Лекция №7 Понятие производной функции комплексного переменного

Пусть функция W = f(Z) задана на некотором множестве иZ₀, принадлежащая E, предельная точка этого множества. Придадим Z₀=x₀+i·y₀ приращение ΔZ = Δx+i·Δy_, чтобы точка Z = Z₀+ΔZ принадлежала множеству Е. Тогда функция W = u+i·v = f(Z) = u(x,y)+i·v(x,y). Получим приращение ΔW = Δu+i·Δv = f(Z₀+ΔZ) - f(Z₀) = Δf(Z₀), .

Если существует конечный предел , то он называетсяпроизводной функции f(Z) в точке Z₀ по множеству E, и обозначается , , ,W'.

Формально производная функция комплексного переменного определяется точно так же как и производная функции вещественного переменного, но содержание их различно.

В определении производной функции f(x) вещественной переменной в точке х₀ , x → х₀ вдоль прямой. В случае функции комплексного переменного f(Z), Z может стремиться к Z₀ по любому пути плоскости, ведущему в точку Z₀.

Поэтому требование существования производной функции комплексного переменного очень жестко. Этим и объясняется, что даже простые функции комплексного переменного не имеют производной.

Пример.

Рассмотрим функцию W = =x-i·y. Покажем, что эта функция не имеет производной ни в одной точке. Возьмем любую точку Z₀ = x₀+i·y₀, придадим ей приращение ΔZ = Δx+i·Δy, тогда функция получит приращение . Значит

, ,

Будем вначале рассматривать ΔZ = Δx + i·Δy такие, что Δx → 0, а Δy = 0, т. е. точка Z₀ + ΔZ → Z₀ по горизонтальной прямой. При этом мы получим, что

Будем теперь рассматривать приращение ∆Z такими, что ∆x = 0, а ∆y → 0, т.е. когда Z₀ + ∆Z→ Z₀ по вертикальной прямой, при этом очевидно будет .

Полученные пределы различные, поэтому отношение не имеет предела при∆Z → 0, то есть функция не имеет производной в любой точкеZ₀ .

Выясним смысл производной по множеству. Пусть E – действительная ось, и W = f(Z) = x, тогда это есть обычная вещественная функция вещественной переменной f(x) = x и ее производная будет равна 1 ().

Пусть теперь Е – это вся плоскость (Z). Покажем, что функция f(Z) = x в этом случае не имеет производной ни в одной точке. Действительно, в данном случае .Отсюда видно, что если а, то. Если же, а, то.Следовательно, отношение не имеет предела при , поэтому функция f(Z) = x не имеет производной ни в одной точке .

Отметим, что если рассматривается комплексно-значная функция вещественной переменной , то из определения производной непосредственно вытекает, что, следовательно,(этопроизводная по вещественной оси).

Формула для приращения функций.

Пусть функция W = f(Z) имеет в точке Z₀ производную . Покажем, что имеет место представление(1), где величина, когда.

Действительно, по определению производной имеем , следовательно, величина, когда. Поэтому имеет место представление (1) (умножим обе части наи перенесемв левую часть).

Лекция №8 Дифференцируемость и дифференциал функции комплексного переменного

Функция W = f(Z) называется дифференцируемой в точке Z₀, если в этой точке имеет место представление (2), гдеA – фиксированное комплексное число, а величина стремится к нулю, когда.

Если функция W = f(Z) дифференцируема в точке Z₀, то главная линейная относительно ее частьA·приращениев точкеZ₀ называется дифференциалом функции f(Z) в точке и обозначается.

Имеет место теорема.

Теорема.

Для того чтобы функция W = f(Z) была дифференцируема в точке Z₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную , при этом всегда оказывается, что в представлении (2) .

Доказательство.

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке Z₀. Покажем, что она имеет в этой точке конечную производную, и что эта производная равна числу А. В силу дифференциации f(Z) в точке Z₀ имеет место представление (2), значит (3). Производя здесь предельный переход приполучим, что, значит.

Достаточность. Пусть функция f(Z) имеет в точке Z₀ конечную производную . Покажем, что имеет место представление (2). В силу существования производнойимеет место представление (1), но это и есть представление (2), в которомA = . Достаточность установлена.

Как мы знаем, дифференциал , принимая в качестве дифференциала независимой переменнойZ ее приращение , то есть, полагая, мы можем записатьи поэтому(это отношение дифференциалов, а не единый символ).