Линейная алгебра и аналитическая геометрия
.pdf
|
Пусть |
направляющая |
|
задана |
|
|
|
системой |
|
|
уравнений |
|||||||||||||
|
|
, а точка |
|
— вершина конуса. |
Возьмем на |
|||||||||||||||||||
поверхности |
конуса |
произвольную точку |
|
|
|
|
|
|
|
. Образующая, |
||||||||||||||
проходящая через точки |
и |
, пересечет направляющую |
|
|
|
в некото- |
||||||||||||||||||
рой точке |
|
|
(см. рис. 4.31). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Координаты |
точки |
удовлетворяют системе |
|
|
уравнений |
||||||||||||||||||
|
|
. Канонические уравнения образующих, проходя- |
||||||||||||||||||||||
щих через точки |
и |
, |
имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Исключая |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
из |
системы |
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
получим |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
уравнение, связывающее переменные |
. Это уравнение и будет |
|||||||||||||||||||||||
уравнением конической поверхности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 1. Составить уравнение конуса с вершиной в точке |
, |
|||||||||||||||||||||||
если направляющей |
служит эллипс |
|
|
|
|
|
|
, лежащий в плоско- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
сти |
(рис. 4.32). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.32. Эллиптический конус
213
|
Составим систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Из равенств |
|
|
и |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим: |
|
, |
|
|
|
|
. Подставляя значения |
|
|
в |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
уравнение эллипса, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Это и |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есть уравнение (эллиптического) конуса.
Конус 2-го порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
. При |
получаем круговой |
|
|
|
|
|
|||||||
конус: |
, где |
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
4.3.3. Поверхности вращения
Пусть заданы в пространстве плоская линия и прямая в этой
же плоскости. Рассмотрим вращение линии |
вокруг оси, совпадаю- |
|
щей с прямой . |
|
|
Опр. Поверхность |
в пространстве, |
образованная вращением |
линии вокруг оси , называется поверхностью вращения (рис. 4.33). Составим уравнение поверхности вращения линии , лежащей в
плоскости |
вокруг оси . Пусть линия задана системой уравне- |
ний |
. |
Рис. 4.33. Поверхность вращения
214
|
Пусть |
|
|
— произвольная точка на поверхности враще- |
||||||||||||||||||
ния . Проведем через точку |
плоскость, |
|
перпендикулярную оси |
|||||||||||||||||||
. Пусть |
— точка пересечения этой плоскости с осью , |
— |
||||||||||||||||||||
точка пересечения этой плоскости с линией |
. Эти точки имеют коор- |
|||||||||||||||||||||
динаты: |
|
, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Отрезки |
и |
|
|
|
являются радиусами одной и той же окруж- |
||||||||||||||||
ности, поэтому |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, то |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
Точка |
лежит на линии , |
поэтому ее координаты удовлетво- |
|||||||||||||||||||
ряют уравнению линии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
Таким образом, |
уравнение поверхности вращения линии |
во- |
|||||||||||||||||||
круг оси |
имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
Это уравнение получено из уравнения линии |
заме- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ной переменной |
на |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Аналогично доказывается, что при вращении этой же линии во- |
|||||||||||||||||||||
круг оси |
уравнение поверхности вращения будет иметь вид: |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
Если же линия |
лежит в плоскости |
|
, задана системой урав- |
||||||||||||||||||
нений |
|
и вращается вокруг оси |
|
, то уравнение поверх- |
||||||||||||||||||
ности вращения имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
Пример 1. |
Составить |
уравнение |
поверхности вращения прямой : |
|||||||||||||||||||
|
вокруг оси |
(рис. 4.34). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Заменим в уравнении прямой переменную на |
: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
215 |
Рис. 4.34. Поверхность вращения
Как показано в разделе 4.3.2, это уравнение задает круговой ко-
нус.
4.3.4. Эллипсоиды
Пусть дан эллипс в плоскости |
: |
|
|
|
. Вращаем эл- |
|
|
|
липс вокруг оси . Полученная поверхность называется эллипсоидом вращения (рис. 4.35).
Рис. 4.35. Эллипсоид вращения
Уравнение эллипсоида вращения получим после замены пере-
менной в уравнении эллипса на |
|
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
216
Опр. Равномерным сжатием к плоскости преобразование пространства, при котором точка дит в точку , где , .
Подвергнем эллипсоид вращения равномерному сжатию к плоскости . Полученная в результате поверхность называется трехосным эллипсоидом. Найдем уравнение этого эллипсоида.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Трехосный эллипсоид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где |
|
|
— полуоси эл- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
липсоида.
Если две какие-либо полуоси равны, то трехосный эллипсоид
превращается в |
эллипсоид |
вращения; |
если все |
полуоси |
равны: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то он превращается в сферу |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями, параллельными |
||||||||||||||||||||||||||||||||
координатным плоскостям: |
, |
|
|
|
|
, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Если |
, то |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
значит, уравнение задает пустое |
множество; |
если |
|
|
, то |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и уравнение задает точку |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Пусть |
; обозначим: |
|
|
|
|
|
; тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— это уравнение |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
эллипса с полуосями |
|
и . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.36. Сечения трехосного эллипсоида
217
Таким образом, в сечении эллипсоида плоскостями , где , получаем эллипсы (см. рис. 4.36).
Аналогичный результат получим в сечениях эллипсоида плос-
костями |
и |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3.5. Гиперболоиды |
|
|||||
Пусть дана гипербола в плоскости |
: |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|||||
Если вращать гиперболу вокруг мнимой оси (оси |
), то полу- |
ченная поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения. Чтобы составить его уравнение, надо заменить переменную
в уравнении гиперболы на |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опр. Равномерным сжатием (растяжением) к плоскости называется такое преобразование пространства, при котором точка
|
|
переходит в точку |
, где |
, |
. |
|
|
Подвергнем однополостный гиперболоид вращения равномер- |
|||
ному сжатию (растяжению) к плоскости |
. Полученная поверх- |
ность называется однополостным гиперболоидом. Найдем уравнение этого гиперболоида.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Однополостный гиперболоид (рис. 4.37): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида плоскостя- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ми, параллельными координатным плоскостям: |
, |
|
, |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Таким образом, в сечении однополостного гипербо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
лоида плоскостями |
получаем эллипсы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
218 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
Рис. 4.37. Однополостный гиперболоид
При |
|
, где |
|
, это уравнения гипербол (основной |
|||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
и сопряженной). Если |
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
— это пара пе- |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ресекающихся прямых. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
При |
|
, где |
|
|
это уравнения гипербол (основной |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
и сопряженной). Если |
|
, то |
|
|
|
|
|
— это пара пе- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
ресекающихся прямых.
Следовательно, в сечениях однополостного гиперболоида плоскостями , получаем либо гиперболы, либо пару пересекающихся прямых.
Пусть дана гипербола в плоскости |
: |
|
|
. |
|
|
|
|
219
Если вращать гиперболу вокруг действительной оси (оси ), то полученная поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения. Чтобы составить его уравнение, надо заменить переменную
в уравнении гиперболы на |
|
: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
После равномерного сжатия (растяжения) к плоскости получим поверхность, которая называется двуполостным гиперболои-
дом.
Двуполостный гиперболоид (рис. 4.38):
Рис. 4.38. Двуполостный гиперболоид
Рассмотрим сечения двуполостного гиперболоида плоскостями,
параллельными координатным плоскостям: |
, |
, |
. |
220 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Если |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
, |
и |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
значит |
уравнение |
|
|
задает пустое |
множество; |
если |
, |
то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и уравнение задает точку |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пусть |
; обозначим: |
|
|
|
|
|
|
|
; тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— это уравнение |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
эллипса с полуосями |
|
|
и . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Таким образом, в сечении двуполостного гиперболоида плоско- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стями |
|
|
|
, где |
|
|
|
|
, получаем эллипсы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Следовательно, в сечениях двуполостного гиперболоида плос-
костями |
, |
получаем гиперболы. |
|
|
|
|
|
4.3.6. Параболоиды |
|
|
|
Рассмотрим параболу в плоскости |
: |
, |
. Вра- |
щаем параболу вокруг ее оси (оси ). Полученная поверхность называется параболоидом вращения. Чтобы составить его уравнение,
надо заменить переменную |
в уравнении параболы на |
|
: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
После равномерного сжатия (растяжения) к плоскости получим поверхность, которая называется эллиптическим параболои-
дом с уравнением: |
|
|
|
, где |
. |
|
|
221
Эллиптический параболоид (рис. 4.39):
Рис. 4.39. Эллиптический параболоид
Рассмотрим сечения эллиптического параболоида плоскостями,
параллельными координатным плоскостям: |
, |
, |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Если |
, то уравнение задает пустое |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
множество; |
если |
|
|
|
|
, то |
уравнение |
задает |
точку |
|
. Если |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— это уравнение эллипса с по- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
луосями |
|
|
|
|
|
|
|
и |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
Таким образом, в сечении эллиптического параболоида плоско- |
|||||||||||||||||||||||||||||
стями |
, где |
|
|
|
получаем эллипсы. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— это уравнение парабо- |
|||||||||
лы |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
222