Тетрадь 2 (аналитическая геометрия)

Крок 2. Знайдіть кут між прямими 2x 3y 1 0 і 4x 2y 3 0 .

cos

2

Звідси

arccos

260

Скористайтесь

тим,

що коли

прямі

l1 і

l2

задані

загальними рівняннями

A1 x B1 y C1

0 і A2

x B2

y C2 0 , то один з кутів між цими прямими визначають

через кут між їхніми нормальними векторами

A1,

B1 та

A2 , B2 і

n1

n2

обчислюють за формулою cos

n1

n2

A1 A2

B1 B2

.

n1

n2

A2

B2

A2 B2

Відповідь: arccos

2

.

1

1

2

2

260

1.24. Точка A(2, 5) є вершиною квадрата, одна зі сторін якого лежить на прямій x 2y 7 0. Обчисліть площу цього квадрата.

Хід розв’язання.

Крок 1. Перевірте, чи належить точка A(2, 5) прямій x 2y 7 0. Для цього підставте координати точки у рівняння прямої.

Скористайтесь тим, що коли точка M (x, y) належить прямій Ax By C 0 , то її координати задовольняють рівнянню прямої.

Отже, отримали, що точка A(2, 5) не належить прямій x 2y 7 0.

Крок 2. Знайдіть відстань від точки A(2, 5) до прямої x 2y 7 0.

d

23

Скористайтесь тим,					що коли точка M (x, y)		є вершиною квадрата, то довжина
сторони квадрата дорівнює відстані від точки M (x, y) до прямої Ax By C 0 ,								яка
задає протилежну сторону квадрата.
Відстань від точки						M0 (x0 , y0 ) до прямої	Ax By C 0 обчислюється	за
формулою d		Ax0 By0 C				.
			A2 B2

Крок 3. Знайдіть площу квадрата зі стороною d 5 .

S

Площа квадрата зі стороною a дорівнює S a2 .

Відповідь: S 5 кв. од.

Учимося моделювати професійну діяльність інженера

1.25.	Матеріальна точка М рухалася	під дією деякої сили по	колу
x2 y 2	10 x 6 y 9 0 проти годинникової стрілки. Дія сили припинилася
в момент часу, коли положення точи		визначилося координатами	2; 1 .

Складіть рівняння подальшої траєкторії руху точки М.

Хід розв'язання.

Крок 1. З’ясуйте, по якій лінії відбувається рух точки після припинення її руху, як розташовані завдане коло й отримана лінія руху відносно одна одної.

Починаючи з моменту, коли дія сили на точку M припинилася, її рух буде відбуватися по прямій, що є дотичною до заданого кола в точці 2; 1 .

24

Крок 2. Приведіть рівняння кола до канонічного вигляду.

x2 y2 10 x 6 y 9 (x2 10 x 25) ( y2 6 y 9) 25 .....

Виокремлюйте повний квадрат двочлена для виразу x2 y 2			10 x 6 y 9 .
Канонічне рівняння кола має вигляд x - a 2 y b 2 R2 .
Крок 3.	З’ясуйте за отриманим рівнянням кола координати його
центра.
x - 5 2	y 3 2 25	С (....; ....)

	Для		канонічного рівняння кола x - a 2			y b 2 R2 центр – точка з
координатами a; b .
	Крок 4. Знайдіть рівняння прямої СМ, що проходить через точки
С (5.; 3) і				М (2; 1) .
	x - ...			y ...	... x ... y - 11 0
... - ...				... ..

	Рівняння прямої, заданої за двома точками, має вигляд	x - xC			y yC			.
		x	- x	y		M	y
		M	C				C

Крок 5. З’ясуйте взаємне розташування прямої СМ із шуканою прямою. Проаналізуємо умови взаємного розташування двох прямих.

4x 3y -11 0 k1		4	.	Якщо k	k		1, то k		....
		3
				1		2		2

Дотична перпендикулярна до радіуса кола, який проведений до точки дотику. Кутовий коефіцієнт дотичної і прямої радіуса, відповідно до умови перпендикулярності двох прямих, пов’язаний рівнянням k1 k2 1.

25

Крок 6. Знайдіть рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k2 34 , що проходить через точку М (2; 1) .

	y ...		3	(x - ...),	або ... x ....	y 2 0.
			4

Рівняння дотичної прямої до заданого кола має вигляд y yM k2 (x xM ) .

Це і є рівняння траєкторії точки М з моменту припинення дії сили.

Відповідь: 3x 4y 2 0 – рівняння траєкторії точки М.

Учимося самостійно розв’язувати завдання

1.26.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Складіть

рівняння

Складіть

рівняння

У

паралелограмі

прямої, що

проходить

прямої,

що

проходить

ABCD

сторона

AB

через точку A( 1;2)

через точку A( 1;2)

лежить на прямій, що

перпендикулярно

паралельно

прямій

задана

рівнянням

вектору

3; 5 .

a : 2x y 9 0.

3x 15y 1 0.

Одна з

s

вершин має координати

( 1;2).

Складіть

рівняння прямої CD.

Скористайтесь за-

Оскільки шукана

З’ясуйте, чи нале-

гальним виглядом

пряма

паралельна

жить точка з коор-

рівняння прямої з

прямій

a,

то

динатами

(1; 2)

нормальним век-

нормальний вектор

прямій

AB,

та

тором

прямої

a є

нормальним

зробіть

висновок

про

вектором шуканої прямої.

належність

цієї

точки

прямій CD.

1.27.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Складіть рівняння пря-

Складіть рівняння пря-

Задано середини сторін

мої,

що

проходить

мих,

що

проходять

трикутника

M (2;1),

через

точку

A(3; 2)

через

вершини

три-

K(5;3), P(3; 4).

кутника

A(5; 4),

паралельно

вектору

Складіть

рівняння

B( 1;3), C( 3; 2)

пара-

2; 1

сторін трикутника.

b

лельно

протилежним

сторонам.

26

Скористайтесь за-

Оскільки

шукані

Середні

лінії три-

гальним

вигля-

прямі

паралельні

кутника MK, KP, MP

дом

рівняння

прямій

a,

то

паралельні

проти-

прямої з напрям-

вектори

лежним

сторонам,

ним вектором

тобто відповідні вектори є

AB,

BC, AC є напрямними

напрямними

векторами

векторами

шуканих

шуканих прямих.

прямих.

1.28.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Складіть рівняння сто-

Складіть рівняння

ме-

Складіть рівняння сто-

рін трикутника ABC,

діан

трикутника

ABC,

рін

трикутника

ABC,

якщо A(5; 4),

B( 1;3),

якщо A(5; 4),

B( 1;3),

якщо A(5; 4),

B( 1;3),

C( 3; 2).

C( 3; 2).

а O( 3; 2) точка пе-

ретину

медіан

цього

трикутника.

Скористайтесь

Розбийте задачу на

Розбийте задачу на

рівнянням

пря-

підзадачі:

підзадачі:

мої, що прохо-

1) знайдіть коорди-

1) знайдіть коорди-

дить

через

дві

нати основ

ме-

нати основ медіан,

точки.

діан – середин

сторін

що проведені з вершин

A і

трикутника;

B

(скористайтесь тим,

що

2)скористайтесь

рівнянням

медіани трикутника точкою

прямої, що проходить через

перетину

поділяються

у

дві точки.

відношенні

2:1,

рахуючи

від вершин);

2) скористайтесь рівнянням

прямої, що проходить через

дві точки.

1.29.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Визначить

кут

між

За

рівняннями

сторін

Складіть

рівняння

прямими

5x y 7 0

трикутника

прямої,

що

проходить

та 3x 2 y 0.

3x 4 y 1 0,

через точку

M (2;1)

та

x 7 y 17 0,

утворює

кут

45

з

7x y 31 0

знайдіть

прямою 2x 3y 4 0.

кути трикутника.

Один з кутів, що

Якщо один з кутів

Рівняння

прямої

утворюється

в

трикутника

пря-

шукайте як рівнян-

результаті

пере-

мий, то два інших

ня

прямої

з

ку-

товим

коефіці-

тину

прямих,

кута гострі.

єнтом.

Врахуйте,

дорівнює

куту

що

один

із

кутів,

який

між нормальними

векто-

утворюється

прямими,

рами цих прямих

дорівнює 45 , а інший 135 .

27

1.30.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

З’ясуйте

взаємне

За яких значень m і n

За яких значень

прямі

розміщення прямих:

прямі mx 8y n 0

mx (2m 3) y m 6 0

та

а)

2x 4y 3 0 та

та 2x my 1 0 :

(2m 1)x (m 1) y m 2 0

x 2 y 0;

а) паралельні;

перетинаються

в

точці,

б) 3x 2 y 1 0

та

б) збігаються;

що

належить

осі

6x 4 y 1 0;

в) перпендикулярні.

ординат.

в)

x 5y 35 0 та

3x 2y 27 0.

Використовуйте

Використовуючи

Переформулюйте

умову

паралель-

умови

паралель-

задачу: за яких зна-

ності,

перпенди-

ності,

перпенди-

чень

система

зада-

кулярності та пе-

кулярності

та

них

рівнянь

має

ретину прямих.

збігу

прямих,

розв’язком пару (0; y).

складіть систему рівнянь з

невідомими m і n.

1.31.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Знайдіть відстань від

Знайдіть відстань між

Дві

сторони

квадрата

точки

M (1; 4)

до

паралельними прямими

лежать

на

прямих

прямої 5x 12y 1.

3x 4y 10 0

та

5x 12y 65 0

та

6x 8y 5 0.

5x 12 y 26 0.

Знайдіть

площу

квадрата.

Приведіть

рів-

Відстань між пара-

1) З’ясуйте взаєм-

няння

прямої до

лельними прямими

не розміщення да-

загального

виг-

дорівнює

відстані

них прямих.

ляду

та

засто-

від будь-якої точки

2)

Скористайтесь

суйте формулу відстані від

однієї прямої

до

іншої

тим, що сторона квадрата

точки до прямої.

прямої.

дорівнює

відстані

між

її

паралельними сторонами.

		Учимося застосовувати ППЗ Gran2D для
		знаходження рівняння траєкторії
1.32.	Матеріальна	точка М рухалася під дією деякої сили по	колу
x - 5 2	y 3 2 25 проти годинникової стрілки. Дія сили припинилася в
момент часу, коли		положення точи визначилося координатами	2; 1 .

Складіть рівняння подальшої траєкторії руху точки М.

28

Хід обчислення.

1.Відкрийте вікно ППЗ Gran2D.

2.Побудуйте графік рівняння кола x - 5 2 y 3 2 25 із центром С, що

знаходиться в точці (5; -3):

–за допомогою опції Об’єкт-Створення-Аналітична точка побудуйте точки С(5; -3) та М(2;1);

–за допомогою опції Об’єкт-Створення-Коло введіть точку С, що є центром кола, і точку М, що належить колу.

3. За допомогою опції Об’єкт-Створення-Дотична до кола побудуйте дотичну до кола. У правому нижньому куті вікна буде зазначено рівняння дотичної, що і є рівнянням траєкторії точки М з моменту припинення дії сили.

Як пов’язана площина з інженерною практикою

Звиси чотирьохскатного даху цеху створюють прямокутник. Скати покрівлі мають рівний ухил (рис. 2.1). Виникає необхідність складання рівняння скатів і знаходження кількості матеріалу необхідного для поверхні покрівлі.

Рис. 2.1. Схема чотирьохскатного даху цеху

29

Оскільки скати даху плоскі, то їхні рівняння будемо знаходити, як рівняння площин , , , . Які є можливості для завдання рівнянь

площин у просторі?

Складаємо опорний конспект

Завдання площини у просторі

Рівняння площини (рис. 2.2), яка
проходить через	точку	M0 x0 , y0 , z0
перпендикулярно	до	вектора
n A; B; C , має вигляд		... x ... ... y ... ... z ... 0

Рис. 2.2. Зображення площини

У

загальному

рівнянні

площини

A; B; C –

A x B y C z D 0

…

,

D ... x0

... y0 ... z0

За умови D 0

для A x B y C z D 0

площина проходить через …

За умови A 0

для A x B y C z D 0

площина розташована паралельно

осі …

За

умови

A 0 ,

B 0

для

площина розташована паралельно

A x B y C z D 0

площині …

За

умови

A 0 ,

B 0 ,

D 0

для

площина збігається з площиною

A x B y C z D 0

…

За

умови

A 0 ,

D 0

для

площина проходить через вісь …

A x B y C z D 0

Рівняння площини (рис. 2.3), яка

проходить

через

точки

M1 x1, y1,

z1 ,

M 2 x2 , y2 , z2 , M3 x3 , y3 , z3 , що не лежать

на одній прямій, має вигляд

x ...

y ...

z ...

... x1

... y1

... z1

0

.

... x1

... y1

... z1

Рис. 2.3. Зображення площини

30

Нехай площина перетинає осі координат

x

y

z

у точках

A a; 0;

0 , B 0; b; 0 і

C 0; 0; c ,

1

тоді рівняння площини набуває вигляду

... ... ...

Відстань від точки до площини

Відстань

від

точки M0 x0 , y0 , z0 до

d

... x

0

... y

0

... z

0

D

площини обчислюється за формулою

...2 ...2 ...2

Кут між двома площинами та умови їх

паралельності й перпендикулярності

Для площин

1 : A1x B1 y C1z D1 0 ,

...; ...; ...

2 : A2 x B2 y C2 z D2 0

n1

кут : 0 90

між ними знаходять як

і

кут між нормальними векторами

n2

...; ...; ...

Для площин

1 : A1x B1 y C1z D1 0 ,

n1

n2

2 : A2 x B2 y C2 z D2 0

cos

n1

n2

кут : 0 90

між ними знаходять за

умови

... ... ... ... ... ...

...2

...2

...2

...2

...2

..2

1

1

1

2

2

2

Умова паралельності для площин

1 : A1x B1 y C1z D1 0 ,

...

...

...

2 : A2 x B2 y C2 z D2 0

має вигляд

... ... ...

Умова перпендикулярності для площин

1 : A1x B1 y C1z D1 0 ,

... ... ... ... ... ... 0

2 : A2 x B2 y C2 z D2 0

має вигляд

Перевіряємо готовність до практичного заняття

2.1. Визначте, яка з наведених точок належить площині 2x 3y z 1 0.

А	Б	В	Г	Д
(1;1;0)	( 1;1;0)	(1;1;1)	(0;1; 1)	(0; 1;1)
		31

Якщо точка належить площині, то її координати задовольняють рівняння площини.

2.2. За рівнянням площини 3z 2x y 2 0 вкажіть її нормальний вектор.

		А		Б		В		Г		Д
		3; 2;1		2;1;3		2;0;3		3; 2;0		2;1;3
	n		n		n		n		n

Згадайте, який зміст мають коефіцієнти в загальному рівнянні площини.

2.3. Визначте розташування площини 2x y 1 0

у декартовій системі

координат.

А

Б

В

Г

Д

проходить

паралельна

через

паралельна

перетинає

містить вісь

площині Oxy.

початок

осі Oz.

вісь Oz.

Oz.

координат

Якщо в загальному рівнянні площини Ax By Cz D 0 C 0, то площина

паралельна осі

Oz.

2.4. З’ясуйте, яка з наведених прямих паралельна площині Oxy.

А

Б

В

Г

Д

2x 3y 0

2x 3y z 0

2x z 0

2 3z 0

2x 3y 1 0

Якщо

в загальному

рівнянні площини

Ax By Cz D 0 A B 0, то

площина паралельна площині Oxy.

2.5. За наданим рівнянням площини у відрізках

x

y

z

1

вкажіть точки

2

3

4

перетину площини з координатними осями.

А

Б

В

Г

Д

2;0;0

2;0;0

2;0;0

2;0;0

2;0;0

(0;3;0)

(0; 3;0)

(0; 3;0)

(0;3;0)

(0; 3;0)

(0;0;4)

(0;0; 4)

(0;0;4)

(0;0;4)

(0;0;4)

Якщо площина перетинає осі координат в точках

A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) ,

то її рівняння має вигляд

x

y

z

1.

a

b

c

32