- •А.С. Скачков
- •Предисловие
- •Часть III логика высказываний и предикатов Введение
- •Тема седьмая классическая логика высказываний
- •§7.1. Общая характеристика и особенности языка классической логики высказываний (клв)
- •§7.2. Пропозициональные связки; образование формул клв
- •§7.3. Истинностная функция пропозициональных связок, табличное определение истинности
- •§7.4. Виды и взаимоотношения формул и схем клв
- •§7.5. Схемы некоторых законов клв
- •7.6. Основные виды дедуктивных рассуждений, выраженные яклв
- •Тема восьмая классическое исчисление высказываний
- •§8.1. Логический смысл исчислений
- •§8.2. Классическое натуральное исчисление высказываний. Правила вывода
- •А, в ________ . А в
- •§8.3. Выводы и доказательства
- •§8.4. Эвристики натурального исчисления высказываний
- •Тема девятая язык и исчисление классической логики предикатов
- •§9.1. Общая характеристика классической логики предикатов
- •§9.2. Язык классической логики предикатов
- •§9.3. Запись имён и высказываний на яклп: термы и формулы
- •§9.4. Законы классической логики предикатов
- •§9.5. Исчисление предикатов первого порядка
- •Контрольные вопросы
- •Часть IV теория правдоподобных рассуждений Введение
- •Тема десятая основы формализации рассуждений с правдоподобным следованием
- •§10.1. Понятие о правдоподобном (вероятностном) рассуждении
- •§10.2. Фактический и логический смысл вероятности. Классическая (априорная) вероятность
- •§10.3. Статистическая (апостериорная) вероятность
- •§10.4. Исчисление условной вероятности
- •§10.5. Принцип обратной дедукции
- •Тема одиннадцатая разновидности индукции
- •§11.1. Понятие индукции в традиционной и современной логике
- •§11.2. Классификация видов индукции по характеру следования
- •§11.3. Индуктивные методы установления причинных связей
- •Тема двенадцатая умозаключения по аналогии, гипотеза и гипотетико-дедуктивный метод
- •§12.1. Аналогия: виды, приёмы повышения степени вероятности
- •§12.2. Гипотеза: виды, построение, этапы организации
- •§12.3. Требования к теоретическому обоснованию гипотез. Гипотетико-дедуктивный метод
- •Контрольные вопросы
- •Часть V основы аргументационного процесса Введение
- •Тема тринадцатая логические основы аргументации
- •§13.1. Основы теории аргументации
- •§13.2. Состав аргументации. Структура аргументационного процесса
- •§13.3. Доказательство и опровержение в аргументации
- •§13.4. Правила и логические ошибки в доказательстве и опровержении
- •Тема четырнадцатая внелогическая составляющая аргументационного процесса
- •§14.1. Спор и его виды
- •§14.2. Тактика спора
- •§14.3. Софистика. Уловки в полемике и эклектике
- •Контрольные вопросы
- •Перечень основных символов классической формальной логики
- •Библиографический список
- •Оглавление
§10.4. Исчисление условной вероятности
Возможность исчислять вероятность имеется для различных событий и фиксирующих эти события формул КЛВ. На опыте мы различаем события, находящиеся в отношении фактического влияния, от нейтральных (не находящихся в отношении фактического влияния); соответственно, в логическом плане необходимо различать формулы, например A и B, имеющие логическое влияние одна на другую (зависимые), от формул, такого влияния не имеющих (независимых). Независимыми называются такие формулы, например A и B, когда истинность либо ложность первой из них не влияет на истинность либо ложность другой. В таком случае численное значение P(А) равняется численному значению условной вероятности P(А/В) (т. е. отношению вероятности формулы А, к вероятности формулы В при условии, что В не может иметь нулевую вероятность, т. е. быть нарушением какого-либо закона логики): P(А)=P(А/В) (читается — вероятность А равна условной вероятности P(А/В), или вероятность А не изменяется в связи с вероятностью В).
Пример
Построим сводную таблицу двух выводных формул КЛВ: (А) — (аb) и (В) — ((а с)а):
a |
b |
c |
а b |
((a c) |
а) |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
Рис. 30
Используя данные сводной таблицы установим, что Р(A)=1/2 (равно как и Р(В)=1/2). Исключим из сводной таблицы строки, в которых формула В имеет отрицательный исход (принимает значение «ложь»):
a |
b |
c |
а b |
((a c) |
а) |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
Рис. 31
Далее подсчитаем число положительных исходов для формулы А в качестве увязанной с формулой В или условную вероятность P(А/В): в данном случае — P((аb)/((ас)а)=1/2. Таким образом, на том основании, что Р(A)=P(А/В)=1/2, делаем вывод о том, что рассмотренные формулы А и В логически не зависят друг от друга (фиксируют фактически независимые сложные события А и В).
Для ведения правдоподобных рассуждений существенным является такое отношение между событиями и, соответственно, формулами, когда имеется их зависимость, т. е. влияние одной формулы (события) на другую формулу (событие).
Причём, это могут быть два варианты влияния: 1) когда величина условной вероятности P(А/В) оказывается больше величины вероятности P(А) (P(А/В)>P(А)), т. е. имеет место отношение, повышающее вероятность истинности заключения, или позитивная релевантность; 2) когда величина условной вероятности P(А/В) оказывается меньше величины вероятности P(А) (P(А/В)<P(А)): в таком случае вероятность истинности заключения уменьшается, что соответствует негативной релевантности. Очевидно, что правдоподобное следование имеет место тогда и только тогда, когда величина условной вероятности P(А/В) оказывается больше величины вероятности P(А) (или P(А)<P(А/В)): именно в таком случае вероятность истинности заключения (A) повышается при условии истинности посылок (B1, ..., Bn), т. е. осуществляется собственно правдоподобное рассуждение, соответствующее схеме B1, ..., Bn ║= А.
Пример
Проанализируем рассуждение: «Поскольку, когда идёт первая половина будних дней недели и когда идёт вторая половина будних дней недели верующие города N проводят в молитвах, то возможно, что и выходные дни они проводят в молитвах». Данное рассуждение имеет логическую форму ((bа)(са))(dа) со следующим набором истинностных значений антецедента и консеквента:
a |
b |
c |
d |
((bа) |
|
(са)) |
(dа) |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
Рис. 32
Согласно построенной таблице имеем: P(dа)=3/4 и P((bа)(са))=1/2. Для определения P(dа)/((bа)(са))(dа)) осуществим в таблице изменения:
a |
b |
c |
d |
((bа) |
|
(са) |
(dа) |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
Рис. 33
Таким образом: 1) P(dа)/((bа)(са))(dа))=9/10; 2) между формулами ((bа)(са)) и (dа) имеет место такая форма зависимости, при которой P(dа)<P(dа)/((bа)(са))(dа)), что доказывает наличие в рассуждении правдоподобного следования.