7 Комбинированные методы

При решении сложных задач по математике используются самые разнообразные нестандартные методы, большинство из которых трудно поддаются классификации. Как правило, такие методы ориентированы на решение относительно из кого круга задач, однако их знание и умение ими пользоваться необходимы для успешного решения математических задач повышенной сложности. В настоящем разделе приведены задачи, решение которых базируется на применении оригинальных (эффективных, но сравнительно редко встречающихся) комбинированных методов.

Задачи и решения

Пример 7.1. Решить уравнение

(7.1)

Решение. Рассмотрим уравнение с параметром a вида

(7.2)

которое совпадает с уравнением (7.1) при . Перепишем уравнение (7.2)в виде квадратного уравнения относительно неизвестной переменнойa, т.е.

(7.3)

Решением уравнения (7.3) относительно a являются

т.е. иПоскольку, то получаем два уравнения относительно переменой видаи. Отсюда получаем три корня исходного уравнения (7.1), т.е.и.

Ответ:,.

Пример 7.2. Решить уравнение

(7.4)

Решение. Обозначим тогда. Известно, чтотогдаи из уравнения (7.4) получаем уравнение относительно переменнойвидаРешая последнее уравнение, получаеми. Таким образом, имеет местои. Отсюда следуети.

Пример 7.3. Найти все значения , при которых разрешимо уравнение

(7.5)

Решение. Воспользуемся известным тригонометрическим равенством Обозначимтогдаи из (7.5) получаем

(7.6)

где .

Воспользуемся неравенствами, которые имеют место для произвольных ивида

(данные неравенство легко доказать самостоятельно).

Следовательно, и из (7.6) получаемоткуда следует.

Ответ:

Пример 7.4. Решить уравнение

(7.7)

Решение. Преобразуем уравнение (7.7) согласно известного равенства где, тогдаотсюда следует

(7.8)

Если уравнение (7.7) сложить с уравнением (7.8), то получаем Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, то. Возведем обе части уравнения в квадрат, тогда получаем квадратное уравнение, корнями которого являютсяи. Непосредственной подстановкой в (7.7) убеждаемся, что найденные значенияявляются его корнями.

Ответ: ,.

Пример 7.5. Решить уравнение

. (7.9)

Решение. Очевидно, что областью допустимых значений уравнения (7.9) являются . Умножим обе части уравнения (7.9) на, тогда получаем

,

. (7.10)

Решением уравнения (7.10) являются и.

Однако посторонний корень для уравнения (7.9), поскольку при этом значениилевая часть уравнения (7.9) равна 0, а правая меньше 0. Так как, тоне может быть корнем уравнения (7.9). в этой связиединственное решение исходного уравнения (7.9).

Пример 7.6. Решить уравнение

. (7.11)

Решение. Обозначим и, тогда из уравнения (7.11) получаем систему двух уравнений относительно переменныхвида

(7.12)

Где и.

Преобразуем левую часть второго уравнения системы (7.12) следующим образом:

Так как , то. Отсюда получаемили. Рассмотрим две системы

и

Корням первой системы являются и, а вторая система решение не имеет.

Следовательно илиОтсюда получаем два уравнения относительно переменнойвидаи. Первое уравнений корней не имеет, а из второго следуети.

Ответ:, .

Пример 7.7. Решить уравнение

(7.13)

Решение. Преобразуем уравнение (7.13), используя свойство пропорции: если то. Тогда уравнение (7.13), можно переписать как

. (7.14)

Поскольку то из уравнения (7.14) получаемт.е.и.

Так как уравнения (7.13) и (7.14) равносильны, то решением уравнения (7.13) являются и.

Пример 7.8. Доказать неравенство

. (7.15)

где .

Доказательство. Доказательство неравенства (7.15) будем вести методы от противного. Допустим, что существуют такие значения и, что, при которых выполняется неравенство

. (7.16)

Из неравенства (7.16) получаем

. (7.17)

Так как и, то из неравенство (7.17) следует

Таким образом, получено ложное неравенство, которое доказывает справедливость исходного неравенства (7.15).