8 Метод, основные на использовании ограниченности функций

Одним из эффективных методов решения уравнений или неравенств является методом, основный на использовании ограниченности функций. К наиболее ограниченным функциями относиться, пример, некоторые тригонометрические функции; обратные тригонометрические функции; функции, содержащие модуль, степень, корень с четной степенью и т.д.

Приведем наиболее распространенные неравенства. Известно, что ,,,,,,и многие другие. Здесьнатуральное число,.

Кроме приведенных выше простейших неравенств имеются и более сложные, в частности, тригонометрические неравенства , и неравенства с модулями вида.

Следует также отметить, что при решении некоторых задач, можно эффективно применять неравенства Коши, Бернулии и Коши-Буняковского, описанные в разделе 3.

Задачи и решения

Пример 8.1. Решить уравнение

(8.1)

Решение. Выделим полный квадрат в правой части уравнения, т.е. . Отсюда следует, что . Так как при этомто из (8.1) получаем систему уравнений

(8.2)

Решением второго уравнения системы является . Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что найденное значение x является решением системы уравнений (8.2).

Ответ:.

Пример 8.2. Решить уравнение

(8.3)

Решение. Обозначим тогда из определения обратной тригонометрической функцииимееми.

Так как то из уравнения (8.3) следует неравенствот.е. Посколькуи, тои. Однакои поэтому.

Если ито. Так как ранее было установлено, что, то.

Ответ:

Пример 8.3. Решить уравнение

(8.4)

Решение. Областью допустимых значений уравнения (8.4) являются .

Первоначально покажем, что функция при любыхможет принимать только положительные значения.

Представим функция следующим образом:.

Поскольку то имеет местот.е

Следовательно для доказательство неравенства , необходимо показать, что. С этой целью возведем в куб обе части данного неравенства, тогда

,

Полученное числовое неравенство свидетельствует о том что . Если при этом еще учесть, чтото левая часть уравнения (8.4) неотрицательна.

Рассмотрим теперь первую часть уравнения (8.4).

Так как то

.

Однако известно, что . Отсюда следует, что, т.е первая часть уравнения (8.4) не превосходить. Ранее было доказано, что левая часть уравнения (8.4) неотрицательна, поэтому равенство в (8.4) может быть только в том случае, когда обе его части равны, а это возможно лишь при.

Ответ: .

9 Методы решения симметрических системы уравнений

В ряде случаев приходится решать системы уравнений с симметрическим вхождением слагаемых или сомножителей. Системы с таким свойством будем называть симметрическими. К таким системам относятся системы вида

(9.1)

и

(9.2)

Метод решения системы (9.1) состоит в сложении левых и правых частей уравнений. Тогда

,

Заем из полученного уравнения поочередно вычитываются третье, второе и первое уравнения системы (9.1), в результате чего получается система уравнений

(9.3)

При решении системы уравнений (9.2) необходимо перемножить левые и правые части уравнений, тогда получаем

и .

Здесь необходимо потребовать, чтобы выполнялось условие . Если затем полученное уравнение разделить поочередно на третье, второе и первое уравнения системы (9.2), то получаем две системы уравнений относительновида

и (9.4)

Полученные системы уравнений относительно допускают более простое решение по сравнению с решением систем уравнений (9.1), (9.2). Следует отметить, что данный метод обобщается на случай произвольного числа уравнений, содержащихся симметрических системах.

Кроме изложенного выше метода, существует еще много других, которые учитываются специфику заданной симметрической системы уравнений.

Задачи и решения

Пример 9.1. Решить систему уравнений

(9.5)

Решение. Если к обеим части каждого уравнения системы (9.5) прибавить , то получаем

и

Из последней системы уравнений следует

и

Пусть , тогда

и ,

Если , то по аналогии с предыдущим получаем.

Ответ:,.

Пример 9.2. Решить систему уравнений

(9.6)

Решение. Из первого уравнения системы (9.6) вычем второго уравнение, тогда . Умножим на 2 обе части последнего уравнения и получим

откуда следует . В током случае первое уравнение системы (9.6) принимает. Следовательно,. Так как, то

Ответ:

Пример 9.3. Решить систему уравнений

(9.7)

Решение. Обозначим и. Тогда из первого уравнения системы (9.7) следует, что из.

Преобразуем второе и третье уравнения системы (9.7) следующим образом:

(9.8)

Из второго уравнения системы (9.8) следует, что необходимо рассмотреть два случая.

1. Пусть . Тогда, а из первого уравнения системы

(9.8) получаем Так каки, то имеет место система уравнений

,

из которой следует и

2) Пусть , тогда. Если данное выражение дляподставить в первое уравнение системы (9.8), то получим квадратное уравнение относительно переменнойвида, которое имеет два корняи.

Если , тои из первого уравнения системы (9.8) получаем. В таком случае

и .

Если , то,и

Отсюда следует .

Ответ: См. выше.

Пример 9.4. При каких значениях параметра система неравенств

(9.9)

имеет единственное решение?

Решение. В систему неравенств (9.9) переменные входят симметрично, поэтому единственное ее решение необходимо искать в видеи, где.

Подставим в любое из неравенств системы (9.9), тогдаили. Для того, чтобы квадратное неравенство имело бы единственное решение, необходимо его дискриминант приравнять нулю, т.е.и

Ответ: