Т2 Аналитические представления

языка. Это является естественным, так как предложения естественного языка в общем случае выражают действия.

Наряду с понятием действия будем использовать также понятие структуры связи объектов в единичном действии, которая определяется как совокупность объектов и действия, в котором они участвуют:

SV = <{Obj}; V>. (2)

Введенные формализованные представления отражают минимальные свойства, присущие действиям, и поэтому являются достаточно общими.

Так, любое действие можно характеризовать прежде всего, как некоторую абстрактную сущность per se26 - собственно действие. С другой стороны, любое действие должно охватывать некоторые объекты, т.е. связывать их в действии. Чтобы логическая конструкция «собственно действие + объекты, участвующие в действии» была формально связной, необходимо указать формальные связи объектов и собственно действия. Формальные связи представляют логические роли объектов в собственно действии. Естественность подобного представления действий является очевидной.

Пример. Рассмотрим предложение

«Студент читает книгу».

Здесь собственно действие выражается глаголом «читает» (V), объектами являются «студент» (Ob1) и «книга» (Ob2). Объект «студент» выступает в роли «источника действия» (rА), объект «книга» - в роли «прямого объекта действия» (rВ). Кроме того, в данном случае следует указать также время рассматриваемого действия ( наст – настоящее время). В итоге

семантическая формула данного предложения будет иметь вид

наст (V){rА(Ob1), rВ(Ob2)}.

Витоге рассматриваемое действие точно позиционируется в пространстве

и во времени. Однако, в математических представлениях фактор времени рассматривается как пространственная координата. Для данного случая семантическая формула будет иметь вид

V{rА(Ob1), rВ(Ob2), наст }.

____________________________

В зависимости от числа объектов n, входящих в действие, различают

одноместные (унарные) действия (n = 1), двуместные (бинарные)

действия (n = 2), трехместные (тернарные) действия (n = 3). В общем

26 Лат. per se – посредством самого себя, т.е. нечто, представляющее само себя в «чистом» виде.

67

случае действия являются n-местными. 0-местное действие совпадает с объектом.

Рассмотрим частный случай одноместного действия. Формула одноместного действия:

V{Ob}.

Роль объекта при этом не указывается, т.к. для одноместного действия такое указание является избыточным.

В другом частном случае роли объектов в действии могут быть одинаковыми. В этом случае указание роли объектов также является избыточными и они могут быть опущены. Формула действия в данном случае имеет вид

V{Ob1, Ob2, ..., Obn}. (3)

Выражение (3) определяет класс объектов Ob1, Ob2, ..., Obn, которые участвуют в действии V.

В математике роли объектов кодируются порядком их следования в выражении действия. В этом случае действие объектов записывается в виде

V(Ob1, Ob2, ..., Obn). (4)

Выражение (4) определяет упорядоченную n-ку объектов (Ob1, Ob2, ..., Obn), которые участвуют в действии V.

Единичные действия могут образовывать классы по некоторому общему признаку. Абстракт класса единичных действий называется

собственно отношением.

В общем случае отношение может быть описано следующей формулой

R = {Actk : k = 1, 2, ..., m},

(5)

где Actk = Vk{r1,k(Obj(1,k)), r2,k(Obj(2,k)), r3,k(Obj(3,k)), ..., rn,k(Obj(n,k))}. Здесь Actk

– k-ое конкретное единичное действие, которое характеризуется своим набором объектов Obj(i,k)) и их ролями ri,k; j(i,k) – индексная функция, которая конкретному набору значений индексов (i,k) ставит в соответствие конкретное значение индекса объекта j. Про отношение R можно сказать, что оно проявляется в конкретных действиях Actk. Соответственно сами действия Actk характеризуют отношение R. Совокупность действий R дает

представление (изображение) отношения R.

Пример. Отношение дружбы между странами проявляется в конкретных дружественных действиях. При этом страны воздерживаются от недружественных действий относительно друг друга. Перечень конкретных дружественных связей и действий достаточно обширен, сюда включаются взаимное уважение территориальных границ, взаимовыгодный торговый и культурный обмен, взаимная помощь при

68

неблагоприятных обстоятельствах и др. Совокупное описание конкретных фактов дружественных связей между странами дает изображение отношения дружбы между ними.

___________________________________

Формула отношения (5) является достаточно общей и определяет широкий класс отношений. В дальнейшем будем рассматривать более узкий класс отношений с фиксированной схемой.

Схемой отношения будем называть следующую форму

V{r1(·), r2(·), r3(·), ..., rn(·)} (6)

Если схема отношения фиксирована, то в разных действиях в рамках данного отношения будут изменяться только объекты, сама схема будет постоянна:

R = {R{r1(Obj(1,k)), r2(Obj(2,k)), r3(Obj(3,k)), ..., rn(Obj(n,k))} : k = 1, 2, ..., m}. (7)

Здесь R обозначает собственно отношение, другими словами - его абстракт, отношение per se. В отличие от R символ R обозначает

конкретное представление отношения в виде описания совокупности его конкретных реализаций

Actk = R{r1(Obj(1,k)), r2(Obj(2,k)), r3(Obj(3,k)), ... , rn(Obj(n,k))} : k = 1, 2, ... , m. (8)

Другими словами R представляет собой изображение отношения R через

его конкретные реализации Actk.

Структуру отношения (7) удобно описывать с помощью таблиц. На рис. 2.3.2 приведена общая структура таблицы, представляющей отношение.

			R
	r1	r2		ri	rn
Act1	Obj(1,1)	Obj(2,1)		. . .		Obj(n,1)
Act2	Obj(1,2)	Obj(2,2)		. . .		Obj(n,2)
Act3	Obj(1,3)	Obj(2,3)		. . .		Obj(n,3)
. . .	. . .	. . .		. . .		. . .
Actm	Obj(1,m)	Obj(2,m)		. . .		Obj(n,m)

Рис. 2.3.2. Структура отношения.

Пример. Отношения служат основой построения реляционных баз данных в информационных технологиях. В этой связи рассмотрим отношение СТУДЕНТЫ, содержащее информацию о студентах некоторого вуза (табл. 2.3.1). Здесь объектами являются информационные элементы, такие как конкретные значения номеров студенческих билетов, имена

69

студентов, их образовательные направления, курсы и даты рождения. Логические роли объектов представляются как атрибуты отношения СТУДЕНТ: № студенческого билета, имя, направление, курс, дата рождения.

Таблица 2.3.1. Пример отношения СТУДЕНТЫ

№	Имя	Направление		Курс	Дата
студенческого					рождения
билета
23980282	Михайлов А.Б.	Системный		4	25.06.87
		анализ
22991380	Александров	Системный		4	02.03.87
	И.Л.	анализ
22657879	Петров Р.М.	Управление	в	5	11.04.86
		ТС
22598562	Николаев С.В.	Управление	в	1	05.08.90
		ТС
23186497	Сидоров А.М.	АСУ		3	24.11.88
23063813	Иванов А.Т.	АСУ		2	17.02.89

___________________________________

Введем в рассмотрение классы всевозможных объектов, которые

могут выполнять определенные логические роли в отношениях:
Xi = {Obj(i,l) : l Li}, i = 1, 2, ..., n;	(9)

где i – индекс i-ой роли (ri ), которую могут выполнять объекты класса

Xi;

Li – множество внутренних индексов объектов i-ого класса;

j(i,l) – индексная функция, которая конкретному набору значений индексов (i,l), где l отражает внутреннюю индексацию объектов внутри класса Xi, ставит в соответствие конкретное значение внешнего индекса объекта j, отражающего индексацию объектов на всей совокупности классов.

На объектах классов (9) можно построить кортежи объектов
{r1(Obj(1,l)), r2(Obj(2,l)), r3(Obj(3,l)), ..., rn(Obj(n,l))}.	(10)
Введем множество всевозможных кортежей объектов
Uc = {{r1(Obj(1,l)), r2(Obj(2,l)), r3(Obj(3,l)), ..., rn(Obj(n,l))} : l Li,
i = 1, 2, ..., n }.	(11)

Тогда изображение отношения можно определить, как подмножество множества всевозможных кортежей объектов:

IR Uc.	(12)
70

В математике приняты пространственные представления, и вместо кортежей объектов (10) используются упорядоченные п-ки объектов -

векторы

(Obj(1,l), Obj(2,l), Obj(3,l), ..., Obj(n,l)).

(13)

Множество всевозможных векторов (13) образует векторное пространство

X = { (Obj(1,l), Obj(2,l), Obj(3,l), ..., Obj(n,l)) : l Li, i = 1, 2, ..., n }.						(14)
Структуру пространства X можно представить следующим образом.
Вводится	теоретико-множественная		операция		декартова27
произведения множеств.
Декартовым произведением множеств Xi и Xj				называется множество
всех упорядоченных пар (хi, хj), где		объектные		переменные		xi Xi и
x j X j . Обозначается декартово произведение Xi			X j .
Для декартовых произведений удобно использовать геометрический
язык: элементы х множества Xi X j		называются векторами (точками),
множества Xi и Xj	– осями координат.	Если х = (хi, хj),			то хi	называют

проекцией вектора х на координату (координатное множество) Xi, соответственно хj будет проекцией вектора х на координату (координатное множество) Xj. Эта терминология возникла в связи с тем, что обычная числовая плоскость является декартовым произведением двух числовых осей, числовое пространство – декартово произведение трех числовых осей, n-мерное числовое пространство – декартово произведение n числовых осей.

С этой точки зрения пространство (14) представляет собой декартово

произведение координатных множеств (9):
X = Х1 Х2 ... Хn.	(15)

В этом случае изображение отношения называется графиком отношения и записывается аналогично (12)

R X.		(16)
В математической логике	отношения	выражаются с помощью
многоместных предикатов.
Многоместный предикат	представляет	собой высказывательную

функцию R(x1, x2, ..., xn) : xi Xi, i = 1, 2, ..., n; принимающую следующие значения

			ДА, если (x1, x2, ..., xn) R ;
		R(x1, x2, ..., xn) =		НЕТ, если (x1, x2, ..., xn) R .
27
	Системы координат в математику
				ввел Р. Декарт.
Декарт (Descartes) Рене (				латинизированное	имя Картезий;	Cartesius)
(1596-1650), французский философ, математик, физик					и физиолог. С	1629 г. в

Нидерландах. Заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввел в математику ряд базовых алгебраических обозначений. Высказал закон сохранения количества движения, дал понятие импульса силы.

71

(17)

Предикат (17) на основе предъявления конкретного значения вектора (x1, x2, ... , xn) распознает его принадлежность отношению R - ДА или НЕТ. В результате формулируется высказывание, например

R(Obj(1,k)), Obj(2,k), Obj(3,k), ..., Obj(n,k)) = ДА.

В частном случае использования одноместного предиката ( n 1) выражаются свойства предметов, их атрибуты. 0-местный предикат определяет собственно объект.

На основе предикатов с использованием кванторов формулируются высказывания, например

x1 x2 ... xn R(x1, x2, ..., xn) = ДА.

Данное выражение читается так: для всех x1 существует x2 ... для всех xn

справедливо R.

Предикат (17) может быть записан в векторной форме
	ДА, если x R	;	(18)
R(x) =
	НЕТ, если x R .

В этом случае многоместный предикат (18) можно рассматривать как одноместный предикат в векторном пространстве.

Подводя итог сказанному, сформулируем понятие реляционной28 системы, как совокупности рассматриваемых классов объектов и

отношений, в которые входят объекты:
Sr = <{X1, X2, ... , Xn}; {R1, R2, ..., Rm	}>.	(19)
r

Понятие реляционной системы является базовым в системных исследованиях и широко используется в математических теориях и информационных технологиях.

____________________________________________

Рассмотрим класс бинарных отношений и их специальные свойства.

Будем записывать бинарные отношения в виде (х)R(у). Отношения (х)R(у) могут обладать следующими свойствами.

Свойство 1. Отношение R является рефлексивным, если оно справедливо для объекта и между ним самим, т.е. соотношение (х)R(х) справедливо. Например, «(х) похож на (у)» - очевидно, что (х) похож также и на себя, т.е. «(х) похож на (х)».

28 Лат. relatio – отношение.

72

Свойство 2. Отношение R является антирефлексивным, если из соотношения (х)R(у) следует, что х у . Например, «(х) старше (у)» (очевидно, что х не может быть старше самого себя).

Отношение R 1 называется обратным отношению R, если для

любых х, у из множества определения отношения соотношение (х) R 1 (у) равносильно соотношению (у)R(х).

Свойство 3. Отношение R является симметричным, если R = R 1 , т.е. из выполнения соотношения (х)R(у) следует выполнение соотношения (у)R(х). Например, «(х) похож на (у)», следовательно «(у) похож на (х)».

Свойство 4. Отношение R является асимметричным, если из двух соотношений (х)R(у) и (у)R(х) по меньшей мере одно не выполнено. Например, «(х) больше (у)» (очевидно, что обратное утверждение противоречит первому и из них должно быть справедливым только одно).

Свойство 5. Отношение R является антисимметричным, если оба соотношения (х)R(у) и (у)R(х) выполняются одновременно только тогда,

когда х = у. Например, «множество (х) является подмножеством множества (у)».

Свойство 6. Отношение R является транзитивным, если для любых элементов x, y, z, принадлежащих области определения отношения, из соотношений (х)R(у) и (у)R(z) следует (х)R(z). Например, «(у) является частью агрегата (х)», а «(z) является частью агрегата (у), следовательно «(z) является частью агрегата (х)».

Через свойства 1 – 6 можно определить основные типы отношений, которые перечислены в табл. 2.3.2 (здесь знак + означает, что указанное свойство входит в определение отношения, знаком (+) отмечены свойства, вытекающие из остальных).

Таблица 2.3.2.

				Свойство
Тип отношения	рефлексивность	антирефлексивность	симметричность		асимметричность	антисимметричность	транзитивность
Эквивалентность, =	+			+			+
Толерантность, ≈	+			+
Строгий порядок, >		+			(+)	(+)	+
		73

Квазипорядок, >~	+					+
Нестрогий порядок, ≥	+				+	+

В соответствии с таблицей 2.3.2 для приведенных выше примерах бинарные предикаты определяют следующие отношения:

«(х) похож на (у)» - эквивалентность;

«(х) старше (у)» - строгий порядок;

«(х) больше (у)» - строгий порядок;

«множество (х) является подмножеством множества (у)» -

нестрогий порядок;

«(у) является частью агрегата (х)» - строгий порядок.

_____________________________

Рассмотренные формализованные представления отношений являются неориентированными в том смысле, что для них не определено направление действия отношения. В общем случае отношения могут быть ориентированы и для них необходимо указывать направление их действия.

Направление действия отношений может быть задано на основе указания исходных источников действия и конечных приемников действия. Например, это может быть представлено с использованием следующего выражения в виде предиката:

(x1, x2, ..., xn)R(у1, у2, ..., уm), (20)

или с помощью диаграммы

(x1, x2, ..., xn) (у1, у2, ..., уm).	(21)
R
Здесь вектор (x1, x2, ..., xn) представляет источники действия,	вектор
(у1, у2, ..., уm) – приемники действия для отношения R.

Центральным понятием для ориентированных отношений является понятие отображения. Отображением называется ориентированное отношение, действие которого однозначно. Формально отображение представляется в виде функции, которая для заданного значения исходного (входного) вектора объектов (x1, x2, ..., xn) по определенному правилу или закону однозначно ставит в соответствие значение выходной переменной

у.
Функция обычно обозначается с использованием выражения:
у = F(x1, x2, ..., xn),	(22)
или с помощью диаграммы	(23)
(x1, x2, ..., xn) у.

F

В теории множеств функция может быть выражена в виде

74

Х1	Х2	... Хn Y,	(24)
		F

где Y – множество значений объектной переменной у.

Переменные x1, x2, ..., xn называются аргументами функции, а переменная у – функцией аргументов x1, x2, ..., xn.

Функция может быть определена не на всем пространстве X = Х1 Х2... Хn, а на его подмножестве Dx X. Подмножество Dx называется областью определения функции. Соответствующее ему подмножество DуY, называется образом Dx при отображении F. Относительно образа Dу подмножество Dx является его прообразом.

Функция характеризуется также своим графиком ГF, который представляет собой множество упорядоченных пар (х,у) пространства X Y,

принадлежащих функции F.
Основываясь на понятии функции, можно определить
функциональную систему
Sf = <{X1, X2, ..., Xn}; {F1, F2, ..., Fm	}>.	(25)
	f

Здесь в явном виде не выделены значения функций, так как для разных функций множества, которым принадлежат значения функций, могут быть различными.

_____________________________________________

Рассмотрим далее структуры связей объектов.

В общем случае в рамках системных представлений связи объектов образуют сложные схемы, особенности которых рассмотрим на конкретном примере, приведенном на рис. 2.3.3.

y	0,1		y1,1		y2,1		y3,1		y4,2

	F		y1,2		F				F3		F
1					2					4
y4,2			y1,3							y4,1
						x1,2
			x1,1		R1			x1,3

Рис. 2.3.3. Пример структурной схемы связей объектов.

Здесь F1 , F2 , F3 , F4 - функциональные связи, R1 - реляционная связь. Функциональные связи Fi являются ориентированными, поэтому

75

соответствующие им переменные yij изображены в виде стрелок, указывающих направление действия связи. Реляционная связь R1 не является ориентированной, поэтому соответствующие переменные x1 j

изображены неориентированными линиями.

С точки зрения теории информации задание переменным yij , x1 j

конкретных значений соответствует здесь передаче определенной информации по формальным направлениям связи, указанным на рис. 2.3.3 в виде стрелок и линий. В данной информационной интерпретации переменные yij , x1 j представляют собой сигналы – носители информации.

Стрелка представляет собой однонаправленную передачу сигнала, линия – дуплексную передачу, действующую в обоих направлениях. Функциональные и реляционные связи отражают переработку информации.

Необходимо отметить, что в действительности в чистом виде сигналов – носителей информации не существует. Любой реальный сигнал наряду с информационной составляющей – собственно сигналом, содержит шумовую составляющую, определяющую энтропию сигнала, его неопределенность. Без знания энтропии сигнала невозможно определить количество информации, которую несет с собой сигнал. Однако в данном разделе мы не будем останавливаться на данном вопросе. Поэтому в дальнейшем говоря о сигналах, будем рассматривать идеализированный случай отсутствия шумов.

С учетом сказанного, в рассматриваемой структурной схеме связей объектов (рис. 2.3.3), можно выделить следующие последовательные пути передачи сигналов:

передача из внешней среды входного сигнала

среда y0,1 ;

передача во внешнюю среду выходного сигнала y4,2 среда ;

последовательные пути передачи сигналов

y0,1 F1 y1,1 F2 y2,1 F3 y3,1 F4 y4,2 ; y0,1 F1 y1,2 F2 y2,1 F3 y3,1 F4 y4,2 ; y0,1 F1 y1,3 F2 y2,1 F3 y3,1 F4 y4,2 ;

x1,1	R1	x1,2 ;
x1,1	R1	x1,3 и др.

разветвление пути передачи сигналов

76