Лекция №20 Логарифмы

Логарифмом комплексного числа Z ≠ 0, называется множество чисел

(1).

Комплексный логарифм обозначается символом lnZ.

Итак, lnZ=ln|Z|+iArgZ (2).

Как видно, логарифм комплексного числа имеет бесконечное множество значений, все они располагаются на вертикальной прямой, на расстоянии кратных 2π друг от друга.

Как мы знаем, ArgZ = argZ+2kπ, поэтому комплексный логарифм Z равен

ln(Z) = ln|Z|+i·(argZ+2kπ) = (ln|Z|+i∙argZ)+i∙2πk.

Среди значений комплексного логарифма выделяют одно ln|Z|+i·argZ, которое называется главным значением логарифма и обозначается символом

lnZ = ln|Z|+i·argZ

Т. е. lnZ = lnZ+2kπ, (kZ).

Нетрудно видеть, что множество значений lnZ совпадает с множеством всех решений уравнения e^w=Z, относительно неизвестной W. Т. к. e^w не обращается в 0 ни в одной точке, то число Z = 0 не имеет комплексных логарифмов.

Легко видеть, что если Z = x > 0, то главный логарифм lnZ = lnx (равен вещественному логарифму) (lnx = ln|x|+i·argx = lnx). Все остальные значения комплексного логарифма будут мнимые.

Легко показывается, что для любого комплексного Z, не лежащего на положительной оси x, все значения комплексного логарифма (lnx) мнимые.

Комплексный логарифм обладает свойствами:

1. ДляZ₁, Z₂ ≠ 0 справедливо равенство: ln(Z₁·Z₂)=lnZ₁+lnZ₂

Доказательство

в самом деле,

ln(Z₁·Z₂) = ln|Z₁·Z₂|+i·Arg(Z₁·Z₂) = ln|Z₁|+ln|Z₂|+i·(ArgZ₁+ArgZ₂) =

=(ln|Z₁|+i∙ArgZ₁)+(ln|Z₂|+i∙ArgZ₂)=lnZ₁+lnZ₂

Замечание.

Отметим, что для имеет место равенство

2. Для Z₁, Z₂ ≠ 0 справедливо равенство:

Очевидно,

Пример.

вычислим ln1.

ln1=ln|1|+i∙Arg1=i∙(o+2k)=2ki, (kZ)

ln(-e)=ln|-e|+i∙Arg(-e)=1+i∙(+2k), (kZ)

Логарифмическая функция

Поставим в соответствие Z ≠ 0, множество чисел lnZ получим логарифмическую функцию W = lnZ.

Эта комплексная логарифмическая функция является бесконечной, она определена во всей плоскости (Z), за исключением нуля.

Нетрудно видеть, что эта функция является обратной для показательной функции Z = e^w.

Эта аналитическая функция является однозначной. Она принимает равные значения во всех точках W = lnZ. Следовательно, эта функция является бесконечно-листной.

Т. к. точки, в которых функция Z = e^w принимает равные значения, располагаются на вертикальных прямых на расстоянии кратных 2π друг от друга. То область однолистности этой функции не должна содержать ни одной пары таких точек.

Наиболее простой такой областью однолистности является внутренность горизонтальной полосы ширины 2π.

Т. е. плоскость (W) можно разбить на полосы однолистности, ограниченные горизонтальными прямыми:

Т. е. эти полосы будут определяться неравенством:

(3)

Где - произвольное вещественное число.

Функция Z = e^w отобразит каждую прямую y = в луч, который составит с осью x-ов угол , а каждую из рассматриваемых полос на область, ограниченную этим лучом.

Ограничивая обратную функцию W = lnZ на тем, что ее значения принадлежат полосеg_k, заданной неравенством (3), мы получим однозначную ветвь W = lnZ.

Очевидно ln_kZ = ln|Z|+i∙Arg_kZ, где Arg_kZ – будет удовлетворять неравенству

(4)