- •Лекция №1 Комплексные числа
- •Арифметические действия над комплексными числами
- •Алгебраическая форма записи комплексных чисел
- •Геометрические изображения комплексных чисел
- •Лекция №2 Тригонометрическая форма записи комплексного числа
- •Геометрическое истолкование суммы, разности, произведения и частного двух комплексных чисел
- •Корень n – ой степени из комплексного числа
- •Степень с произвольным рациональным показателем
- •Лекция №3 Предел последовательности комплексных чисел
- •Геометрическое истолкование предела последовательности комплексных чисел
- •Бесконечность и стереографическая проекция
- •Лекция №4 Ряды комплексных чисел
- •Абсолютно сходящиеся ряды комплексных чисел.
- •Основные понятия многочленов
- •Лекция №5 Понятие функции комплексного переменного.
- •Предел функции комплексного переменного
- •Непрерывность функции комплексного переменного
- •Лекция №6 Понятие равномерной непрерывности функции комплексной переменной
- •Понятие обобщенно непрерывной функции
- •Непрерывные кривые
- •Лекция №7 Понятие производной функции комплексного переменного
- •Формула для приращения функций.
- •Лекция №8 Дифференцируемость и дифференциал функции комплексного переменного
- •Правило дифференцирования
- •Производная сложной и обратной функций
- •Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке
- •Лекция №9 Геометрический смысл определения производной функции комплексного переменного Геометрический смысл аргумента комплексно-значимой функции вещественной переменной
- •Геометрический смысл аргумента производной комплексной функции
- •Конформные отображения
- •Лекция №10 Геометрический смысл модуля производной
- •Пример (дробно-линейная функция)
- •Угол с вершиной в бесконечности или бесконечно удаленная точка
- •Лекция №11 Гармонические и сопряженные гармонические функции
- •Построение мнимой части аналитической функции по ее действительной части
- •Лекция №12 Элементарные аналитические функции
- •Точки, в которых нарушается конформное отображение
- •Лекция № 13 Свойства дробно-линейной функции Групповое свойство дробно-линейной функции
- •Лекция №14 Круговое свойство дробно-линейной функции.
- •Лекция №15 Образы областей, ограниченных прямой или окружность при дробно-линейном отображении
- •Неподвижные точки дробно-линейного отображения
- •Построение дробно-линейной функции, заданной в трех точках
- •Инвариантность двойного отношения при дробно-линейном преобразовании.
- •Отображение областей ограниченных прямыми илиокружностями.
- •Лекция №16 Показательная функция
- •Лекция №17 Тригонометрические функции cosZ, sinZ
- •Лекция №18 Гиперболические функции вещественного переменного.
- •Формулы приведения.
- •Лекция №19 Однозначные ветви многозначных функций.
- •Лекция №20 Логарифмы
- •Логарифмическая функция
- •Лекция №21 Степень с произвольным показателем
- •Общая степенная и показательная функция
- •Логарифм по произвольному основанию.
- •Понятие поверхности Римара
- •Лекция №22 Степенные ряды
- •Понятие верхнего предела вещественной числовой последовательности
- •Дифференцирование степенных рядов
- •Вопросы к экзамену по тфкп
- •Литература.
Лекция №21 Степень с произвольным показателем
Рассмотрим произвольные комплексные числа a ≠ 0 и α. Под комплексностью степени будем понимать совокупностьelna. Очевидно, если α это рациональное число, то мы получаем
Следовательно, новое определение степени с рациональным показателем совпадает с данным ранее. Легко видеть, что
Пусть: , тогда(4)
Из формулы (4) вытекает, что если α иррациональное, то имеет бесконечно много значений (при различныхk различные значения).
В самом деле, если бы при некоторых значения (4) были бы равны, то было бы, отсюда следовало бы, что- рационально, что невозможно.
Из равенства (4) непосредственно следует, что если α вещественно, то модули всех значений равны между собой:
, ()
Если же α является чисто мнимым числом , то все числа совокупностибудут иметь различные модули (в зависимости отk). В случае когда α имеет вид , где, все значениябудут иметь различные модули, а еслиβ иррационально, то аргументы будут различны (модули различны за счет γ).
Пример.
Найти совокупность ii.
ii = eilni ()
т. к. lni = ln|i|+i∙Argi = 0+i·(),то ii = = .
Общая степенная и показательная функция
Для произвольного комплексного α степенная функция (это, вообще говоря, бесконечно-значная функция).
Показательная функция аZ = eZlna (a ≠ 0), эта функция также является бесконечно-значной (когда а = е, то берется одно главное значение lna = lne).
Это однозначная функция, по нашему определению многозначная.
Для комплексных степеней, вообще говоря, не выполняются равенства:
и .
Логарифм по произвольному основанию.
Возьмем и определим логарифмы по основаниюa. С этой целью рассмотрим уравнение Z = aw, относительно неизвестной W.
По определению aw = ewlna.
lna имеет бесконечное множество значений, зафиксируем какое-то одно из них и обозначим его через b. Тогда мы получим равенство:
Т.е.
В правой части комплексный числитель, тогда и знаменатель, имеют бесконечное множество значений.
Понятие поверхности Римара
Рассмотрим функцию: W = . Эта функция является n-значной. Из нее можно выделить n однозначных ветвей. Сделаем это следующем образом. Разобьем плоскость (W) на n равных частей лучами (1) .
Очевидно, функция Z = Wn является однолистной внутри каждого угла.
(k=0,…,n-1) (2).
Эта функция отображает каждый луч (1) в положительную часть действительной оси, т. е. в луч.
ArgZ = 0+2kπ (3)
Область же (2) отображается на область ограниченную лучом (3). Следовательно, по однозначной функции W = определится n однозначных ветвей, которые заданы на одной и той же области, ограниченной лучом (3) и которые принимают значения в области (2).
Эти ветви будут определяться формулами:
()k = (k - номер ветви),
где ,(k=0,…,n-1)
Постоим теперь поверхность Римана.
Однозначные ветви (4) мы будем рассматривать на всей плоскости (Z) с разрезом вдоль положительной части оси x-ов.
Рассмотрим n-таких плоскостей с разрезами:
Первую ветвь будет рассматривать на первом листе, вторую на втором (второй плоскости), …, n-ную ветвь на n-ом листе.
Возьмем какую-нибудь точку на положительной части оси х и отметим ее цифрами. В верхней полуплоскости цифрой 1, на нижние цифрой 2 и т. д. Отметим около нуля окружность, проходящую через отмеченную точку.
Очевидно, при движении Z по окружности из точки 1 в точку 2, аргумент Z возрастает на величину 2π. Следовательно, в рассматриваемой точке получается, что , т. е. ветвь с номеромk переходит в ветвь с номером k+1. Значит можно утверждать, что значение ветви в точке2 будет равно значению ветви в точке3 и значение в точке4 и будет равно значению ветви в точке5 и т. д.
Покажем значение n-ной ветви в точке 2π, оно будет равно значению первой ветви в точке 1 () .
Склеим теперь все эти листы следующим образом. Сложим их друг на друга в порядке убывания номеров так, чтобы их разрезы совпали.
Склеим теперь правый берег первого листа с левым берегом второго листа, правый берег второго листа с левым берегом третьего листа и т. д. И наложим правый берег n-ного листа с левым берегом первого листа.
В результате мы получим поверхность Римана для функции W = . На этой поверхности Римана многозначную функцию W = можно рассматривать как однозначную функцию.