Лекция №9 Геометрический смысл определения производной функции комплексного переменного Геометрический смысл аргумента комплексно-значимой функции вещественной переменной

Рассмотрим комплексно-значимую функцию вещественной переменной ,. Пусть эта функция в некоторой точкеимеет производную(так как аргумент0 и не определен).

Выясним геометрический смысл аргумента .

Рассмотрим в плоскости (Z) две точки () и на кривой. Проведем

через эти две точки секущую. Очевидно, вектор ()–коллинеарен этой секущей. Значит, отношениетак же этот вектор будет коллинеарен секущей. Вычислим предел,, поэтому

(2)

(Этот предел не в обычном смысле, то есть из можно извлечь такие представители, которые будут сходится к одному из представителей).

Так как касательная – это есть предельное положение секущей, то из равенства (2) следует, что – это есть угол, который составляет касательная к кривойв точкес действительной осью.

Геометрический смысл аргумента производной комплексной функции

Пусть функция W = f(Z) имеет в точке конечную производную, вычислим геометрический смысл. С этой целью выпустим из точкикривую, такую что производнаяи существует.

Отображение W=f(Z) переведет эту кривую L в новую кривую , выходящую из точки(T и касательные).

Покажем, что кривая (лямбда), заданная уравнениемтоже имеет в точкекасательную. Очевидно,, значит(3).

Таким образом, кривая имеет в точкекасательную, которая составляет с действительной осью угол равный величине (3). Из равенства (3) следует, что

(4).

Следовательно, – это есть угол, на который поворачивается касательная к кривойL в рассматриваемой точке Z₀ при отображении W=f(Z). Нетрудно видеть, что угол поворота касательной к кривой в точкеZ₀ при отображении W = f(Z) не зависит от выбора этой кривой.

Если мы возьмем в плоскости (Z) две кривые и, образующие в точкеZ₀ некоторый угол Q.

То при отображении W = f(Z) эти две кривые перейдут в новые кривые иплоскости(W), которые в точке также будут образовывать угол Q, так как касательные к ив точкеполучаются путем поворота касательных кив точкена один и тот же угол, равный.

Конформные отображения

Отображение, осуществляемое посредством непрерывной функции W = f(Z), называется конформным в точке Z₀, если оно сохраняет углы между кривыми, выходящими из точки Z₀.

Если при этом отображении сохраняется не только величина угла между кривыми, но и направление отсчета, то говорят о конформном отображении 1^го рода.

Если же при отображении W = f(Z) величина углов между кривыми сохраняется, а направление их отсчета меняется на противоположное, то говорят о конформном отображении 2^го рода.

Из геометрического смысла аргумента производной непосредственно следует, что аналитические функции W = f(Z) в точках Z₀, где , осуществляют конформное отображение 1^го рода.

Покажем, что функции, сопряженные аналитическим, осуществляют конформные отображения 2^го рода.

Рассмотрим функцию , из чертежа непосредственно видно, что функцияосуществляет конформное отображение 2^го рода в любой точке .

Рассмотрим аналитическую функцию f(Z), которая в точке Z₀ имеет производную . Построим отображение, покажем, что оно в точкеZ₀ конформное отображение 2^го рода. Очевидно, отображение представляется в виде произведения двух отображений;. Как мы знаем, функцияосуществляет в точкеZ₀ конформное отображение 1^го рода. Возьмем в плоскости (Z) две кривые, исходящие из точки Z₀ и составляющие между собой угол Q.

При отображении эти кривые перейдут в кривыеи, которые также будут образовывать между собой уголQ, причем направление отсчета углов сохраняется. Произведем теперь отображение . Оно является конформным2^го рода. Поэтому кривые иперейдут в кривыеи, угол между которыми в точкесохраняются, но направление изменится на противоположное. Следовательно, отображениепереведет кривые,в кривые,, угол между которыми сохраняется, но направление изменяется на противоположное. Следовательно, отображениеконформное 2^го рода.