Частные производные высших порядков.

Пусть функция имеет первые частные производныев точкеи в каждой точке некоторой окрестности точки. Тогда частные производные от частных производныхназываютсячастными производными второго порядка от функции в точке. Частные производные второго порядка обозначаются;;

; .

Если частные производные первого порядка непрерывны, то значение «смешанной» производной не зависит от порядка дифференцирования, т.е. . Это положение распространяется и на частные производные более высокого порядка.

Пример №19 Найти вторые частные производные функции .

Решение:

Вначале находим частные производные первого порядка:

; .

Далее находим

;

.

Пример №20 Проверить, что , если.

Решение:

Находим ;.

Далее, ;. Очевидно, что.

Задания:

1. Найти вторые частные производные от заданных функций:

а) ;

b) ;

c) .

2. Проверить, что для функций:

а);

b);

c).

3. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

.

Экстремум функции двух переменных

Функция имеет максимум ( минимум) в точкеесли для любой точки, находящейся в некоторой- окрестности точки, выполняется условие;

- окрестность можно представить множеством точек , координаты которых удовлетворяют условию, где– положительное достаточно малое число.

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами, а -экстремальной точкой.

Необходимое условие экстремума: Если - дифференцируемая функция и достигает в точкеэкстремума, то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю:.

Точки, в которых частные производные первого порядка обращаются в ноль (или не существуют), называются критическими или стационарными. Исследование их на экстремум проводят с помощью достаточных условий существования экстремума функции двух переменных.

Пусть - стационарная точка функции. Для ее исследования сначала вычисляют частные производные второго порядка в точке:, а затем дискриминантТогда достаточные условия экстремума функции запишутся в следующем виде:

1. – экстремум есть, при этом, если ( или), в точкефункция имеетминимум, а если ( или) –максимум;

2. – экстремума нет;

3. – требуются дополнительные исследования.

Условный экстремум

Рассмотрим функцию , определенную и дифференцируемую в области, координаты точек которой удовлетворяют системе уравнений связи. В этой области нужно найти такую точку, чтобы выполнялось условие. Такие задачи называютсязадачами отыскания условного экстремума функции .

Для отыскания условного экстремума исследуется на обычный экстремум функция Лагранжа .

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:

Из этой системы уравнений снеизвестными находят значения неизвестных. Числаназываютсякоэффициентами Лагранжа.

Пример №21 Найти экстремумы функции при условии.

Решение:

Составляем функцию Лагранжа: .

Находим частные производные и составляем необходимые условия экстремума функции Лагранжа:

В данном случае .

Для исследования на экстремум в полученных критических точках вычисляем значения

и составляем определитель:

.

Если , тоимеет в точкеусловный максимум, если– условный минимум.

Итак, , следовательно, в точкеусловный минимум,

, следовательно, в точке условный максимум,.

Задания:

1. Найти экстремумы функций

а) ;

b) ;

c).

2. Найти условные экстремумы функций:

а)

b) при;

c) при

Типовые примеры.

Задание 1.

Найти область определения функции z= и её частные производные.

Решение.

Областью определения функции z= является множество точек плоскости, за исключением точек, удовлетворяющих равенству 6-х+у=0; т.е. точек, лежащих на прямой у=х-6.

Найдём частные производные функции z. При нахождении z’x функция z дифференцируется по х, в предположении, что у=const.

z’x=

При нахождении z’y функция z дифференцируется по у, в предположении, что х=const

z’y=

Задание 2.

Дана функция z=ху+х. Показать, что х

Решение.

Найдём частные производные функции z.

Подставим найденные производные в заданное выражение.

Х

x(у+е+у(х+е

ху+хе

2ху+хе

2ху+хе

Задание 3.

Найти частные производные и частные дифференциалы функции z=ctg

Решение.

Найдём частные производные:

;

Найдём частные дифференциалы.

dz=

dz

Задание 4.

Вычислить значения частных производных f'f’,f’в точке М(1;для функции

f'==-

f’;

f’;

f'(М;

f'(М;

f'(М

Задание 5.

Найти полный дифференциал функции z=ln(х cos 2y)

Решение.

Полный дифференциал функции определяется формулой

dz=

Найдём частные производные функции

Полный дифференциал

dz=

Задание 6.

Вычислить значение производной сложной функции z=, где х=е; у=2-е, приt=0.

Решение.

Производная сложной функции z=z(х;у), где х=х(t); у=у(t) может быть вычислена по формуле

Найдём все производные:

Тогда

Найдём значение производной в точке t

Задание7.

Вычислить значения частных производных неявной функции

ев точке М(;

Решение.

Если функция z задана неявно, т.е. в виде уравнения F(x;у;z)=0, то частные производные этой функции могут быть заданы по формулам:

;

Нам задана неявная функция

е

FFF

Следовательно

Найдём производные в точке М(;

Задание 8.

1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

S: z=в точке М

Решение.

Если уравнение поверхности задано в явной форме z=f(x,у), то уравнение касательной плоскости в точке Мимеет вид

z-.

Уравнение нормали

Найдём частные производные данной функции и их значения в точке М

f(f

f(f

Отсюда, применяя формулы, будем иметь

z-1=2(x-2)+2(y+1) или 2х+2у-z-1=0 – уравнение касательной плоскости и

- уравнение нормали.

2. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М

Решение.

Если уравнение поверхности задано в неявной форме F (x,y,z)=0, то уравнение касательной плоскости и нормали будут иметь вид

Найдём частные производные функции F (x,y,z) и их значения в точке М

Следовательно уравнение касательной плоскости:

-12(х-0)+0(у-2)-12(z+2)=0 или х+z+2=0

Уравнение нормали

или

Задание 9.

Найти градиент функции Z=в точке М

Решение.

Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные данной функции.

=

Найдём частные производные функции z и их значения в точке М

= 1

Следовательно, gradz=2

Задание 10.

Исследовать на экстремум функцию z=

Решение.

Найдём частные производные:

Используя необходимое условие экстремума:

Составим систему уравнений

Решив эту систему найдём четыре стационарные точки.

Стационарные точки М(-2;-1); М(2;1); М(-1;-2); М(1;2)

Найдём производные второго порядка

=6у;

И составим дискриминант ∆=Адля каждой стационарной точки

1. Для точки М: А=; В=; С=

∆=А.

В точке Мфункция имеет максимум, равныйz=-8-6+30+12=28

2. Для точки М: А=12; В=6; С=12;

∆=144-36>0; А>0.

В точке Мфункция имеет минимум, равныйz=8+6-30-12=-28

3. Для точки М: А=-6; В=-12; С=-6;

∆=36-144<0. Экстремума нет

4. Для точки М: А=6; В=12; С=6;

∆=36-144<0. Экстремума нет