 .

Відповідь: 1) (x 3)2 ( y 4)2 25

2)x2 ( y 2)2 5

3)(x 2)2 ( y 2)2 16

4.18.Знайдіть центр і радіус кола, яке проходить через точки A(1;5), B( 4;0) та C(4; 4) . Запишіть його рівняння.

Хід розв’язання.

Крок 1. Скористайтеся тим, що коли точка належить колу, то її координати задовольняють його рівняння. Нехай R – радіус шуканого кола, а його центр знаходиться в точці (a;b) . Тоді точки A(1;5), B( 4;0) та

C(4; 4) задовольняють рівняння

(x a)2 ( y b)2 R2 .

Отже,

маємо

систему рівнянь для отримання невідомих a,b, R .

(1 a)

2

(5 b)

2

R

2

(... a)2

(... b)2 R2

2

(... b)

2

R

2

(... a)

Рівняння

(x a)2 ( y b)2 R2

описує коло з радіусом

R , центр

якого

знаходиться точці C(a;b) .

Крок 2. В одержаній системі розкрийте дужки та зведіть подібні

доданки.

2

b

2

2a 10b

26 R

2

a

R2

R2

Крок 3. З отриманої системи знайдіть невідомі a,b, R . Для цього, наприклад, з другого рівняння відніміть спочатку перше, а потім трете

87

рівняння. Розв’яжіть одержану систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими будь-яким відомим вам методом.

10a 10b 10 0			a ... ...
	0	або
16a 8b 16			2a ... ...

a b

Крок 4. Знайдіть радіус кола	R ,	для цього знайдені значення
a 1, b 0 підставте в будь-яке з рівнянь початкової системи.
R2 ...		R

Крок 5. Запишіть рівняння кола з центром у точці С(1;0) і радіусом

R 5 .

Рівняння (x a)2 ( y b)2 R2 описує коло з радіусом R , центр якого знаходиться в точці C(a;b) .

Відповідь: (x 1)2 y2 25

4.19. Знайдіть координати центра й радіус кола x2 y2 4x 6y 3 0.

Хід розв’язання.

Крок 1. Згрупуйте доданки, які містять тільки x та тільки y , та доповніть їх до повних квадратів.

x2 y2 4x 6y 3 (x2 4x) ( y2 6y) 3

(x2 4x ...) ( y2 6y ...) ... ... 3 (x 2)2 ( y ...)2 ... 0

88

Перетворення здійснюйте за

a2 2 a b b2 a b 2 .
При	виділенні	повного

x2 px q x2 2 2p x q x2 2 2p x

допомогою формул скорченого добутку

	квадрата			скористуйтесь					схемою
p2		p2		p 2			p2
			q x			q		.
4		4		2			4

Крок 2. Перенесіть вільний член 16 у праву частину рівності. Отримане рівняння і є рівнянням кола з відомими координатами центра C(a;b) та радіусом R . Визначте їх.

a ;	b	; R
Рівняння	(x a)2 ( y b)2 R2 описує		коло з радіусом R , центр якого
знаходиться в точці C(a;b) .
Відповідь: C(2; 3) ,		R 4 .
4.20. Написати рівняння траєкторії точки			M (x, y) , якщо точка M у два

рази ближче до точки A(4;0) , ніж до точки B( 2;0) .

Хід розв’язання.

Крок 1. Знайдіть відстані AM та BM .

AM

BM

Скористайтесь тим, що коли A1 (x1; y1 ), A2 (x2 ; y2 ) , то відстань між точками A1 та

A2 обчислюється за формулою A1 A2 (x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 .

Крок 2. За умовою задачі BM 2 AM . Запишіть відповідну рівність. Піднесіть обидві частини цієї рівності до квадрата та спростіть її.

89

(x 2)2 y2 2 (... ...)2 (... ...)2

x2 y2 12x 20 0

Скористайтеся тим, що коли обидві частини рівності додатні, то піднесення до квадрата кожної з них перетворює рівність на рівносильну.

Перетворення здійснюйте за допомогою формул скороченого добутку

a b 2 a2 2ab b2 .

Крок 3. Згрупуйте доданки, які містять тільки x та доповніть їх до повного квадрата.

Перетворення здійснюйте

за

допомогою

формул

скороченого

добутку

a2 2 a b b2 a b 2 .

При

виділенні

повного

квадрата

скористуйтесь

схемою

2

2

p

2

p

p2

p2

p 2

p2

x

px q x

2

x q

x

2

x

q

x

q

.

2

2

4

4

2

4

Крок 4. Порівняйте отримане рівняння з рівнянням кола з радіусом

R , центр якого знаходиться в точці C(a;b) . Зробіть висновки.

a ;

b

;

R

Рівняння

(x a)2

( y b)2

R2

описує коло

з

радіусом

R ,

центр якого

знаходиться в точці C(a;b) .

90

Відповідь: (x 6)2 y2 16 , коло з радіусом	R 4 , центр якого
знаходиться в точці C(6;0) .

4.21. Складіть рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис, симетрично початку координат, якщо:

1)його півосі відповідно дорівнюють a 4 і b 3;

2)відстань між фокусами 2c 8 , а більша вісь 2a 12;

3)більша вісь 2a 20 , а ексцентриситет 0,9 ;

4)менша вісь 2b 8, а ексцентриситет 23 ;

5)сума осей дорівнює 16, а відстань між фокусами 2с 8 ;

6)відстань між фокусами 2с 6 , а ексцентриситет 0,6

Хід розв’язання.

Крок 1. Запишіть канонічне рівняння еліпса з півосями a 4, b 3.

x2

y2

1

... ...

Канонічне рівняння еліпса має вигляд

x2

y2

1,

де величини a та b

a2

b2

називають відповідно велика та мала півосі.

Крок 2. З умови 2c 8 та 2a 12

знайдіть значення с половини

відстані між фокусами та a велику піввісь еліпса.

Установіть значення

b малої півосі еліпса. Запишіть відповідне канонічне рівняння еліпса.

c ...

a ...

b

...2 ...2

x2

y2

1

... ...

91

Скористайтеся тим, що коли фокуси еліпса розташовані на осі абсцис,

симетрично початку координат, то канонічне рівняння еліпса має вигляд x2 y2 1, де a2 b2

величини a та b називають відповідно велика та мала півосі і b2 a2 c2 .

Крок 3. З умови 2a 20 знайдіть значення a великої півосі еліпса. Використовуючи означення ексцентриситету еліпса, установіть значення с половини відстані між фокусами. За відомими значеннями a і с знайдіть значення b та запишіть канонічне рівняння еліпса (див. крок 2).

a 0,9; c ... ...

b ...2 ...2

x2 y2 1

... ...

Ексцентриситетом еліпса називається відношення

с

.

a

Крок 4. З умови 2b 8

знайдіть значення b малої півосі еліпса.

Використовуючи

зв'язок b2 a2 c2 між

півосями

еліпса та

означення

ексцентриситету

, знайдіть

значення

a великої півосі

еліпса. За

відомими значеннями a і b запишіть канонічне рівняння еліпса.

b

с

a2 b2

a2 ...2

с

с ... ...

...

a

2

2

a

... a

a

x2

y2

1

... ...

Ексцентриситетом еліпса називається відношення

с

.

a

Крок 5. З умови 2с 8 знайдіть значення с половини відстані між

фокусами.

Використовуючи зв'язок

b2 a2

c2 між півосями еліпса та

92