4 Методы, основанные на монотонности функций

При решении уравнений типа в ряде случаев весьма эффективным является метод, который использует монотонность функций и. Если функциянепрерывна и возрастает (убывает) на отрезке, а функциянепрерывна и убывает (возрастает) на этом же отрезке, то уравнениена отрезкеможет иметь не более одного корня.

Напомним, что функция называетсявозрастающей (или убывающей) на отрезке , если для любых,, удовлетворяющих неравенствам, выполняется неравенство(соответственно,). Если функцияявляется на отрезкевозрастающей или убывающей, то она называется монотонной на этом отрезке.

В этой связи при решении уравнения необходимо иследовать функцииина монотонность, и если одна из этих функций на отрезкеубывает, а другая функция – возрастает, то необходимо или попытаться подбором найти единственный корень уравнения, или показать, что такого корня не существует. Если, например, функциявозрастает, аубывает дляи при этом, то корней уравнениясрединет. Особенно такой метод эффективен в том случае, когда обе части уравненияпредставляют собой весьма «неудобные» для совместного исследования функции.

Кроме того, если функция является монотонной на отрезкеи уравнение(где с – некоторая константа) имеет на этом отрезке корень, то этот корень единственный.

Задачи и решение

Пример 4.1. Решить уравнение

. (4.1)

Решение. Областью допустимых значений уравнения (4.1) являются . Рассмотрим функциии. Известно , что функциядляявляются убывающей, а функция– возрастающей. В этой связи уравнения(4.1) может иметь только один корень, т.е., который легко находиться подбором.

Ответ:

Пример 4.2. Решить уравнение

(4.2)

Решение. Введем новую переменную . Тогда,и уравнения (4.2) принимает вид

(4.3)

Уравнение (4.3) имеет очевидной корень . Покажем, что других корней нет. Для этого разделим обе части уравнения (4.3) на, тогда

(4.4)

Так как , а, то левая часть уравнения (4.4) является убывающей функцией, а первая часть – возрастающей функцией. Поэтому уравнения (4.4) если имеет корень, так только один. Ранее было установлено, чтокорень уравнения (4.3). Следовательно, этот корень единственный.

Таким образом, имеем . Тогда единственный корнем уравнения (4.2) является.

Пример 4.3. Решить уравнение

(4.5)

Решение. Разделим обе части уравнения (4.5) на , тогда

(4.6)

Подбором нетрудно установить, что является корнем уравнения (4.6). покажем, что других корней это уравнение не имеет.

Обозначим и. Очевидно, что. Следовательно, каждая из функцийиявляется убывающей и при этом.

Если , то,и.

Если , то,и.

Следовательно, среди иликорней уравнения (4.6) нет.

Ответ:

5 Методы решения функциональных уравнений

К числу наиболее сложных задач на вступительных конкурсных экзаменах по математике относятся задачи, решение которых сводится к рассмотрению функциональных уравнений вида

(5.1)

или

(5.2)

где некоторые функции и

Методы решения функциональных уравнений (5.1), (5.2) основаны на использовании следующих теорем.

Теорема 5.1. Корни уравнения являются корнями уравнения (5.1).

Доказательство. Пусть – корень уравненият.е.. Тогда справедливы равенства

Отсюда следует, что

т.е. является корнем уравнения (5.1).

Теорема 5.2. Если - возрастающая функция на отрезкето на данном отрезке уравнения (5.1) иравносильны.

Доказательство. Пусть является корнем уравнения (5.1), т.е. . Предположим, что не является корнем уравнения, т.е.. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, чтоТогда в силу возрастания функции

справедливы неравенства

Так как , то из приведенных выше неравенств следует. Таким образом, получили ложное неравенство. А это означает, что.

Отсюда и из теоремы 5.1 следует справедливость теоремы 5.2.

Следствие 1. Если функция возрастает для любогоx, то уравнения (5.1) и f(x)=x равносильны.

Следствие 2. Если функция y=f(x) возрастает на своей области определения, то уравнения (5.1) и f(x)=x равносильны.

Более сложным является решение уравнения (5.1) в том случае, когда на некотором отрезке функцияявляется убывающей.

В данном случае имеют место аналогии теоремы 5.2 и двух следствий только при условии, что в уравнении (5.1) число n нечетное.

Теорема 5.3. Если y=f(x) – убывающая функция на отрезке нечетное ито на данном отрезке уравнения (5.1) иf(x)=x равносильны.

Доказательство. Пусть является корнем уравнения (5.1), т.е.

Предположим, что не является корнем уравненият.е.. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, чтоТогда в силу убывания функциина отрезкеполучаем неравенстваи т.д.

Так как нечетное, то.

Поскольку , то из последнего неравенства получаем

Так как – убывающая функция, то, т.е.. Получили противоречие тому, что по предположению. Следовательно

Отсюда, с учетом теоремы 5.1, следует справедливость теоремы 5.3.

Следствие 3. Если функция y=f(x) убывает для любого x и n – нечетное, то уравнения (5.1) и f(x)=x равносильны.

Следствие 4. Если функция y=f(x) убывает на своей области определения и n – нечетное, то уравнения (5.1) и f(x)=x равносильны.

Так как в рассмотренных выше случаях функция является убывающей, то уравнениеможет иметь только один корень. Поскольку уравнение (5.1) с убывающей функциейи нечетнымn равносильно уравнению , то уравнение (5.1) также имеет более одного корня.

Если в уравнении (5.1) - убывающая функция, аn – четное, то в общем случае уравнения (5.1) и не являются равносильными. Например, уравнениеимеет три корняи только третий корень удовлетворяет уравнению

В данном случае для поиска корней уравнения (5.1) необходимо проводить дополнительные исследования.

Теорема 5.4. Если – возрастающая (или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения (5.2), то уравнения (5.2) иравносильны.

Доказательство. 1) Пусть - корень уравнения (5.2), т.е.Предположим, чтоне является корнем уравненият.е.. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, чтоОтсюда в зависимости от того, какой является функцияy=f(x) на области допустимых значений уравнения (5.2) возрастающей или убывающей, получаем неравенство соответственно. В каждом из двух случаем имеем ложное неравенство. Значит,

2) Пусть - корень уравненияОтсюда следует

Следствие 5. Если возрастающая (или убывающая) функция на области значенийто уравнения (5.2) иравносильны.

Также следует отметить, что при решении функционального уравнения (5.2) необходимо внимательно рассматривать случай, когда функция является четной.

Теорема 5.5. Если четная функция определена на отрезкеи возрастает (или убывает) прито на данном отрезке уравнение (5.2) равносильно совокупности уравненийипри условии, что

Доказательство проводится по аналогии с доказательством предыдущей теоремы. При этом используется четность функции

Анализ функции на монотонность удобно осуществлять с помощью производной: если функциядифференцируема на отрезке, то функцияявляется возрастающей (убывающей) на данном отрезке.

Задачи и решения

Пример 5.1. Решить уравнение

(5.3)

где квадратный корень берется n раз (

Решение. Из условия задачи следует, что Пустьтогда уравнение (5.3) принимает вид функционального уравнения (5.1).

Так как при функциявозрастает ито уравнение (5.3) равносильно уравнению, т.е.положительным решением которого является

Ответ:

Пример 5.2. Решить уравнение

(5.4)

Решение. Перепишем исходное уравнение (5.4) в виде функционального уравнения типа (5.2), т.е.

(5.5)

где

Поскольку для любого значенияx, то функция y=f(x) является возрастающей на всей числовой оси . Следовательно, вместо функционального уравнения (5.5) можно рассматривать равносильное ему уравнение , для которогоявляется решением.

Ответ:

Пример 5.3. Решить уравнение

(5.6)

Решение. Преобразуем уравнение (5.6) следующим образом:

Отсюда получаем уравнение

(5.7)

Пусть тогда уравнение (5.7) принимает вид

(5.8)

Так как функция является убывающей на всей числовой осиOx, то (согласно Следствию 3) уравнение (5.8) равносильно уравнению т.е. уравнение (5.7) равносильно уравнениюОтсюда следует уравнениекоторое имеет единственный действительный корень.

Ответ: .

Пример 5.3. Решить уравнение

(5.9)

Решение. Поскольку при всехx, то областью допустимых значений уравнения (5.9) является множество всех действительных чисел.

Положив увидим, что заданное уравнение (5.9) принимает видгдеТак как ихследует, что

то функция является возрастающей на области значений функцийВ этой связи уравнение (5.9) равносильно уравнениюи, следовательно, имеет два корня

Ответ: