Производная сложной функции.

Если , где, т.е. еслизависит от через посредство промежуточного аргумента , то называется сложной функцией от.

Определение 4.9. Производная сложной функции равна произведению её производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной: или

Так, если , то формулы дифференцирования будут иметь следующий вид:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Пример №9: Найти производные следующих функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

Решение:

1. Полагая , где, и применяя правило дифференцирования сложной функции, имеем:; ;

2. Полагая , получим:

3. 

4. Полагаем :

Задания: Найти производные следующих функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. 

Производные показательных и логарифмических функций.

Общие формулы и их частные виды:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

Для дифференцирования логарифмической функции с основанием можно предварительно преобразовать её в логарифмическую функцию с основаниемпо формуле

Пример №10: Найти производные следующих функций:

1. ;

2. ;

3. .

Решение:

1. ;

2. ;

3. .

Задания: Найти производные следующих функций:

1. ;

2. ;

3. .

Производные высших порядков

Если есть производная от функции, то производная отназывается второй производной, или производной второго порядка от первоначальной функции, и обозначается, или, или

Пример №11: Для данных функций найти производные указанных порядков:

1. , ;

2. , ;

3. , .

Решение:

1. Дифференцируя функцию , получим:. Дифференцируя производную, получим:. Дифференцируя вторую производную, получим.

2. . Для нахождения следующих производных здесь полезно ввести отрицательный показатель степени. ,,,.

3. , . При найдём .

Задания:

1. , ; 2),.

Производные неявной функции.

Если есть неявная функция от, т.е. задана уравнением, не разрешенным относительно, то для нахождения производнойнужно продифференцировать пообе части равенства, помня, чтоесть функция от, и затем разрешить полученное равенство относительно искомой производной. Как правило, она будет зависеть оти;.

Пример №12: Для данных неявных функций найти производные указанного порядка:

1. , ;

2. , ;

3. , .

Решение:

1. Дифференцируем по обе части равенства, гдеесть функция от, получим:

2. Дифференцируя по , получим:. Подставляя заданное значениев исходное уравнение, найдём два соответствующих ему значения:,. Поэтому прии производнаяимеет два значения:;.

3. Прологарифмируем обе части данного уравнения (по основанию ), затем дифференцируем по, рассматриваякак функцию:;;. Отсюда найдём.

Задания:

1. , ;

2. , ;

3. , .

Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между двумя кривыми.

Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат, то уравнения касательной и нормали к ней в точке имеют вид: ; ,

где - значение в точкепроизводнойиз уравнений кривой.

Направление кривой в каждой её точке определяется направлением касательной к ней в этой точке. Угол между двумя пересекающимися кривыми определяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения по формуле:

, где и- угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения, т.е. частные значения в точкепроизводных отпоиз уравнений этих кривых:;.

Задания: Составить уравнения касательной и нормали:

1. к параболе в точке, где;

2. к окружности в точках пересечения её с осью.