1 Метод функциональной подстановки

Метод функциональной подстановки является, пожалуй, самым распространенным методом решения сложных задач школьной математики. Суть метода состоит в введении новой переменной , применение которой приводит к более простому выражению. Частным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

Основная трудность решения задач методом функциональной подстановки заключается в том, что зачастую трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений (или неравенств), где эту подстановку можно использовать. В настоящем разделе предлагаются наиболее распространенные уравнения и неравенства, которые эффективно решаются методом функциональной подстановки.

Задачи и решения

Пример 1.1. Решить уравнение

(1.1)

Решение. Введем новую переменную , тогда из (1.1) получаем уравнениюПоскольку обе части полученного уравнения неотрицательны, то после возведения в квадрат получаем равносильное уравнениеОтсюда вытекаети,

Рассмотрим два уравнения

и .

Первое уравнение корней не имеет, а из второго получаем и. Подстановкой в (1.1) убеждаемся в том, что найденные значения переменной является корнями исходного уравнения.

Ответ:

Пример 1.2. Решить уравнение

Решение. Нетрудно видеть, что иявляется корнем уравнения (1.2).

Пусть теперь тогда части уравнения (1.2) разделим наи получим уравнение

(1.3)

Если обозначить , то уравнение (1.3) принимает вид квадратного уравнения, корнями которого являютсяи.

Рассмотрим уравнения и, откуда следует, чтои. Так как, то найденные значенияx являются корнями уравнения (1.2).

Ответ:и.

Пример 1.3. Решить уравнение

(1.4)

Решение. Перепишем уравнение (1.4) в виде

(1.5)

Положим, что и, тогда из (1.5) получим уравнениеиз которого следуети. Так каки, тои при этом.

Поскольку и, тоОтсюда получаем систему уравнений

(1.6)

где Решением системы уравнений (1.6) относительноu является Так как при этоми, тои.

Ответ:

Пример 1.4. Решить уравнение

(1.7)

Решение. Для преобразования левой части уравнения (1.7) воспользуемся очевидным равенством Тогда из уравнения (1.7) имеем

и

Если затем положить то получим уравнениекорни которого равныи

Таким образом, необходимо рассмотреть два уравнения и, т.еи, гдеПервое уравнение корней не имеем, а из второго получаем.

Ответ: ,.

Пример 1.5. решить уравнение

(1.8)

Решение. Первоначально убедимся, что не является корнем уравнения (1.8).так както разделим обе части уравнения (1.8) на. Тогда получим

. (1.9)

Пусть , тогда

.

и из уравнения (1.9) следует илиПоследнее уравнение представим в виде. Отсюда следует, чтои.

Далее, рассмотрим три уравнения ,и.

Первые два уравнения корней не имеют, а корнями третьего уравнения являются

Ответ:

Пример 1.6. Решить неравенство

(1.10)

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби в левой части неравенства (1.10) и обозначимчерезТогда неравенство (1.10) можно переписать как

и

(1.11)

Решая неравенство (1.11) с учетом того , получаем. Посколькуто

Ответ:

Пример 1.7. Решить уравнение

(1.12)

Решение. Выполним замену переменных, пусть иТак какито. Кроме того, имеем

В таком случае из уравнения (1.12) получаем систему уравнений

(1.13)

Пусть теперь и, тогда из системы уравнений (1.13) следуети. Отсюда с учетом того, чтополучаеми. Следовательно, имеет местои

Поскольку итоигдецелое число.

Ответ:гдецелое число.