11. Каким компромиссом руководствуются при выборе типа окна в спектральном оценивании сигнала?.

Чтобы обнаружить слабый сигнал необходимо устранить боковые лепестки в спектре, которые возникают когда мы ограничили сигнал прямоугольным окном. Значит чтобы устранить эти лепестки необходимо устранить их в спектре оконной функции , то есть надо изменить оконную функцию, а именно сделать ее более гладкой, как это показано на рисунке 5.

Рисунок 5: Гладкая весовая функция

При гладкой оконной функции в спектре не наблюдается боковых лепестков (или их уровень существенно понижается), однако имеет место расширение основного лепестка спектра по сравнению с прямоугольным окном .

Таким образом мы вроде бы побороли боковые лепестки, и смогли обнаружить слабые сигналы (смотри рисунок 6), которые раньше терялись в боковых лепестках, но заплатили за это расширением основного лепестка.

Рисунок 6: При гладкой весовой функции слабые сигналы не теряются в боковых лепестках

Необходимо отметить, что чем больше подавление боковых лепестков спектра оконной функции, тем шире получается основной лепесток. Данное противоречие привело к разработке большого количества оконных функций с различным подавлением боковых лепестков и различной шириной главного лепестка.

Суть: Компромисс в следующем: прямоугольное окно не устраняет боковые лепестки, а гладкое окно расширяет основной лепесток. Поэтому нужно найти оптимальный тип окна

12. Что понимают под смещением спектра и почему оно может возникнуть?

13. Каково расстояние по частоте между соседними отсчётами дискретного спектра?

Отрезок времени Dt между соседними отсчетами называют шагом дискретизации. Дискретизация называется равномерной с частотой F=1/Dt, если значение Dt постоянно по всему диапазону преобразования сигнала. При неравномерной дискретизации значение Dt между выборками может изменяться по определенной программе или в зависимости от изменения каких-либо параметров сигнала.

14. Почему в дискретном спектре сигнала столько же отсчётов, сколько и в дискретном представлении исходной функции?

Пара непрерывного преобразования Фурье (интеграл Фурье) имеет вид:

(1)

где – спектр сигнала (в общем случае и сигнал и спектр — комплексные).

Выражения для прямого ДПФ и обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) имеют вид:

(2)

Выражение для ДПФ ставит в соответствие отсчетам сигнала , , в общем случае комплексного, отсчетов спектра ,

15. Какой временной интервал будет занимать функция времени, полученная из спектра ДПФ?

Формулы прямого и обратного дискретного преобразования Фурье:

прямого  (1.30)

обратного (1.31) 

В этих формулах N- длина числового вектора или количество выборок аналогового сигнала, n-номер частотной компоненты спектра, k-номер выборки аналогового сигнала или элемента вектора.

Дискретное прямое и обратное преобразование Фурье было получено для дискретизированного периодического сигнала, представляемого решетчатой функцией, на бесконечной временной оси и описываемого выражениями: 

(1.32)

Комплексную частоту можно представить через модуль и аргумент, составляющих амплитудно- и фазочастотный спектр решетчатой функции:

.

На практике в цифровой вычислительной технике конечными являются сигналы и их выборки и спектры сигналов конечны. Переход к ДПФ производится следующим образом.

Пусть непрерывная функция дискретизирована на периоде 2π с частотой . Частота дискретизации как минимум в два раза больше высшей частоты конечного спектра .и в пределах образования спектра сигнала .временной интервал его образования соответствует , где N-количество выборок или . Пусть периоду дискретизации по времени Т соответствует период дискретизации по частоте .. Из последнего равенства может быть получено количество комплексных частотных компонент при числе выборок N:

.