31. Полный факторный эксперимент 2k, построение планов

Предположим, что существует k >= 2 факторов, и что необходимо получить начальную оценку влияния каждого фактора на отклики. Возможно также потребуется определить, будут ли факторы взаимодействовать друг с другом, т.е. будет ли эффект одного фактора зависеть от уровней других факторов.

В этом случае для того, чтобы выполнить полный перебор всех возможных сочетаний уровней факторов, необходимо провести очень много прогонов. Для сокращения количества прогонов предлагается факторный план , в котором для каждого фактора используются только 2 уровня – минимально и максимально возможные значения.

Факторы варьируются на двух уровнях: нижнем x_iн и верхнем x_iв симметрично расположенных относительно основного x_io .

При построении плана эксперимента используется кодированное представление факторов:

~x_i (i = 1,k);

Выписывая комбинации уровней факторов для каждой экспериментальной точки, получают план ПФЭ типа 2^к. Обычно x_iн = -1 , x_iв= +1.

План факторного эксперимента 2²:

Если принять x_iн = 0, x_iв = 1, то план можно построить , используя 2-ичную систему счисления:

Свойства ПФЭ:

1. Симметричность. Для любого столбца плана количество плюсов и минусов всегда одинаково.

∑x_ij = 0, i = 1,N; j = 1,m

2. Нормирование. Для любого столбца плана количество единиц всегда равно числу экспериментов N.

∑x²_ij = 0 , i = 1,N; j = 1,m

3. Свойство ортогональности. Скалярное произведение двух столбцов равно нулю.

∑x_ij*x_ik = 0 , i = 1,N; j = 1,m; k = 1,m

Для построения плана эксперимента необходимо:

1). Отобрать факторы, влияющие на искомую характеристику и сделать предположение о характере связи между фактором и откликом.

2). Установить диапазоны изменения i-фактора и определить координаты точек факторного пространства, уровни факторов.

3). Оценить необходимое число реализаций и порядок их проведения.

32. Оценка главных эффектов и эффектов взаимодействия

Главным эффектом фактора j является средняя величина изменения в отклике, обусловленная переходом фактора j с уровня «-» на уровень «+», в то время как остальные факторы остаются без изменений. Такая средняя величина берется для всех комбинаций уровней факторов.

Например, в точках 1 и 2 факторы 2 и3 остаются неизменными, также как и в точках 3 и 4, 5 и 6, 7 и 8. Для факторного плана 2³ главный эффект фактора 1 определяется как

b₁ = ((y₂-y₁)+(y₄-y₃)+(y₆-y₅)+(y₈-y₇))/4

Для вычисления главных эффектов факторов можно использовать скалярное произведение столбца знаков соответствующего фактора на значение отклика.

b_j = ∑x_срij * y_i (i = 1,n) / 2^k-1 j = 1,k N = 2^k

Если эффект фактора j₁ зависит от фактора j₂, то наблюдается эффект взаимодействия. Степень взаимодействия определяется как половина разности между:

средним эффектом фактора j₁, когда фактора j₂ находился на уровне + (в то время, как остальные факторы остаются без изменений)

и средним эффектом фактора j₁, когда фактор j₂ находится на уровне -.

b₁₃ = ½( ((y₆-y₅)+(y₈-y₇))/2 – ((y₂-y₁)+(y₄-y₃))/2)

b_jl = ∑x_ij(ср) *x_il(ср) * y_i /2^k-1 , j = 1,k l = 1,k, i = 1,N, N = 2^k

b₁₃ = (y₁-y₂+y₃-y₄-y₅+y₆-y₇+y₈)/4