Линейная алгебра и аналитическая геометрия
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние от точки |
до оси |
|
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Получили точек: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
; |
|
; |
|
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
; |
|
|
; |
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
2.4.1. Вычисление модуля, направляющих косинусов и проекций векторов
Из свойства скалярного произведения: |
— следует: |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
Если известны координаты вектора в ОНБ { |
}: |
, то |
||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
. |
|
|
Рис. 2.45. Направляющие углы вектора
113
|
Опр. Направляющие углы вектора — это углы, которые образует |
|||||||||||
данный вектор с осями координат: α |
|
|
|
, β |
, |
|||||||
γ |
(см. рис. 2.45). Косинусы этих углов называются на- |
|||||||||||
правляющими косинусами данного вектора: cos α, cos |
, cos . |
|
||||||||||
|
Направляющие косинусы вектора являются координатами орта |
|||||||||||
данного вектора: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
cos α, |
cos , |
|
cos . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Следствие. Сумма квадратов направляющих косинусов равна |
: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Из геометрического смысла скалярного произведения имеем: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пусть известны координаты векторов |
|
и в ОНБ { |
}: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 2. |
, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
114
2.4.2. Деление отрезка в данном отношении
Теорема. Пусть точка M лежит на отрезке AB и делит его в от-
ношении |
|
α: β (рис. 2.46); пусть известны прямоугольные декар- |
|||||||
|
|||||||||
товы координаты точек: A( |
), B( |
). Тогда координа- |
|||||||
ты точки M( |
|
) вычисляются по формулам: |
|
|
|||||
|
|
|
|
, |
|
, |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
* B |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
||
|
|
|
|
α |
* |
|
|
|
|
A *
O
Рис. 2.46. Деление отрезка в данном отношении
Доказательство. |
, |
, |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1; |
|
2++ |
|
|
|
|
1. Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В |
частности, |
если точка |
M является |
серединой отрезка AB |
|||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
), то |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Если ввести обозначение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то формулы |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
для координат точки M запишутся в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
115
Координаты центра тяжести треугольника
Центр тяжести треугольника — это точка пересечения медиан треугольника. AK, BL, CN — медианы ABC, O — центр тяжести
ABC (рис. 2.47).
|
|
B |
|
|
|
N |
K |
|
|
||
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
L |
C |
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 2.47. Центр тяжести |
|
|
|||
|
|
треугольника |
|
|
|
Упр. 6. Известны прямоугольные декартовы координаты вершин |
|||||
треугольника ABC: A( |
), B( |
), C( |
). Дока- |
||
зать, что координаты центра тяжести O |
|
вычисляются по |
формулам: |
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 2. Для треугольника |
ABC: A |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
координаты центра тяжести O |
: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4.3.Вычисление расстояния между двумя точками
иугла между двумя векторами
|
Расстояние между двумя точками: d (A; B) |
(рис. 2.48). |
|||
|
Пусть известны прямоугольные декартовы координаты точек: |
||||
A( |
), B( |
). Тогда: |
, |
||
|
|
|
|
|
|
d (A; B) |
. |
|
116
d *B
A *
O
Рис. 2.48. Расстояние между точками
Пример 1. Найти стороны |
треугольника ABC, где |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(рис. 2.49). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Рис. 2.49. К решению примера 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
. |
|||||||||||||
Из |
определения |
|
|
скалярного |
|
|
|
произведения |
векторов — |
||||||||||||||||||||
|
|
cos (см. рис. 2.50) — получаем формулу для вычисле- |
|||||||||||||||||||||||||||
ния косинуса угла между двумя векторами: cos |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Если |
известны |
координаты |
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
и |
||||||||||||||||||
|
|
относительно ОНБ { |
|
}, то: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
117
Рис. 2.50. Угол между векторами
Пример 2. Найти углы A, |
|
|
B, |
C треугольника ABC, где |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. рис. 2.51). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.51. К решению |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
примера 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
arccos |
|
|
|
|
|
|
|
≈ 66 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
B |
arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ 75,8 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C |
arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ 38,2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2.4.4. Вычисление площадей и объемов |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Площадь параллелограмма, построенного на векторах |
и : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 2.52). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
118 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.52. Площадь параллелограмма
Площадь треугольника, построенного на векторах |
и : |
||
|
|
(рис. 2.53). |
|
|
|
|
Рис. 2.53. Площадь треугольника
Если известны |
координаты |
векторов |
|
и |
||||
|
|
|
относительно ОНБ { |
}, то |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, где A |
, B |
, С |
. |
|
|
|
|
|
||||
Пример 1. Найти площадь треугольника ABC, где |
|
|
||||||
|
|
, |
, |
. |
|
|
||
|
|
|
.
.
119
Объем параллелепипеда, построенного на векторах , , :
(рис. 2.54).
Рис. 2.54. Объем параллелепипеда
Объем тетраэдра (пирамиды), построенного на векторах , ,
: тетр |
|
(рис. 2.55). |
|
Рис. 2.55. Объем тетраэдра |
|
|
|
Если известны координаты векторов |
, |
, |
|
относительно ОНБ { |
}, то |
|
|
, |
|
. |
|
Пример 2. Найти объем V тетраэдра ABCD, где
(см. рис. 2.56).
, |
, |
, |
. |
Рис. 2.56. К решению примера 2
120
3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Аналитическая геометрия — раздел математики, в котором геометрические фигуры изучаются с помощью метода координат и алгебраических уравнений. Возникновение метода координат связано с именами великих французских математиков 17 века Рене Декартом
(1596–1650) и Пьером Ферма (1601 1665).
3.1. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ
3.1.1. Преобразование прямоугольных координат на плоскости
Постановка задачи. Пусть имеются две прямоугольные декартовы системы координат на плоскости одной ориентации и
(см. рис. 3.1). Известно взаимное расположение этих систем друг относительно друга. Требуется для произвольной точки на плоскости
выразить координаты |
в одной системе через координаты |
|
в другой системе. |
|
|
Систему координат |
будем называть «старой» системой, а |
— «новой» системой координат.
Рис. 3.1. «Старые» и «новые» координаты точки на плоскости
121
Переход от одной системы к другой может быть осуществлен с помощью параллельного переноса старой системы в точку и затем поворота полученной системы на некоторый угол .
Рис. 3.2. Взаимное расположение двух систем координат
|
Взаимное расположение старой и новой систем координат мо- |
|||||
жет быть задано координатами точки |
|
в старой системе ко- |
||||
ординат и углом поворота |
новой системы относительно старой сис- |
|||||
темы координат (рис. 3.2). |
|
|
|
|
||
|
Преобразование координат при параллельном переносе |
|||||
|
Пусть система координат |
получена параллельным перено- |
||||
сом системы координат |
на вектор |
|
(см. рис. 3.3); { } |
|||
— ОНБ в старой системе, { |
} — ОНБ в новой системе; заметим, |
|||||
что |
, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.3. Параллельный перенос системы координат
122