2 Метод тригонометрической подстановки
К
числу, нестандартных методов решения
алгебраических уравнений относится
метод, основанный на применении
тригонометрической подстановки.
Использование такого метода целесообразно
в том случае, когда искомые уравнения
напоминают известные тригонометрические
формулы. Это относится преимущественно
к уравнениям (системам уравнений),
решение которых обычными приемами
весьма затруднительно, и которые после
введения тригонометрических подстановок
сводятся к несложным тригонометрическим
уравнениям. Суть тригонометрической
подстановки состоит в замене неизвестной
переменной xтригонометрической
функцией, например
или
,
а также в заменеxнекоторой
функцией от
,
или
.
Полученные корни тригонометрических уравнений позволяют находить корни исходных уравнений как в тригонометрической, так и в алгебраической форме. Следует особо отметить, что тригонометрические уравнения имеют, как правило, бесконечное число корней, а исходные уравнения – конечное их число.
Задачи и решения
Пример 2.1. Решить уравнение
(2.1)
Решение.
Поскольку
не
является корнем уравнения (2.1), то разделим
обе его части на
.
Тогда
(2.2)
Если
или
,
то левая часть уравнения (2.2) будет больше
,
а правая его часть – меньше
.
Следовательно, корни уравнения (2.1)
находятся на отрезке
.
Пусть
,
где
.
Тогда уравнение (2.1) принимает вид
тригонометрического уравнения
Решением
уравнения
являются
где
целое
число. Однако
,
поэтому
Так
как
,
то
Ответ:
Пример 2.2. Решить уравнение
(2.3)
Решение. Нетрудно видеть, что
РеРРрр
Выполнив
замену
В таком случае левая часть уравнения
(2.3) принимает вид
а из уравнения (2.3) следует тригонометрическое уравнение вида
(2.4)
Сделаем
еще одну замену переменных, пусть
,
тогда
и из (2.4) получаем квадратное уравнение
относительно переменной
,
т.е.
решением которого являются
Так как
С учетом того, что
получаем систему тригонометрических
уравнений
(2.5)
Из
уравнений системы (2.5) составим квадратное
уравнение относительно
и
.
Так как
Пример 2.3. Решить систему уравнений
(2.6)
Решение.
Поскольку
то
положим
Тогда
.
В таком случае
и
система уравнений (2.6) принимает вид
(2.7)
Из
первого уравнения системы (2.7) получаем
Поскольку
,
Следовательно, получаем систему
Отсюда
следует
Так
как
Ответ:
3 Методы, основанные на применении численных неравенств
Нестандартными методами в математике являются также методы, в основу которых положено использование известных в математике численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши - Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограничить круг успешно решаемых задач.
Первоначально приведем формулировки неравенства Коши, неравенства Бернулли и неравенства Коши – Буняковского, а затем проиллюстрируем их применение на примерах, взятых из программы вступительных экзаменов по письменной математике в Белгосуниверситете.
Неравенство Коши
Пусть
,
тогда
(3.1)
где
.
Причем неравенство превращается в
равенство тогда и только тогда, когда
.
В частности, если в (3.1) положить
,
то
.
(3.2)
Это неравенство чаще всего встречается при решении школьных задач по математике.
Если
в (3.2) положить
и
, где
,
то
(3.3)
Здесь
неравенство равносильно равенству лишь
при
Следует
отметить, что имеется аналог неравенства
(3.3) для отрицательных значений а,
а именно, если
то
(3.4)
Данное
неравенство превращается в равенство
при
.
Неравенство Бернулли
Наиболее распространенным является классическое неравенство Бернулли, которое формулируется в следующей форме: если x > -1,то для любого натурального n имеет место
(3.5)
Причем
равенство (3.5) достигается при
или
.
Наряду с (3.5) существует обобщенное неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:
если
или
то
(3.6)
если
,
то
(3.7)
где
.
Следует отметить, что равенства (3.6) и (3.7) имеют место только при x=0. Верно также и обратное утверждение.
Неравенство Коши-Буняковского
Для
произвольных
имеет
место
(3.8)
где
Причем
равенство в (3.8) достигается в том и
только в том случае, когда числа
пропорциональны, т.е. существует
константа
такая, что для всех
выполняется
равенство
.
На основе использования неравенства Коши-Буняковского (3.8) можно доказать неравенство
(3.9)
которое
справедливо для произвольных
и
натурального числа
.
Задачи и решения
Пример 3.1. Доказать неравенство
(3.10)
где
Доказательство. Преобразуем левую часть неравенства (3.10) с использованием неравенства (3.7), т.е.
Так
по условию
то равенства в неравенстве Бернулли
(3.7) не будет, поэтому доказано строгое
неравенство (3.10).
Пример
3.2. Доказать,
что если
,
то
(3.11)
Доказательство.
Введем
обозначения
и
.
Тогда
и
Используя
неравенство Коши-Буняковского (3.8), можно
записать
Так как
.
Пусть
.
Для доказательства неравенства (3.11)
требуется показать, что
где
.
Так
как
,
то корни уравнения
являются точками, подозрительными на
экстремум функции
Уравнение
имеет два корня:
.
Поскольку
Отсюда следует, что неравенство (3.11) доказано.
Пример
3.3. Доказать,
если
то
Доказательство. Для получения нижней оценки левой части требуемого неравенства первоначально воспользуемся неравенством Бернулли (3.6), а затем неравенством Коши (3.2), тогда
Пример 3.4. Решить уравнение
(3.12)
Решение. Используя неравенство Коши (3.2), можно записать
т.е. имеет место неравенство
Отсюда
и из уравнения (3.12) следует, что приведенные
выше неравенства Коши обращаются в
равенства. А это возможно лишь в том
случае, когда
Следовательно,
имеем
Ответ:
Пример 3.5. Решить уравнение
(3.13)
Решение. Применим к левой части уравнения (3.13) неравенство Бернулли (3.7), а к правой части – неравенство (3.6), тогда
и
Отсюда
следует, что неравенства Бернулли,
примененные к обеим частям уравнения
(3.13), обращаются в равенство, а это
возможно лишь в том случае, когда
Ответ:
Пример 3.6. Доказать неравенство
(3.14)
где
Доказательство.
Непосредственно
из неравенства (3.9) следует
.
Используя это неравенство и неравенство
Коши (3.3), получаем неравенство (3.14)
следующим образом:
Пример 3.7. Доказать, что
(3.15)
где
стороны треугольника, а
- его площадь.
Доказательство.
Известно,
что
- угол между сторонами
и
.
Поскольку
Используя неравенство Коши
,
то получаем верхнюю оценку площади
треугольника
вида
По аналогии с изложенным выше имеет
место
и
Тогда
.
Отсюда следует справедливость неравенства (3.15).
Пример
3.8. Доказать,
что для всякого прямоугольного
параллелепипеда с ребрами
и диагональю
имеет место неравенство
(3.16)
Доказательство.
Воспользуемся
неравенством Коши-Буняковского (3.8),
тогда
Поскольку
в прямоугольном параллелепипеде
(теорема Пифагора), то
.
Отсюда следует справедливость неравенства
(3.16).
Заметим, что равенство (3.16) достигается тогда и только тогда, когда прямоугольный параллелепипед является кубом.
Пример 3.9. Пусть M – точка, лежащая внутри прямоугольника ABCD, и S – его площадь. Доказать, что
(3.17)
Доказательство.
Через
точку
,
лежащую
внутри прямоугольника
,
проведем
Обозначим
Тогда
и требуемое неравенство (3.17) принимает
вид
(3.18)
Используя неравенство Коши-Буняковского (3.8), можно записать два неравенства
и
Следовательно, имеет место
и
Складывая приведенные выше неравенства, получаем неравенство (3.18).