Лекция №10 Геометрический смысл модуля производной

Из определения производной , следовательно,(1).

Очевидно, – это есть расстояние между точкамиZ и Z₀, или что тоже – длина вектора . А– это есть расстояние между их образамиf(Z) и f(Z₀) или длина вектора f(Z)–f(Z₀). Значит, отношение можно рассматривать как растяжение вектора с началом в точкеZ₀ и концом в точке Z при отображении W = f(Z).

Поэтому, в силу равенства (1), модуль производной можно рассматривать как растяжение в точкепри отображенииW = f(Z). Очевидно, это растяжение, вообще говоря, не совпадает с отношением , но является его пределом, и это растяжение не зависит от выбора точки.

Пример (дробно-линейная функция)

Функция вида W = f(z)=(2) называетсядробно-линейной функцией (здесь a, b, c, d – фиксированные комплексные числа, а z – комплексная переменная).

Мы будем рассматривать случай, когда (3).

Очевидно, в случае строки определителя пропорциональны.

Пусть ,

и этот случай не интересен, так как вся плоскость переводится в одну точку.

Очевидно, выполняется, по крайней мере, одно из условий:

1. с = 0;

2. с ≠ 0.

а) Рассмотрим случай с = 0, так как , то обязательноa и d не равны нулю. Положим ,, тогда отображение (2) запишется в виде,(4).

Очевидно производная , поэтому отображение (4) конформно в любой точке плоскости (Z). При этом отображении угол поворота касательной к кривым постоянен во всех точках плоскости (Z) и равен . Растяжение также во всех точках будет фиксировано и будет равно. Очевидно, если, то,и.

Следовательно, в этом случае отсутствует поворот и растяжение.

Отображение осуществляет при этом сдвиг всей плоскости на вектор.

Пусть теперь . Тогда отображение (4) можно переписать так, где. Отсюда видно, чтои.

Таким образом, в данном случае при отображении (4) векторы , выходящие из точки, растягиваются враз и затем поворачиваются на угол. Следовательно, при этом отображении вся плоскость относительно точекрастягивается враз и затем поворачивается на угол.

б) Пусть теперь с0. Очевидно, , где, число. Нетрудно видеть, что производнаяконечна и отлична от нуля во всех точках, поэтомуявляется конформным во всех точках. При этом отображении касательные к кривым поворачиваются на угол. Растяжение во всех точках будет равно.

Из этих формул непосредственно видно, что поворот касательных к кривым будет одним и тем же в тех точках , гдесохраняет постоянное значение. Очевидно, это будут лучи, исходящие из точек. Растяжение будет одним и тем же только в точках, где, то есть на окружностях с центром в точке.

Угол с вершиной в бесконечности или бесконечно удаленная точка

Рассмотрим в плоскости (Z) две кривые и, Выходящие из нуля.

Пусть они образуют между собой угол Q в нуле. Произведем отображение . Эти кривые соответственно перейдут в кривыеи, уходящие в бесконечность.

Будем считать, что угол между этими кривыми в бесконечности равен углу Q между ис вершиной в нуле.

Вообще под углом между любыми двумя кривыми ив плоскости(Z) с вершиной в бесконечности мы будем понимать угол между их образами ,при отображениис вершиной в нуле.

Покажем, что отображение

W = (2)

конформно и в точке . Возьмем любые две кривыеиплоскостиZ, выходящие из точки и образующие между собой уголQ. Отображение (2) переведет точку в бесконечность, аив некоторые линииис вершиной в бесконечности.

Мы покажем, что угол между этими кривыми с вершиной в бесконечности равен Q. Для этого произведем отображение , при этом кривыеиперейдут в некоторые кривыеиплоскости.

Очевидно, угол между ис вершиной в нуле, по определению, есть угол междуис вершиной в бесконечности. Легко видеть, что кривыеиполучаются из кривых,посредством отображения

= (5).

Так как при отображении (5) точка переводится в нуль, поэтому по доказанному, отображение (5) будет конформным в точке, и поэтому угол между кривыми,с вершиной в нуле будет равенQ. Конформность отображения (2) в точке установлена.

Аналогичным образом показывается, что отображение (2) конформно и в точке . Следовательно, отображение (2) конформно в расширенной плоскости.