Т2 Аналитические представления

					x2 x2=s2x1
Неустойчивый					x2=s1x1
узел,					x1
		s1 s2
1, 2 0

x2 x2=s2x1

Седловая точка,						x1
2 0,
(рис. для 0 )	s1	s2
						x2=s1x1
1 ,						x2
						x1
устойчивая	s1,s2
						x2 = -ωx1

					x2
					x2=ωx1
1 ,					x1
неустойчивая		s1,s2

	x2	x2= -2ξωx1+c
2 0,		x1
0	-2ξω

107

		x2
2 0,
0	2ξω	x1
		x2= 2ξωx1+c

Табл. 4.2.1 (Окончание)

__________________________________

В общем случае динамика систем описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. Траектории движения нелинейных динамических систем могут быть самыми разнообразными в зависимости от характера нелинейностей. Так типовым источником нелинейностей в динамических системах являются нелинейности, вызванные различного рода ограничениями, например, ограничениями располагаемых ресурсов. В этом случае процессы бесконечного роста координат динамической системы не могут быть реализованы, и они ограничиваются особыми траекториями, называемыми предельными циклами (см. рис. 2.4.8).

x2

x1

Устойчивый предельный цикл

	а)
x2	x2

x1

x1

	Неустойчивый		Полуустойчивый
			предельный цикл
	предельный цикл б)	в)

Рис. 2.4.8

108

Предельные циклы представляют изолированные замкнутые кривые фазовой плоскости, соответствующие периодическим движениям. В этой связи укажем, что замкнутые траектории имеет и линейный осциллятор, рассмотренный ранее, однако указанные траектории не были ограниченными и потому не являлись предельными циклами. Амплитуда периодического движения линейного осциллятора зависит от начальных условий, и для него существует бесконечное число замкнутых кривых. Естественно, что нелинейная система также может обладать бесконечным числом замкнутых кривых. Однако нелинейная система может обладать еще и фиксированным числом предельных циклов, каждый из которых делит фазовую плоскость на две области с разным характером движения.

Предельные циклы могут быть устойчивыми, неустойчивыми и частично устойчивыми. В качестве примера на рис. 2.4.8 (а) показан устойчивый предельный цикл. Все близлежащие траектории стремятся к предельному циклу при неограниченном возрастании времени. Устойчивый предельный цикл соответствует устойчивому периодическому движению физической системы. На рис. 2.4.8 (б) изображен неустойчивый предельный цикл. Близлежащие траектории удаляются от замкнутой кривой. В случае частично устойчивого предельного цикла с ростом времени все траектории, лежащие вблизи по одну сторону от предельного цикла, стремятся к нему, а лежащие по другую сторону – удаляются от него. Такой случай представлен на рис. 2.4.8 (в).

2.4.4. Содержательная интерпретация

Рассмотрим содержательную интерпретацию процессов, описываемых дифференциальными уравнениями, как движение некоторой механической системы. Подобная интерпретация имеет общесистемный характер, так как механические аналогии широко используются в самых различных областях исследований.

В соответствии с аналитической механикой энергия движения механической системы состоит из трех составляющих:

- кинетической энергии, зависящей от скорости движения,

E

1

my2 ;

(4.1)

K

2

- потенциальной энергии, зависящей от величины координат

системы,

E

1

k

y2 ;

(4.2)

P

P

2

- рассеянной энергии, определяемой диссипативной функцией

E

1

k

y2 .

(4.3)

R

R

2

109

Здесь m - масса,

kP , kR - коэффициенты пропорциональности.

Движение механической системы можно описать уравнением в

форме Лагранжа

d

dEK

dEP

d

dER

fP fR fu ,

(4.4)

dt

dy

dy dt

dy

где

fP

dEP

-

действующая

потенциальная сила, fR

d dER

-

dy

dt

dy

диссипативная сила, fu - некоторая внешняя сила.

Если в системе не действуют диссипативные силы, то она является консервативной. В такой системе не происходит рассеивания (диссипации) энергии. Система считается автономной, если на нее не действуют внешние силы.

Так как механическая аналогия широко используется для представления движения широкого класса систем, приведенные выше понятия аналитической механики могут быть соответствующим образом обобщены.

С этой точки зрения энергетическая характеристика движения в общем случае может быть сформулирована, например, как некоторая квадратичная форма, определенная на скорости движения. Конкретный вид указанной квадратичной формы зависит от принятой интерпретации понятия кинетической энергии для рассматриваемого класса систем.

Аналогично потенциальная энергия в обобщенном понимании представляет собой вид энергии, зависящий от значений координат системы, ее местоположения. Потенциальная энергия в обобщенном смысле также может быть представлена как некоторая квадратичная форма, определенная на координатах системы.

В этой связи рассмотрим линейную стационарную систему второго порядка общего вида

a2 y a1 y a0 u .

(4.5)

При условии, что рассматриваемая система является автономной и консервативной, подстановка в уравнение движения системы (4.5) выражений кинетической (4.1) и потенциальной (4.2) энергии приводит к уравнению движения

my kP y 0 .

(4.6)

Уравнение (4.6) приводится к виду

		y 2 y 0	(3.7)
		0
при kp m . Общее решение уравнения (3.7)
		y Acos 0t B sin 0t ,	(3.8)
110

Физика процессов в автономной консервативной системе иллюстрируется графиками на рис. 4.2.9.

Из рассмотрения графиков (рис. 2.4.9) видно, что возникновение колебаний в системе основано на чередовании переходов кинетической энергии в потенциальную и обратно. На максимуме отклонения координаты кинетическая энергия обращается в нулевое значение. Однако здесь достигается максимум потенциальной энергии, которая стремится вернуть координату в положение равновесия. При возврате значения координаты в положение равновесия достигается максимум кинетической энергии и минимум потенциальной. Обладая кинетической энергией, система по инерции проходит положение равновесия и снова достигает максимума отклонения координаты. При этом кинетическая энергия переходит в потенциальную. Так как в консервативной системе отсутствует рассеивание энергии, суммарная энергия системы остается постоянной. Таков физический механизм колебаний.

y

t

EK

t

EP

t

Рис. 2.4.9. Графики изменения значений координаты и составляющих энергии консервативной системы

В случае автономной диссипативной системы подстановка в уравнение движения (3.6) выражений для различных составляющих энергии системы (3.1)-( 3.3) приводит к уравнению движения

					my kR y kP y 0.										(3.9)
Решение уравнения (9) имеет вид
		y e ct ( Acos t B sin t) ,													(3.10)
								к		к
где
		kR
с 0,5												kP	.
				,		2		c2 ,							(3.11)
		m			к	0				0		m
								111

Таким образом уравнение (3.9) определяет затухающие колебания в системе. Численно затухание определяется величиной c - логарифмическим декрементом затухания. При этом в системе

наблюдается срыв колебаний при условии c 0 , где 0	- автоколебания в
консервативной системе.
Если в системе происходит генерация энергии, то уравнение
движения имеет вид
my (kR kS ) y kP y 0 ,	(3.12)

где kS - коэффициент, характеризующий поставку энергии в систему. Решение уравнения (3.12)

y ect ( Acos t B sin t) ,

(3.13)

к

к

где

kR kS

с 0,5

kP

.

,

k

S

k

R

,

2

c2 ,

(3.14)

m

к

0

0

m

Из выражения (3.13) следует, что уравнение (3.12) определяет рост

колебаний в

системе.

Численно рост

определяется величиной

c -

логарифмическим инкрементом роста. При этом в системе также наблюдается срыв колебаний при условии c 0 .

Рост колебаний в системе определяет рост поставляемой энергии

E			1	k		y2 .	(3.15)
	S				S
		2
В случае если внешний источник энергии имеет ограниченную
мощность, величина коэффициента kS будет убывать при							возрастании
величины y2 . Другими словами,						система будет являться	нелинейной

относительно коэффициента kS . Состояние равновесия будет достигнуто

при kS kR . При этом в системе установятся автоколебания
y A0 cos 0t B0 sin 0t .	(3.16)

В данном случае приток энергии извне компенсирует рассеивание энергии в системе.

Автоколебания (3.16), установившиеся в нелинейной системе

my kR kS ( y) y kP y 0

(3.17)

будут устойчивыми. Действительно, если в вследствие случайных колебаний энергия значение коэффициента kS возрастет, и в

установившемся состоянии в системе уменьшится, то соответствии с формулами

процесса (3.13)-(3.15) амплитуда процесса возрастет до установившегося состояния (3.16). И наоборот, если энергия в системе возрастет, значение коэффициента kS снизится, и система вернется в установившееся

состояние.

112

Рассмотрим поведение системы (3.9) под внешним воздействием.

В этом случае дифференциальное уравнение, описывающее динамику процессов в системе, имеет вид

my kR y kP y u(t) ;

(3.18)

В рассматриваемом случае процесс на выходе системы будет состоять из двух компонент:

-свободной составляющей движения (3.10), определяемой решением однородного дифференциального уравнения (3.9);

-вынужденной реакцией системы.

Свободная составляющая движения системы была уже рассмотрена выше, см. (3.13). Поэтому здесь рассмотрим более подробно вынужденную реакцию системы.

Если внешнее воздействие имеет синусоидальный вид

u(t) Uc cos t Us sin t ,

(3.19)

то вынужденная реакция системы, движение которой описывает уравнение (3.18), будет также синусоидальной:

y(t) Yc cos t Ys sin t .

(3.20)

Для исследования решений уравнения (3.18) удобно использовать представления процессов с помощью комплексных чисел. С этой целью в теории управления широкое распространение получило преобразование Лапласа для сигналов, определенных в положительные моменты времени:

- прямое преобразование Лапласа

		U (s) u(t)e st dt ;				(3.21)
				0
	- обратное преобразование Лапласа
		1		c j
	u(t)			U (s)est ds ,	t 0 .	(3.22)
			2 j
				c j
	Переменная s здесь является комплексной переменной:					s c j , где
	c - абсцисса сходимости преобразования,				- круговая частота. Таким

образом, здесь est e ct (cos t j sin t) .

Применяя преобразование Лапласа к процессам (3.19), (3.20),

получим их изображения по Лапласу
U(s)	{u(t)}, Y (s) {y(t)}.	(3.23)

Подстановка изображений процессов (3.23) в дифференциальное уравнение (3.18) приводит к выражению данного уравнения в комплексной плоскости:

ms2Y (s) k	R	sY (s) k Y (s) U (s) .	(3.24)
		P
Из уравнения (3.24) следует
Y (s) W (s)U (s) ,			(3.25)
		113

где
1
W (s)					.	(3.26)
	ms2 k	R	s k
				P

Соотношение (3.25) определяет в комплексной плоскости решение уравнения (3.18). Особенностью данного операционного подхода является то, что он переводит решение рассматриваемой задачи из дифференциальной формы в алгебраическую. Тем самым решение задачи значительно упрощается.

В классической теории управления функция W (s) называется передаточной функцией. Это связано с информационной трактовкой выражения (3.25) как преобразования входного сигнала U(s) в выходной Y (s) . Таким образом, передаточная функция W (s) характеризует преобразование сигналов, их ориентированную связь U(s) W ( s) Y (s) .

Передаточные функции систем относительно гармонических воздействий характеризуются амплитудной и фазовой частотными характеристиками:

Aw ( )		ReW ( j ) 2 ImW ( j ) 2 =						W ( j )W ( j )		,	(3.27)
			( ) arctg	ImW ( j )		;					(3.28)
		W		ReW ( j )
где Re( ) ,	Im( ) -		операции взятия вещественной и мнимой								частей

комплексных чисел соответственно. Физически амплитудная частотная характеристика определяет коэффициент усиления (ослабления) амплитуды гармонических колебаний, при их прохождении через систему. Соответственно, фазовая частотная характеристика определяет соответственно запаздывание (опережение) колебаний по фазе.

Для динамической системы, представляемой передаточной функцией (3.26) с учетом (3.14), амплитудная частотная характеристика имеет вид

AW	( )			1			.	(3.29)
			m2 ( 2 )2 (k
					)2
	0			R
Из зависимости (3.29)				следует,	что максимальное			значение

амплитудная частотная характеристика имеет на частоте 0 , которая

является частотой резонанса системы (3.18). Величина амплитудной частотной характеристики на частоте резонанса определяется коэффициентом рассеивания энергии kR . При kR 0 величина

амплитудной частотной характеристики неограниченно возрастает Aw

.

2.4.4. Решение дифференциальных уравнений линейных

114

стационарных систем в интегральной форме.

Для дифференциальных уравнений одномерных систем

	N( p) y(t) M ( p)u(t) ,					(4.1)
	где N ( p) , M ( p) - полиномы от оператора p			d ( )	,	общее решение
				dt
	состоит из двух составляющих:
	- общего решения при нулевом входе и ненулевых начальных
	условиях
	yc (t) ci i (t) ,					(4.2)
		i
	где i (t) - базисные функции решения при нулевом входе,					ci - константы,
	определяемые ненулевыми начальными условиями;
	- частного решения при ненулевом входе и нулевых начальных
	условиях
	y(t)	M ( p)	u(t) .			(4.3)
		N ( p)

Операторное решение (4.3) может быть представлено в виде передаточного оператора

y(t) W ( p)u(t) ,

(4.4)

Используя преобразование Лапласа, операторное выражение (4) можно представить в виде передаточной функции

y(s) W (s)u(s) .

(4.5)

Применяя обратное преобразование Лапласа к выражению (4.5) получим выражение частного решения уравнения (4.1) во временной области

t
y(t)	u( )w(t )d u(t )w( )d ,	(4.6)
	0

где w( ) - весовая функция системы.

Физический смысл весовой функции системы состоит в следующем. Пусть на вход динамической системы подано входное воздействие в

виде единичной ступенчатой функции

0, при t 0,
1(t)	при t 0.	(4.7)
1,

Соответствующая реакция системы называется переходной функцией

t
h(t)	1( )w(t )d 1(t )w( )d ,	(4.8)
	0

Из (4.8) следует, что весовая функция представляет собой производную переходной функции

115

x = Ax + Bu .

		d
	w(t) h(t)		1(t )w( )d (t )w( )d ,	(4.9)
		dt
	0		0

где (t) - дельта функция - обобщенный импульс при t 0, интеграл которого представляет собой единичную ступенчатую функцию. Таким образом, весовая функция представляет собой реакцию системы на единичный импульс (t) . По этой причине весовая функция называется также импульсной переходной функцией.

Для многомерного случая основные соотношения будут аналогичными. Здесь передаточный оператор линейной стационарной системы будет иметь вид

y(s) W(s)u(s) ,

(4.10)

где u(s) - вектор входных воздействий, y(s) - вектор выходных реакций, W(s) - передаточная матрица.

Частное решение многомерной линейной стационарной системы при нулевых начальных условиях во временной области

t
y(t)	W(t )u( )d W( )u(t )d .	(4.11)
	0

Здесь W( ) - матричная весовая функция динамической системы.

Далее рассмотрим дифференциальные уравнения линейной стационарной системы, представленные в нормальном виде для общего многомерного случая

x = Ax + Bu,

(4.12)

y = Cx + Du;

где x - вектор состояния; A , B , C , D - матрицы коэффициентов. Основной проблемой здесь при определении зависимости y от u является решение дифференциального уравнения Вследствие линейности системы данное дифференциальное уравнение можно исследовать по каждому входу отдельно. Поэтому рассмотрим более детально дифференциальное уравнение с одним входом

x = Ax + bu,

(4.13)

где b - вектор коэффициентов.

Решение уравнения (4.13) состоит из двух слагаемых: общего

решения однородного уравнения при нулевом входе
x = Ax,	(4.14)

и частного решения исходного неоднородного уравнения (4.13) при нулевых начальных условиях.

116