Тетрадь 2 (аналитическая геометрия)

		Скористайтесь тим, що в разі, коли відомо координати початку			A(x1; y1; z1 ) та
кінця B(x2 ; y2 ; z2 ) вектора AB , то його координати знаходять					за формулою
		x2 x1; y2 y1; z2 z1 .
	AB

Скористайтесь формулою для знаходження модуля вектора a ax ; ay ; az :

a ax2 ay2 az2 .

Крок 2. Запишіть рівняння сфери з центром у точці O(0;0;0) та радіусом R 7 .

Якщо центр сфери – початок координат, то її канонічне рівняння має вигляд

x2 y2	z2 R2 , де R – радіус сфери.
Відповідь: x2 y2 z2 49 .
5.14.	Сфера з центром у точці C(2; 1;4) дотикається до площини
x 2y 2z 3 0 . Знайдіть рівняння сфери.
	Хід розв’язання.

Крок 1. Скористайтеся тим, що радіус сфери дорівнює відстані від центра C до дотичної площини. Знайдіть відстань від точки C(2; 1;4) до

площини x 2y 2z 3 0 .

R d

Відстань від точки M0 (x0 , y0 , z0 )					до площини Ax By Cz D 0
обчислюється за формулою d		Ax0 By0 Cz0		D			.
			A2 B2 C2

Крок 2. Запишіть рівняння сфери з центром у точці C(2; 1;4) та радіусом R 3 .

113

Рівняння сфери з центром у точці M (x0 ; y0 ; z0 ) і радіусом R має вигляд

x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2 .

Відповідь: x 2 2 y 1 2 z 4 2 9 .

5.15.	Знайдіть центр і	радіус	сфери, заданої рівнянням
2x2 2y2 2z2 6y z 0,5 0 .

Хід розв’язання.

Крок 1. Виконайте перетворення лівої частини рівняння: поділіть обидві його частини на 2 та виділіть повні квадрати.

Перетворення здійснюйте за допомогою формул скороченого добутка

a b 2 a2 2ab b2 .

При

виділенні

повного

квадрата

скористуйтесь

схемою

2

2

p

2

p

p2

p2

p 2

p2

x

px q x

2

x q

x

2

x

q x

q

.

2

2

4

4

2

4

	2		3	2		1	2		33
Крок 2. Зведіть отримане рівняння x		y			z							0	до
			2			4			16

канонічного вигляду. Зробить висновок щодо центра та радіуса сфери.

114

				Рівняння сфери з центром у точці M (x0 ; y0 ; z0 )																				і радіусом R	має	вигляд
x x		2		y y				2 z z		0	2 R2 .
	0						0
								2		3		2				1		2		33
Відповідь:							x		y				z										, сфера	з центром	у	точці
										2						4				16
			3	;	1		і радіусом R						33
M	0;																.
			2		4								4

5.16. Яку поверхню визначає рівняння 2x2 y2 2z2 4x 2y 8z 1 0?

Хід розв’язання.

Крок 1. Виконайте перетворення лівої частини рівняння, виділивши повні квадрати.

2x2 y2 2z2 4x 2y 8z 1

Перетворення здійснюйте за

a b 2 a2 2ab b2 .

При

виділенні

повного

x2 px q x2 2 2p x q x2 2 2p x

допомогою формул скороченого добутка

	квадрата			скористуйтесь					схемою
p2		p2		p 2			p2
			q x			q		.
4		4		2			4

Крок 2. Зведіть отримане рівняння до канонічного вигляду.

2 x 1 2 y 1 2 2 z 2 2 8 0

Виконайте ділення обох частин рівняння на найменше спільне кратне множників кожного з доданків та перенесіть вільний член у праву частину рівності.

115

Крок 3. З’ясуйте тип поверхні другого порядку.

Уведіть

нові

змінні

x x 1, y y 1, z z 2 в отримане рівняння.

Класифікуйте його.

Порівняйте отримане рівняння з канонічним рівнянням однопорожнього

гіперболоїда

x2

y2

z2

1 .

a2

b2

c2

Відповідь:

x 2

y 2

z 2

1

є однопорожнинний гіперболоїд із центром у

4

8

4

точці M 1;1; 2 .

5.17.Яку поверхню визначає рівняння 9 y2 16z2 64z 18y 199 0?

Хід розв’язання.

Крок 1. Скористайтеся тим, що оскільки вказане рівняння не містить x , то воно визначає циліндричну поверхню з твірними, паралельними осі Ox . З’ясуйте вид напрямної цього циліндра. Для цього виконайте перетворення лівої частини рівняння, виділивши повні квадрати за умови, що x 0 та зведіть отримане рівняння напрямної до канонічного вигляду.

9 y2 16z2 64z 18y 199 0

x 0

Перетворення здійснюйте за допомогою формул скороченого добутка

a b 2 a2 2ab b2 .

116

При

виділенні

повного

x2 px q x2 2 2p x q x2 2 2p x

квадрата

p2 p2 q x 4 4

скористуйтесь схемою

p 2			p2
		q		.
2			4

Крок 2. Порівняйте отримане канонічне рівняння напрямної з канонічними рівняннями кривих другого порядку. З’ясуйте вид напрямної та визначте тип циліндричної поверхні.

	y 1 2		z 2 2
				1
	16		9

	y y	2		z z	0	2
Скористайтеся тим, що рівняння	0					1	визначає гіперболу з
	b2			c2

центром у точці M ( y0 ; z0 ) та півосями b і с .

Отже, отримали, що ця поверхня – гіперболічний циліндр із твірними паралельними осі Ох. Напрямною циліндра є гіпербола, яка в площині Oyz

задається рівнянням y 1 2 z 2 2 1.

16 9

Відповідь:	y 1 2			z 2 2		є гіперболічний циліндр.
					1
		16			9
5.18. Знайти		точки			перетину еліпсоїда x2 2 y2 4z2 2 з прямою

x 1			y 1			z	,	якщо a		2	. При якому значенні
									2
1		1				a

еліпсоїда?

Хід розв’язання.

Крок 1. Запишіть параметричні рівняння прямої

a пряма дотикається

x 1 y 1 z . 1 1 a

117

Параметричні рівняння прямої,	що проходить		через	точку M0 x0 , y0 , z0
		x x0 l t
паралельно вектору a l; m; n у просторі,			0		, де t ;
	мають вигляд y y			m t
				n t
		z z0
– довільний параметр.
Крок 2. Підставте значення	x, y, z у	рівняння			еліпсоїда. З

отриманого квадратного рівняння, знайдіть значення параметра t , що відповідає точкам перетину прямої з еліпсоїдом.

Якщо пряма l перетинає еліпсоїд, то вона має не більше, ніж дві точки перетину з ним.

Крок 3. З отриманої формули для визначення параметра t , визначте

його значення при a 2 та відповідні координати точок перетину прямої

2

та еліпсоїда.

t 3 6 4a2

3 4a2

t1		t2
x1	y1	z1	M1 ...;...;...
x2	y2	z2	M2 ...;...;...
Крок 4. Для	знаходження значення a , при якому пряма дотикається
еліпсоїда, скористайтеся тим,		що при цьому t1 t2 , а це можливе,		коли
дискримінант	квадратного	рівняння	3 4a2 t2 6t 1 0	буде

дорівнювати нулю. Знайдіть значення a , що задовольняє вказаній умові.

D 36 4 ...

a

118

Якщо пряма l є дотичною до еліпсоїда, то вона має одну спільну точку з ним.

																	x 1						y 1
Отже, отримали , що при a								3		, пряма															z		є дотичною до
								2								1						1			a
еліпсоїда x2 2 y2 4z2	2.
		2									4		4			2										3
Відповідь: 1) M1 0;0;						; M		2				;		;						;		2). a						.
		2									5		5			10										2

Учимося моделювати професійну діяльність інженера

5.19. Механізм, що застосовує принцип перистальтичного руху, має рівняння поверхні 3x2 4y2 8z2 18x 8y 32z 1 0 . Зведіть це рівняння до канонічного вигляду та визначте, яку поверхню воно задає.

Хід розв'язання.

Крок 1. Виконайте перетворення лівої частини рівняння, виділивши повні квадрати.

Перетворення здійснюйте за допомогою формул скорченого добутка a2 2 a b b2 a b 2 .

Крок 2. Зведіть отримане рівняння до канонічного вигляду.

Виконайте ділення обох частин рівняння на найменше спільне кратне числових множників кожного з доданків.

119

Крок 3. З’ясуйте тип поверхні другого порядку.

Уведіть нові змінні x x 3 ,			y y 1,		z z 2 в отримане рівняння,
класифікуйте його.

2 2 2

Відповідь: отримане рівняння x8 y6 z3 0 є конус з вершиною у

точці 3; 1;2 .

Учимося самостійно розв’язувати завдання

5.20.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Складіть

рівняння

Складіть

рівняння

Складіть

рівняння

сфери з

центром

у

сфери з діаметром АВ,

сфери

з

центром

у

точці О(2;0; 3) , що

якщо

А(1; 1;2),

точці А(1; 1;2), яка

проходить

через

точку

В(3; 2;0).

дотикається

до

А(1; 1;2).

площини

x y z 7 0.

Радіус

сфери

Центр

сфери

–

Радіус

сфери

дорівнює

відрізку

середина

відрізка

дорівнює

відстані

ОА.

АВ,

а

радіус

від

точки

А

до

дорівнює половині

дотичної площини.

цього відрізка.

5.21.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Визначить тип по-

Визначить тип по-

Визначить

тип поверхні

верхні

другого

верхні другого поряд-

другого

порядку

та

порядку та побудуйте

ку

та побудуйте

її:

побудуйте її:

її:

x2 y2 z2 2z 2.

x2 y 2 z 2 2 x 6 y 4 z 0.

2x2 3y2 4z2 0.

120

Поділіть обидві	Виділіть	повний	Виділіть повні квадрати
частини рівнян-	квадрат	у лівій	у лівій частині рівняння.
ня на 12.	частині рівняння.

Учимося застосовувати CAS Maple для побудови поверхонь другого порядку

5.22. У різних інженерних спорудженнях застосовуються конструкції у формі еліпсоїдів, гіперболоїдів і параболоїдів. Так, наприклад, насос перистальтичного типу включає еластичний насосний елемент, одна з дотичних поверхонь якого виконана у вигляді поверхні другого порядку,

що може бути визначена наступним рівнянням:	y2		z2		x2	0 . Вкажіть
	4	9		9

поверхню, що визначає це рівняння.

Хід обчислення.

1.Відкрийте вікно CAS Maple.

2.За допомогою опції Insert-Execution Grope-Before Cursor отримайте в

полі програми мітку .

3. Активізуйте зліва вкладки Expression й Common Symbols та з отриманих шаблонів уведіть в окремих дужках складові функції z f x, y й z f x, y ,

	тобто 3	x2		y2	та їй симетричну 3	x2		y2	.
		9		4		9		4

4. У кожній дужці зазначте інтервали, на яких Вас цікавить зображення поверхні та за допомогою команди orientation=[ , ] вкажіть значення

кутів, під якими краще розглянути зображення.

5. Вкажіть про сумісне зображення обох складових графіка в полі програми за допомогою команди plots[display3d]({P1,P2}).

4. Натисніть клавішу Enter та отримайте зображення кругового конусу

y2 z2 x2 0 . 4 9 9

121

Готуємось до контрольної роботи

1. Тіло, рухаючись за траєкторією, зупинилось у точці з координатами (3; 4) . Чи можливо, що траєкторією руху цього тіла буде лінія, рівняння

якої: а) 2 x 3y	5 0 ; б) x2	y2	25	; в)	x2		y2	1? Зробіть висновок
				9			16

про тип траєкторії, за якою рухається тіло.

Перевірте, чи є точка з відповідними координатами коренем якогось з рівнянь.

2.Складіть рівняння площини, яка проходить через точку А

перпендикулярно вектору BC : A(1;

5;

2),

B (6;

2; 1), C (2;

2;

2).

Скористайтесь загальним рівнянням площини.

3.

Знайдіть

кут

між

скатами

покрівлі, що

завдано

рівняннями

4x 3z 2 0,

x 2y 2z 5 0.

Скористайтесь

формулой

для

обчислення

кута

між

площинами

cos

n1

n2

A1 A2 B1B2 C1C2

.

n1

n2

A12

B12 C12 A22 B22 C22

4.

Знайдіть

відстань

від

точки

M (3;

5;

8)

до

площини

6 x 3 y 2 z 28 0 .

Скористайтесь формулою відстані від точки до площини d

Ax0 By0 Cz0 D

.

A2

B2

C2

5*. Побудуйте графік кривої 9x2 4y2

36 .

Виконайте ділення кожного елемента рівняння на найменше спільне кратне числових коефіцієнтів. Для з’ясування виду кривої порівняйте отримане рівняння з канонічними рівняннями кривих 2-го порядку.

6*. Механізм, що застосовує принцип перистальтичного руху, має рівняння поверхні 4x2 y2 4z . Визначте, яку поверхню воно задає.

Співставте рівняння поверхні з канонічним рівнянням еліптичного параболоїду

x2 y2 2z , p, q 0 . p q

122