Т2 Аналитические представления

Ax x .

Для получения общего решения однородного уравнения (4.14) вводится специальная функция - матричная экспонента, определяемая выражением

	exp(At) I At ... Ak	tk		... ,	(4.15)
		k !

С использованием (4.15) можно показать, что решением матричного дифференциального уравнения

	(t) A (t) ,		(0) I.
является матричная функция		(t) = exp(At) .
Соответственно общее решение однородного уравнения
	x = Ax, x(t0 ) x0				(4.16)
будет иметь вид
	x(t) exp(At)x0 .				(4.17)
Вынужденная составляющая реакции системы (4.13)
	t
	x(t) exp A(t ) bu( )d .				(4.18)
	t0
В целом общее решение дифференциального уравнения (4.13) имеет
вид
		t
x(t) exp(At)x0		exp A(t bu( )d .			(4.19)
		t0
Рассмотрим	структурные		свойства	общего	решения

дифференциального уравнения (4.13).

При исследовании структурных свойств решений линейных дифференциальных уравнений вида (4.13) первостепенное значение имеют понятия собственного числа и собственного вектора матрицы A , которая составляет базовое ядро динамики процессов, описываемых данным уравнением.

Собственные числа и собственные векторы матрицы A определяются решениями матричного уравнения

(4.20)

Смысл решений матричного уравнения (20) состоит в том, что собственные вектора φi "проходят" через линейное преобразование A , не меняя своего направления, изменяется только длина вектора на скалярную величину . Поэтому применение линейного преобразования A к собственному вектору φi можно заменить умножением данного вектора на скаляр , что значительно упрощает анализ свойств преобразования A .

Собственные числа матрицы A могут быть определены как решения

характеристического уравнения
( ) det(A I)=0 ,	(4.21)
117

где det( ) - операция вычисления определителя матрицы.

Для простоты изложения будем полагать, что решения уравнения (4.19) 1, 2 , ..., n являются различными и в общем случае

комплексными. Тогда матрица A имеет n собственных линейно независимых векторов φ1, φ2, ..., φп. Будем предполагать, что система собственных векторов матрицы A является ортогональной и

нормированной.	В	этом	случае	функциональное	матричное
преобразование exp(At)x может быть представлено в виде
			n
	exp(At)x e it x, i			i .	(4.22)

i 1

Здесь x, i - скалярное произведение векторов x, i :

			n
	x, i x j ij ,
			j 1
где x j , j - j -ые компоненты соответствующих векторов.
В итоге общее решение (4.19) уравнения (4.13) может быть
представлено в виде
n	t		n	i
x(t) e it x0 , i	i		e i (t ) b,		i u( )d .	(4.23)
i 1	t	i 1
	0

Данный результат соответствует приведенным ранее результатам по общей структуре решения систем линейных стационарных дифференциальных уравнений.

В нестационарном случае, когда матрица A уравнения (13) зависит от времени, выражение общего решения (4.23) имеет аналогичный вид

	t
x(t)	(t, t0 )x0	(t, )bu( )d .

t0

Здесь матрица (t, t0 ) - переходная матрица состояний, которая может

быть представлена в виде совокупности фундаментальных решений однородного нестационарного уравнения.

	d	(t, t0 ) A(t) (t, t0 ) ,	(t0 , t0 ) I .
	dt

2.4.5. Свойства динамических систем в обобщенных функциональных пространствах38.

38 Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. -М.: Наука, 1968.

Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1970.

118

Введем абстрактное функциональное пространство U , определенное на множестве элементов произвольной природы ui . В теории динамических систем в качестве такого множества выступает множество

реализаций некоторого процесса u(t) . В частном случае		элементы	ui
представляют собой числовые векторы.
Функциональное пространство U	будем считать	эвклидовым.
Характерной особенностью эвклидовых	пространств является то,		что

элементы указанных пространств рассматриваются как обобщенные векторы, и для них определено скалярное произведение.

Скалярное произведение в эвклидовом пространстве U называется числовая функция u, v двух векторов, удовлетворяющая следующим

условиям:

1) u, v v, u 39,

2) u, v1 v2 u, v1 u, v2 , 3) u, v u, v ,

4) u, u 0 , причем u, u 0 только при u 0 .

Например, в качестве скалярного произведения можно использовать интеграл

T

u, v u(t)v(t)dt ,

0

в дискретном случае

nT

u, v u(tk )v(tk ) .

k0

Вэвклидовом пространстве вводится норма с помощью формулы

u			u, u .

Для норм справедливо неравенство Коши-Буняковского

u, v

u

v

.

Наличие в U скалярного произведения позволяет определить в этом пространстве не только норму (т. е. длину) обобщенного вектора, но и угол

между векторами.

Так угол uv

между векторами u и

v определяется

формулой

cos uv

u

,

v

.

(5.1)

u

v

Если u, v

0, то из (5.1) получаем

; в этом случае векторы

2

u и v считаются

ортогональными. С точки

зрения

интерпретации

39 В случае комплексных чисел, второй элемент скалярного произведения здесь берется комплексно сопряженным.

119

векторов u и v как процессов, такие процессы являются некоррелированными между собой. В общем случае процессы являются коррелированными между собой, и угол uv представляет собой меру этой

корреляции.

Система ненулевых векторов { i } из U называется ортогональной,

если

i , j 0 при i j .

Если ортогональная система { i } полна (т. е. наименьшее ее

содержащее замкнутое пространство есть все U ), то она называется ортогональным базисом. Если при этом норма каждого элемента равна единице, то система { i } называется ортогональным нормированным

(ортонормированным) базисом.

Используя ортогональный нормированный базис, можно получить разложение произвольного элемента u U по координатам базиса. С этой целью сопоставим элементу u последовательность чисел

u		u,	,	0, 1, 2, ... ,

которые называются координатами элемента u по ортогональной системе

координатных функций { }. В этом случае справедливо разложение в ряд
u
		u	.	(5.2)

Разложение (5.2) сходится к элементу u при условии полноты ортогонального базиса в U .

Отметим также равенство Парсеваля для полных ортонормированных базисов

u2 u 2 .

1

Примеры. Рассмотрим некоторые примеры эвклидовых пространств и ортогональных базисов в них.

10. n -мерное координатное пространство Rn , элементами которого служат системы действительных чисел

x(x1, x2 , ..., xn ) ,

собычными операциями сложения и умножения в нем и скалярным

произведением

n

x, y xi yi

i 1

представляет собой хорошо известный пример эвклидова пространства. Ортогональный нормированный базис в нем, например, образуют векторы

120

e1 (1, 0, 0, ..., 0) e2 (0, 1, 0, ..., 0) e3 (0, 0, 1, ..., 0) en (0, 0, 0, ..., 1).

20. Пространство C[t0 , tT ] , состоящее из непрерывных на [t0 , tT ] действительных функций, со скалярным произведением

		tT
x, y		x(t) y(t)dt	(5.2.1)
		t0

также представляет собой эвклидово пространство. Среди ортогональных базисов, которые можно указать в нем, важнейшим является система синусоидальных гармоник

	1	, cos k t,	sin k t			(k 1, 2, ...) ,		(5.2.2)
2		0			0
где
				2	,	T t	t .
			0	T0		0 T	0
Разложение некоторой суммируемой функции								u(t) в ряд Фурье в

ортогональном базисе (5.2.2) в предельном переходе к бесконечному

	интервалу времени ( t0 , tT )			приводит к	интегральному
	выражению
		1
	u(t)		U ( j )e j t d .		(5.2.3)
		2
	Здесь экспоненциальная функция e j t			представляет	синусоидальные
	гармоники в комплексной форме
	e j t		cos t j sin t .

Применение формулы скалярного произведения (5.2.1) в базисе (5.2.2) в указанном предельном переходе приводит к следующему интегральному выражению

U ( j ) u(t)e j t dt .	(5.2.4)
Выражение (5.2.4) определяет прямое преобразование Фурье
функции u(t). Соответственно выражение (5.2.3)	определяет обратное

преобразование Фурье. На основе прямого преобразования Фурье определяется разложение функции u(t) на сумму гармоник разных частот, играющих роль ортогонального базиса эвклидового пространства C[t0 , tT ] .

Данная сумма носит дискретный характер для функций, определенных на

121

s j .

конечном интервале времени [t0 , tT ], и непрерывный характер для функций, определенных на бесконечном интервале времени ( , + ) . При этом частотная характеристика функции u(t) определяется ее преобразованием Фурье U ( j ) .

Частотная характеристика U ( j ) , как функция комплексной переменной, может быть представлена в виде

U ( j ) A( )e j ( ) .

Здесь A( ) - амплитудная

частотная

характеристика, ( ) -

фазовая

частотная характеристика функции u(t) .

Частотный спектр функции u(t) определяется выражением

S( ) U ( j )U ( j ) A2 ( ) .

Норма функции u(t) соответственно может быть определена с

использованием формул

1

1

u

2 u2 (t)dt

U ( j )U ( j )d

S( )d .

2

2

Как уже было

сказано, в

теории

управления

широкое

распространение получило преобразование Лапласа для сигналов, определенных в положительные моменты времени:

- прямое преобразование Лапласа

	U (s) u(t)e st dt ;				(5.2.5)
			0
	- обратное преобразование Лапласа
		1	c j
	u(t)		U (s)est ds ,	t 0 .	(5.2.6)
		2 j
			c j

Переменная s здесь является комплексной переменной: s c j , где c

- абсцисса сходимости преобразования,	- круговая частота. Таким
образом, здесь est e ct (cos t j sin t) .	Положительной особенностью

преобразования Лапласа является то, что интеграл (5.2.5) сходится для более широкого класса функций по сравнению с преобразованием Фурье. Однако преобразование Лапласа определено только для процессов для интервала времени t 0 . Переход к частотным характеристикам процессов здесь осуществляется путем замены

30. Многочлены Лагерра		L (t)	являются	примером ортогональных
функций, определенных на интервале t (0,				) . Многочлены Лагерра
определяются рекуррентным соотношением
L	(t) (2 1 t)L (t) 2 L				(t) .
1				1
			122

Первые три многочлена

L0 1,
L1 t 1,
L	t2 4t 2.
2
Условия ортогональности
	0,			( )
e t L (t)L (t)dt			2		( = ).
0	( !)
______________________________
Принимая во внимание приведенные выше примеры, в случае, когда
элементы u U представляют	собой	реализации процессов,							будем
полагать, что координатные	функции					ортогонального			базиса
упорядочены по индексу таким образом,
				что функции				с бóльшим

значением индекса обладают более высоким частотным спектром по

сравнению с функциями, имеющими меньшее значение индекса . В этом случае координатные функции можно считать обобщенными

гармониками, значения индекса - обобщенными частотами, значения координат u - обобщенными коэффициентами Фурье, ряд (5.2) –

обобщенный гармонический ряд Фурье.

_______________________

Важную роль в функциональном анализе играют линейные отображения, определяемые в линейных пространствах40.

Пусть U и Y - два линейных пространства. Линейным отображением, действующим из U в Y , называется отображение

y Lu ( u U , y Y ),

удовлетворяющее условию

L( u1 u2 ) Lu1 Lu2 .

Полагая, что линейные пространства U и Y являются функциональными пространствами, отображения, действующие в этих пространствах, будем называть операторами, понимая их в обобщенном смысле.

Оператор L называется непрерывным, если для любого 0 существует такое 0, что из неравенства

40 Пространство считается линейным, если для составляющих его элементов определены обобщенные операции сложения и вычитания, а также умножения на число, удовлетворяющие базовым алгебраическим свойствам сложения и умножения. Кроме того, в линейном пространстве определены нулевой и единичный элементы (обобщенный нуль и единица).

123

u1 u2				,	u1, u2 U

следует

Lu1 Lu2 .

Оператор L называется ограниченным, если он отображает всякий шар u r в ограниченное множество.

Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь: всякий непрерывный оператор ограничен.

Для ограниченного оператора L существует такая постоянная C , что для всякого u U

Lu C u .

Наименьшее из чисел C , удовлетворяющих этому неравенству, называется

нормой оператора L и обозначается L .

Для любого

ограниченного

оператора

L , действующего

из

нормированного пространства в нормированное,

L

sup

Lu

sup

Lu

.

u

u

1

u 0

Пусть LA

и

LB - два линейных оператора, действующих из

нормированного пространства U в нормированное пространство Y .

Их

суммой LA LB

называется оператор

LC , ставящий в соответствие

элементу u U элемент

y LAu LBu,

y Y .

Суммарный оператор LC LA LB

является линейным и непрерывным,

если исходные операторы LA и LB - непрерывны. Если операторы LA и LB

- ограничены, то суммарный оператор LC тоже ограничен, причем

LC

LA

LB

.

Произведением LB LA операторов LA

и LB

называется оператор LC ,

определяемый выражением

y LB LAu .

Если LA и LB - ограниченные операторы, действующие в нормированных пространствах, то и оператор LC LB LA ограничен, причем

LC u LB LAu LB LA u .

Оператор	LA называется	обратимым, если для		любого y YA
уравнение
		LAu y
имеет единственное решение.
Если LA	обратим, то	каждому y YA	можно	поставить в
соответствие единственный элемент u UA ,			являющийся решением
		124

уравнения LAu y . Оператор, осуществляющий это	соответствие,
называется обратным к LA и обозначается LA1 .
____________________________
В случае линейных динамических систем оператор системы можно
представить в виде41
y L( ; u) L( ; 0) L(0; u) ,	(5.3)

где - начальное состояние системы, u - входное воздействие. Движение системы здесь раскладывается на две составляющие: свободное движение от "начального возбуждения" при нулевом воздействии и вынужденное движение (реакция) системы от внешнего воздействия u при нулевом начальном состоянии.

На основании линейности системы (5.3) задача определения реакции при нулевом состоянии L(0; u) или, для краткости - Lu, можно свести к задаче, когда u разлагается на простые составляющие 1, 2 , ... и далее

определяются реакции при нулевом состоянии на каждую реакцию в отдельности.

Предположим, что входное воздействие u и реакция системы y принадлежат одному и тому же пространству U : u, y U . Линейное подпространство U U называется инвариантным по отношению к оператору L , если L(U ) U , т. е. если для каждого u U справедливо соотношение Lu U . В этом случае сужение L оператора L на область определения U можно рассматривать как оператор L , определенный на одном только подпространстве U . Другими словами, мы можем

игнорировать преобразования оператором L тех векторов, которые не попадают в U .

В целом пространство U может быть разложено на множество инвариантных подпространств {U : = 0, 1, 2, ...} оператора L таких, что

U U1 U2 ... ,

которые позволяют осуществить приведение оператора L к множеству его сужений {L : = 0, 1, 2, ...}. Подобное приведение в ряде случаев

позволяет значительно упростить анализ свойств оператора L .

В общем случае реакция системы y может принадлежать другому пространству Y , отличному от U . Для данного случая можно определить упорядоченные пары инвариантных подпространств U , Y , для которых из условия u U следует y Y . Здесь аналогично сужение L оператора

41 Заде, Л. Теория линейных систем. (Метод пространства состояний) / Л. Заде, Ч. Дезоер: под ред. Г. С. Поспелова; пер. с англ. - М.: Наука, 1970. – С. 179.

125

L на область определения U можно рассматривать как оператор L , определенный на одном только подпространстве U , Y .

В качестве примера подобного сужения можно указать преобразование Фурье u( j ), y( j ) вектор-функций u(t) , y(t) , где ω - частота представления. Линейный стационарный оператор L в этом случае представляется в виде матричной передаточной функции W ( j ) , что существенно упрощает анализ преобразовательных свойств оператора, сводя его к рассмотрению алгебраической операции умножения

y( j ) W ( j )u( j ) .

Аналогично для случая использования преобразования Лапласа y(s) W (s)u(s) .

_________________________________

В теории линейных операторов большое значение имеют собственные векторы операторов, являющиеся частным случаем инвариантных подпространств. Рассмотрим данный вопрос более подробно. С этой целью приведем следующие определения.

Собственный вектор (характеристический вектор) линейного оператора LA в эвклидовом пространстве U есть такой вектор i U , что

LA i i i	( i 0 ),	(5.4)
где i - некоторый скаляр, называемый собственным		значением
(характеристическим значением) оператора LA , соответствующим
собственному вектору i .
Если собственному значению i	соответствует ровно mi	1 линейно
независимых собственных векторов,	то mi называется геометрической

кратностью собственного значения i . Алгебраической кратностью mi

собственного значения i называется алгебраическая кратность числа i ,

как решения уравнения (26). Алгебраическая кратность mi больше или равна геометрической кратности mi собственного значения i .

Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям одного и того же линейного оператора, линейно независимы.

Спектром ограниченного линейного оператора LA в полном

векторном пространстве U называется множество всех комплексных чисел

(спектральных значений, собственных значений) , для которых

уравнение

LAu u y

не имеет для каждого заданного вектора y единственного решения u (LA I ) 1 y .

126