28. Проблема начального переходного процесса

Пусть Y₁,Y₂,… представляют выходной стохастический процесс, который получен в результате одного прогона моделирования в непереходном режиме.

Предположим, что P(Y_i<=y) = F_i(v)  F(v) = P(Y <= y) при i  ∞, где Y – искомая установившаяся случайная величина с функцией распределения F. Тогда fi будет установившимся параметром, если он является характеристикой Y, такой как E(Y), P(Y <= y).

Сложность оценки fi состоит в том, что функция распределения Y_i (для i = 1,2,…) отличается от F, т.к. нельзя выбрать начальные условия I, которые бы являлись отражением «установившегося поведения». Поэтому полученная оценка не является «представительной».

Например, выборочное среднее Y_m(m) будет смещенной оценкой v = E(y) для всех конечных значений m. Это т.н. проблема начального переходного процесса или проблема запуска.

Пусть необходимо оценить установившееся среднее v = lim E(Y_i), i ∞

Для получения представительной оценки используется метод удаления начальных данных, т.е. некоторое количество данных, полученное в начале моделирования, удаляются , а для оценки v используются оставшиеся данные наблюдений.

Наиболее серьезное последствие проблемы начального переходного процесса, вероятно, состоит в том, что E[Y_ср(m)] <> v при любом значении m.

При наличии наблюдений Y_1,Y₂,…,Y_m возможно использовать

Y_ср(m,l) = ∑Y_i/(m-l) i = l+1,m

(1 <= l <= m-1) как оценку v вместо Y_ср(m).

29. Процедура Велча

Эта процедура основана на n-независимых повторных прогонах и включает следующие шаги:

1. Выполнить n-повторных прогонов модели (не меньше 5), продолжительность каждого из которых равна m (где m – большое число). Пусть Y_ji представляет данные i-го наблюдения в ходе j-повторного прогона имитационной модели (j = 1,n ; i = 1,m).

Получаем матрицу

Y₁₁ Y₁₂ Y₁₃ … Y_1m

Y₂₁ Y₂₂ Y₂₃ … Y_2m

…

Y_n1 Y_n2 Y_n3 … Y_nm

по строке – реализация процесса

по столбцу – сечение процесса

Усредненный процесс и скользящее среднее с w = 1, полученные на основании n повторных прогонов имитационной модели продолжительностью m.

2. Пусть среднее Y_i = ∑Y_ji/n (j = 1,n) i = 1,m

Усредненный процесс Y₁, Y₂, …, Y_m имеет средние E(Y_i) = E(Y_i).

и дисперсии var (Yср _i) = Var(Y_i)/n

Получим

Y₁,Y_2,….,Y_m - средние

3. Чтобы выровнять высокочастотные колебания в усредненном процессе Y₁,Y₂,…,Y_m (но сохранить нужные низкочастотные колебания или долговременную тенденцию), необходимо определить скользящее среднее Y_i(w) (где w – это окно; w – является положительным целым числом w <= [m/4]):

Y_i(w) =

∑Yср _i+s (s = -w,w) /(2w+1) , если i = w+1, …, m-w;

∑Yср_i+s (s = - (i-1), i-1) / (2i-1), если i = 1,…,w;

Если i не очень близко к началу моделирования, то Y_i(w) является всего лишь простым средним 2w+1 наблюдений усредненного процесса, центрированного по наблюдению i.

4. Создать график Y_i(w) для i = 1,2,…,m-w и выбрать l как значение i, за которым очевидно схождение усредненного процесса Y₁(w), Y₂(w),…

Рекомендации по выбору параметров n,m и w

1. Выполняем 5 или 10 повторных прогонов (5 <= n <= 10). m берется настолько большим, насколько это целесообразно в практическом смысле.

2. Создайте график Y_i(w)_ср. для нескольких значений окна w и выберете наименьшее значение w, при котором график будет достаточно ровным.

Если w слишком маленькое, то график будет неровным, если слишком большое – тогда сглаженные наблюдения окажутся слишком укрупненными и по ним сложно оценить продолжительность переходного процесса.

3. Если не подходит ни одно значение окна сглаживания (w), то следует выполнить еще 5 или 10 повторных прогонов модели продолжительностью m и выполнить шаг 2 еще раз.

После того, как определена продолжительность переходного процесса l , необходимо получить оценку среднего значения наблюдаемой характеристики по формуле

Yср.(m,l) = ∑Y_ij (j = l+1,m) / (m-l), i = (1,n)

Далее определяем дисперсию и строим доверительный интервал.