Предел и непрерывность функции.

Определение 4.5. Пусть функция определена в некоторой окрестности точкиили в некоторых точках этой окрестности. Функциястремится к пределу впри, стремящемся к , если для каждого положительного числа, как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число, что для всех , отличных от и удовлетворяющих неравенству имеет место неравенство . Если есть предел функции при , то пишут:.

Определение 4.6. Функция называется непрерывной при значении ( или в точке ), если она определена в некоторой окрестности точкии если

Определение 4.7. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала , где, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.

Свойства пределов.

Теорема 1: Предел алгебраической суммы двух, трёх и вообще определённого числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных:

Пример №3

Теорема 2: Предел произведения двух, трёх или вообще определённого числа переменных равен произведению пределов этих переменных

Пример №4 .

Теорема 3: Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля: .

Пример №5

Пример №6 Найти

Здесь знаменатель и числитель при стремится к нулю, и, следовательно, теорема 3 неприменима. Произведём следующее тождественное преобразование:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Задания: Вычислить указанные пределы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. .

Производная и дифференциал функции одной переменной.

Определение 4.8. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращениюаргумента, когда последнее стремится к нулю:.

Функция , имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Для производной функции употребляются следующие обозначения:,,или,,. Нахождение производной называется дифференцированием.

Пример №7 Дана функция , найти её производную:

1. В произвольной точке

2. при

Решение:

1. При значении аргумента, равном , имеем . При значении аргумента, равном , имеем: .

Находим приращение функции: . Составляем отношение . Переходя к пределу, найдём производную от данной функции:.

Итак, производная от функции в произвольной точке равна .

2. При получим: .

Основные правила дифференцирования. Производные степени и корня.

1. ( 1 )

2. ( 2 )

3. ( 3 )

4. ( 4 )

Частные случаи формулы (4): ;

При вычислении производных необходимо помнить, что ;;, и знать следующие правила действий со степенями и корнями:;;;, здесьи- любые рациональные числа.

Физические приложения производной.

При прямолинейном движении точки скорость в данный моментесть производнаяот путипо времени, вычисленная при.

Ускорение в данный моментесть производнаяот скоростипо времени, вычисленная при.

Пример №8 Найти производные следующих функций:

1. 

2. 

3. 

Решение:

1. 

2. Вводя дробные и отрицательные показатели, преобразуем данную функцию:

3. Пользуясь формулой дифференцирования частного получим:

Задания: Найти производные следующих функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .