Т2 Аналитические представления

времени вследствие инерционности, присущей реальным физическим процессам. Поэтому ограничения

ts tk , tl tk ,

(1.10)

наложенные на рекуррентный процесс (1.9), являются условиями его физической реализуемости. Связи процессов, определяемые рекуррентным выражением (1.9) при условиях (1.10) являются связями с запаздывающим действием (инерционные связи).

В идеализированных случаях возможно выполнение нестрогих условий

ts tk , tl tk .

(1.11)

Действия, удовлетворяющие условиям (1.11), являются неупреждающими. Подобные действия проявляются без запаздывания, мгновенно. Поэтому в данном случае связи процессов являются связями с безынерционным действием (безынерционные связи).

С математической точки зрения рекуррентное соотношение (1.9) может быть также определено и при условиях

ts tk , tl tk .

(1.12)

Такие действия являются упреждающими и физически нереализуемыми. Однако если удается тем или иным физически реализуемым способом

получать		прогноз	будущих		значений		процессов
{u (t ) : t	t	, l k 1, k 2,	...},	{y (t ) : t	t	, l k 1,	k 2, ...} ,	то
l l	k			l l	k

соответствующее рекуррентное соотношение будет определять связи процессов с прогнозируемым действием (прогнозирующие связи).

Далее, связь процессов называется статической, если она

определяется для статических процессов, постоянных во времени:
u(tk ) u const , y(tk ) y const .	(1.13)

В этом случае рекуррентное соотношение (1.9) вырождается в функцию
tk	y(tk ) g y(tk ) .	(1.14)

Функция (1.14) определяет статическую характеристику связи. В общем случае связи носят динамический характер.

При использовании рекуррентных соотношений вида (1.9) последовательности значений процессов

{u(tl ) : tl tk , l k 1, k 2, ... , k nu},

(1.15)

{y(ts ) : ts tk , s k 1, k 2, ... , k ny}.

определяют предысторию рассматриваемой динамической связи процессов относительно текущего момента времени tk . Значение выходного процесса

на текущий момент времени зависит от его предыстории. При этом величина интервала времени предыстории [tk nu , tk ], из которого значения

87

(1.15) входного процесса u(tl ) учитываются в динамической

характеристике связи (1.9), определяет память динамической связи.

Для начала рекуррентного вычислительного процесса (1.9) в начальный момент времени t0 необходимо знать начальные условия, которые в данном случае определяются предысторией выходного процесса

{y(ts ) : s 0, 1, 2, ... , (ny 1)}.

(1.16)

Однозначное определение выходных процессов основывается на использовании понятия состояния динамической системы. Так в рассматриваемом случае описания динамических связей рекуррентным соотношением (1.9) состояние динамической системы определяется совокупностью исходной информации (1.16) на начальный момент времени t0 , достаточной для однозначного определения выходного

процесса системы в последующие моменты времени {tk : k 0}. Для

других форм описания динамических связей в роли состояния могут быть использованы любые дополнительные условия, позволяющие однозначно определять реакцию объекта на входное воздействие.

В итоге динамику преобразования входного процесса в выходной

можно описать выходной функцией
yT G , uT ,	(1.17)

где - состояние динамической системы.

В зависимости от природы рассматриваемых объектов и процессов, а также решаемых задач, интерпретация переменной может быть самой различной.

_______________________________________________________

Рассмотрим представления динамики процессов на основе использования пространства состояний. Рассмотрение начнем с обобщенной постановки задачи исследования динамических связей.

Пусть обобщенное выражение динамической связи в интегральной форме имеет вид

			у [t	, t	]	= G(σ, и [t	, t		] ), σ Σ,	(1.18)
			0	T		0	T
где и [t	, t ] ,	у [t	, t ]	-		входной и		выходной процессы,		представляемые
0	T	0	T

вектор-функциями, определенными на интервале времени [t0, tT]; Σ - пространство состояний.

Рассмотрим вопрос: каким образом можно выразить интегральную зависимость (1.18) в дифференциальной форме, при которой реализации процессов будут в явном виде выражены как функции времени? Ответ на данный вопрос зависит от класса процессов, происходящих в объекте. Так динамические системы можно разделить на два класса: автоматические системы и системы с дискретными событиями. Поведение

88

автоматических систем тактировано во времени. В системах с дискретными событиями время наступления событий играет иную роль - информационного параметра, который может вычисляться в зависимости от ситуации, складывающейся в системе, и оказывать существенное влияние на ее поведение. Эту разницу можно отразить, например, через представления событий в соответствующих системах. Так, в автоматических системах события обозначаются в виде функций времени y(tk ) . Для систем с дискретными событиями рассматриваются

соответствующие потоки событий – моментов времени возникновения событий {tk } и значений параметров событий {уk }. В частном случае

системы с дискретными событиями могут характеризоваться лишь потоками моментов времени возникновения событий {tk }. Аналитический

расчет систем с дискретными событиями весьма сложен и реализуется, как правило, для относительно простых систем. Поэтому основным методом исследования систем с дискретными событиями является вычислительное моделирование.

С учетом сказанного рассмотрим описание процессов в автоматических системах, структуру которых можно детализовано исследовать аналитическими методами.

Характерной особенностью автоматических систем является то, что выходная функция (1.18) обладает свойством сочленения процессов. Это означает следующее.

Пусть процесс на входе системы u[t0 , tT ] на интервале времени [t0 , tT ] может быть представлен как объединение двух следующих друг за другом

составляющих процессов u((1)t , t ] ,		u((2)t, t	] на интервалах (t0 , t] , (t, tT ] :
	0	T
u(t , t ]	= u((1)t , t ] ,		u(t, t ]	= u((2)t, t ] .
0		0	T	T

Выходная функция (18) будет обладать свойством сочленения процессов,

если для каждых 0 и	u[t , t ] найдется			t , определяемое некоторой
	0	T
функцией
	t	F( 0 , u(t , t ] ) ,
			0 T
при котором процесс на выходе
	y(t , t ] G(		0 , u(t , t ] )
	0	T	0	T
будет составлен из двух следующих друг за другом частных процессов:
y(t , t ] G(	0 , u(t , t ] ) ,		y(t, t ]	G( t	, u(t, t ] ) .
0		0	T		T
Естественно определить состояние 0			как начальное состояние 0 x(t0 ) ,
а состояние t - как текущее состояние t x(t) .

Смысл приведенного свойства сочленения процессов состоит в том, что для описания процессов в системе достаточно использовать две функции:

89

переходную функцию состояния
	x(t) F x(t0 ),			u(t , t ] ,		(1.19)
				0
и выходную функцию			x(t),	u(t, t ] .
	y(t, t ] G					(1.20)
		T		T
Уравнения	(1.19),	(1.20)	представляют		собой	уравнения
«вход-выход-состояние»		в		интегральной	форме.	Если
продифференцировать35		уравнение (1.19) и осуществить предельный
переход tT	t в уравнении (1.20),			то в результате можно		получить
уравнения «вход-выход-состояние» в дифференциальной форме
	x(t) f x(t),			u(t) ,		(1.21)
	y(t) g x(t), u(t) .					(1.22)

Уравнения (1.21), (1.22) описывают поведение стационарной нелинейной динамической системы. В нестационарном случае уравнения имеют вид

x(t) f x(t), u(t), t , y(t) g x(t), u(t), t .

Для линейной нестационарной системы уравнения следующие x(t) A(t)x(t) B(t)u(t) ,

y(t) C(t)x(t) D(t)u(t) .

В стационарном случае

x(t) Ax(t) Bu(t) ,

y(t) Cx(t) Du(t) .

Здесь A , B , C , D - матрицы коэффициентов.

В вырожденных случаях, когда входное воздействие u(t) отсутствует, мы имеем автономную систему

x(t) f x(t) , y(t) g x(t) .

Если состояние системы единственно, то получаем обычную статическую векторную функцию

y(t) g u(t) .

Если дискретизировать приведенные уравнения на основе какоголибо численного метода интегрирования дифференциальных уравнений, то получим дискретный вариант уравнений «вход-выход-состояние»

35 В отличие от изложения выше, где природа характеристик процессов считалась произвольного вида, здесь полагается, что характеристики процессов в системе являются числовыми вектор-функциями.

90

x(tk 1 ) f x(tk ), u(tk ), tk ,

y(tk ) g x(tk ), u(tk ), tk ;

k 0, 1, 2, …

Аналогичную форму имеют уравнения для автоматов:
- автомат Мили
xk 1 f xk , uk ,
yk g xk , uk ;		k 0, 1, 2, …
- автомат Мура
xk f xk 1, uk ,
yk g xk ;	k 0, 1, 2, …

В частном случае, когда в наличии имеется лишь одно состояние, автомат называется автоматом без памяти и представляет собой логическую схему.

Обратим внимание, что приведенные две последние схемы автоматов могут быть определены на переменных, которые принимают значения на множествах элементов произвольной природы. Поэтому данные схемы носят общий характер.

2.4.2. Представления процессов в линейных стационарных динамических системах.

Прежде всего, необходимо отметить, что процессы в линейных стационарных динамических системах, могут быть самыми разнообразными. При рассмотрении данных процессов будем использовать индуктивный подход, который состоит в изучении сначала типовых частных процессов, а затем в переходе к изучению общих свойств динамики процессов в целом.

Таким образом, остановимся сначала на типовых частных видах процессов. К таким процессам относятся процессы полиномиального и экспоненциального роста, затухающие процессы, колебательные и их комбинации.

Например, процессы в контурах с положительной обратной связью во многих случаях характеризуются экспоненциальным ростом. Это связано с тем, что процессы, последовательно проходя преобразования в контуре с положительной обратной связью, циклически усиливаются пропорционально своей величине. Это наглядно можно видеть на вычислительном примере.

Экспоненциальная функция Aect в общем случае является решением дифференциального уравнения

y cy 0,	(2.1)
91

которое выступает как порождающее уравнение процесса экспоненциального роста.

В дискретном варианте, который можно получить, например, на основе явного метода Эйлера интегрирования дифференциальных уравнений36, уравнение (2.1) имеет вид

	yk 1	Hk 1 yk ,			(2.2)
	Hk 1	1 c tk 1	; k 0, 1, 2, ...
	Из соотношений	(2.2) следует, что		величина Hk 1	1. Поэтому
	решение уравнения (1.1) определяет процесс экспоненциального роста.
	Отрицательные обратные		связи	способствуют	стабилизации

процессов. Поэтому контурам с отрицательной обратной связью присущи затухающие процессы.

Так, затухающие процессы во многих случаях могут быть

представлены в виде затухающей экспоненты	Ae ct . Данной экспоненте
соответствует дифференциальное уравнение
y cy 0,	(2.3)

В дискретном варианте, который можно получить, например, на основе неявного метода Эйлера интегрирования дифференциальных уравнений, уравнение (2.3) имеет вид

yk 1 Hk 1 yk ,

Hk 1				1	; k 0, 1, 2, ...	(2.4)
			c tk 1
	1
Из соотношений (2.4)				следует, что величина		Hk 1 1. Поэтому

решение уравнения (2.3) определяет процесс экспоненциального затухания.

Типовыми для контуров обратной связи являются периодические

колебательные процессы.
Так, колебательный процесс:
		y Acos t Bsin t ,				(2.5)
является решением дифференциального уравнения
36	Явный метод Эйлера численного интегрирования дифференциального
уравнения		y f (y, u, t)		основан на его дискретном	представлении в	виде
yk yk yk 1		tk f (yk 1, uk 1	, tk 1) . Неявный метод интегрирования Эйлера основан на
ином дискретном представлении исходного уравнения: yk					yk yk 1 tk f (yk ,	uk , tk ) .

Названия методов связаны с тем, что в первом случае неизвестная yk определяется

дискретным уравнением в явном виде, во втором случае – в неявном виде. Неявный метод Эйлера по сравнению с явным методом обладает более высокой помехоустойчивостью, поэтому используется для интегрирования дифференциальных уравнений с разнотемповыми процессами на фоне помех.

92

y 2 y 0 ,

(2.6)

где - круговая частота колебаний.

Порождающее дифференциальное уравнение для процесса (2.5) может быть представлено также в полярной системе координат.

Вполярной системе координат процесс (2.5) представляется в виде

const,

. (2.7)

Здесь - длина полярного радиуса, описывающего траекторию процесса,- угол между полярной осью и полярным радиусом. Связь между представлением процесса (2.5) и представлением (2.7) определяется формулами

t 0 ,

0

arc tg

B

.

A2

B2 ,

A

В пространстве состояний уравнение (2.6) принимает вид

x1

0

1 x1

,

(2.8)

2

x2

0 x2

y x1 ;

(2.9)

где y x2 . Здесь выражение (2.8) представляет собой уравнение перехода состояний x1 , x2 ; выражение (2.9) – выходная функция.

Соответствующие рекуррентные вычислительные выражения имеют

вид:

- для явного метода Эйлера

x1,k		x1,k 1			0		1 x1,k 1
				t		2	0			,
x2,k		x2,k 1						x2,k 1		,	(2.10)

yk x1,k ;

- для неявного метода Эйлера

x1,k			1
x2,k			0
yk	x1,k .

0		0			1		1 x1,k 1
		t		2					,	,	(2.11)
1					0		x2,k 1

Колебательные процессы могут иметь экспоненциально растущий или экспоненциально затухающий характер

y ect ( Acos t B sin t) .			(2.12)
Порождающее дифференциальное уравнение процесса (2.12)
a2 y a1 y a0 y 0 .			(2.13)
Связи параметров при условии ( a2	4a a 0 )
1	2	0

93

				c			a											4a a			a2
								1		,									2 0		1		.
							2a2												2a2
При условии ( a2	4a a 0 )						процесс (2.12)													вырождается в сумму двух
1	2		0
экспонент с показателями степеней
		a a2				4a a													a a2				4a a
c	1				1			2 0				,			c					1	1		2 0
1			2a2											2							2a2
В пространстве состояний уравнение (2.13) имеет вид
			x1					0						1				x1
									a0						a1								(2.14)
																				,
			x2						a2									x2
															a2
			y x1 ;																				(2.15)

где y x2 . Здесь выражение (2.14) представляет собой уравнение перехода состояний x1 , x2 ; выражение (2.15) – выходная функция.

Соответствующие рекуррентные вычислительные выражения имеют

вид:

- для явного метода Эйлера

x

x

0

1

x

1,k

1,k 1

t

a0

a1

1,k 1

,

x2,k

x2,k 1

x2,k 1

,

(2.16)

a2

a2

yk x1,k ;

- для неявного метода Эйлера

x1,k

0

1

1

x1,k 1

1 0

t

a0

a1

,

,

(2.17)

x2,k

0 1

a

2

a

2

x2,k 1

yk x1,k .

Для рассмотрения порождающих дифференциальных уравнений процессов общего вида, введем следующие дифференциальные операторы.

Дифференциальный оператор первого порядка записывается в виде

p	d ( )	.	(2.18)
	dt

Дифференциальные операторы более высокого порядка представляются как соответствующие алгебраические степени дифференциальных операторов первого порядка

pn	d n ( )		.	(2.19)
	dtn
		94

Дифференциальный оператор нулевого порядка соответствует алгебраической единице.

Математической операцией обратной операции дифференцирования является операция интегрирования

p 1

1

P

( )dt

,

(2.20)

p

1,0

где P

- постоянная интегрирования.

1,0

Оператор интегрирования n -го порядка

pn

n

i0

p n

1

P

ti 1

( )dtn ,

(2.21)

i 1

n

где Pi0 - постоянные интегрирования.

Введение дифференциальных операторов позволяет сводить операции дифференцирования к абстрактным операциям алгебраического умножения.

Сучетом введенных операторов продолжим рассмотрение процессов

вдинамических системах.

Процессы в динамических системах могут носить полиномиальный характер

n 1

y Pti . (2.22)

i

i 0

Порождающее дифференциальное уравнение процесса (2.22) y(n) pn y 0 .

Полиномиально-экспоненциальный процесс

n 1

y Pti ect

i

i 0

порождается дифференциальным уравнением

( py cy)n 0.

Полиномиально-гармонический процесс

n 1

y Ptiect ( Acos t B sin t)

i

i 0

(2.23)

(2.24)

(2.25)

порождается дифференциальным уравнением

(a p2 y a py a y)n 0 .			(2.26)
2	1	0

В общем случае процессы представляют собой наборы различных полиномиальных, экспоненциальных и гармонических составляющих

y

Ptl

P

tki

ecit

P

tk j

ec jt ( A

cos

t B

sin

t) . (2.27)

l

iki

ik j

j

j

j

j

i ki

l

j k j

Порождающее дифференциальное уравнение процесса (2.27)

95

pnl y ( py ci y)ni (a2 j p2 y a1 j py a0 j y)n j 0.

i j

(2.28)

На основе эквивалентных преобразований дифференциальное уравнение (2.28) приводится к виду

n	n
ai pi y ai y(i) 0 .		(2.29)
i 0	i 0

Дифференциальное уравнение (2.29) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами. Оно описывает свободное движение в автономной стационарной динамической системе, не подверженной внешним воздействиям. Данное движение инициируется ненулевыми начальными условиями.

Рассмотрим обратное преобразование дифференциального уравнения вида (2.29) к виду (2.28). Указанное преобразование основывается на использовании характеристического полинома уравнения (2.29)

n
(s) ai si .
i 0
Здесь s - комплексная алгебраическая переменная,	соответствующая
дифференциальному оператору p .
Рассмотрим характеристическое уравнение
n
ai si 0	(2.30)
i 0

Зная корни характеристического уравнения можно построить разложение характеристического полинома уравнения (2.29) в произведение элементарных сомножителей

(s) (si i )ni ,	(2.31)
i
где i - корни характеристического полинома, ni - кратность корней.
В общем случае корни могут быть действительными	( i ci ) и

комплексно сопряженными. Комплексно-сопряженные пары корней соответствуют решениям уравнений второго порядка вида (2.13). В итоге характеристический полином (2.31) преобразуется к искомому виду

snl (s ci )ni (s2 a1 j s a0 j )n j 0 ,		(2.32)
i	j

соответствующему дифференциальному уравнению (2.28).

В общем случае к динамической системе прикладываются внешние воздействия. В этом случае процессы в линейной стационарной динамической системе описываются дифференциальным уравнением

96