Линейная алгебра и аналитическая геометрия
.pdf
|
Пусть точка |
на плоскости имеет координаты |
в старой |
||||||
системе |
координат |
и |
|
|
в |
новой системе координат. Тогда |
|||
|
|
и |
|
|
|
|
. |
|
|
|
Так |
как |
|
|
|
, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
В силу единственности разложения по базису получаем: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(3.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные формулы выражают зависимость старых и новых координат при параллельном переносе системы координат на плоскости.
Преобразование координат при повороте осей координат
Пусть система координат получена поворотом осей координат системы на угол (см. рис. 3.4); { } — ОНБ в старой системе, { } — ОНБ в новой системе.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 3.4. Поворот системы координат вокруг начала координат
Пусть точка |
на плоскости имеет координаты |
в старой |
|||
системе координат |
и |
|
|
в новой системе координат. Тогда |
|
и |
|
|
|
. Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
123 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(3.3) |
||
Умножим обе части равенства (3.3) скалярно на вектор |
: |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
cos |
|
sin . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь умножим обе части равенства (3.3) скалярно на вектор : |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем формулы, выражающие старые коор- |
||||||||||||
динаты через новые: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(3.4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если умножить обе части равенства сначала на |
, затем на , то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим формулы, выражающие новые координаты через старые: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(3.5) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 1. Найти новые координаты точки |
( |
|
|
|
|
|
|
) при повороте |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
системы координат на угол |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Применим формулы (3.5): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Подставляя в эти |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
формулы значения старых координат точки |
|
, получим ее новые ко- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ординаты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Общее преобразование координат |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Общее преобразование координат включает в себя параллель- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ный перенос и поворот. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Введем промежуточную систему координат |
|
|
, получен- |
ную из старой системы параллельным переносом в точку (см. рис. 3.5).
124
|
|
Рис. 3.5. Общее преобразование координат
|
|
Применим формулы (3.1) и (3.2): |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Координаты |
|
|
связаны с координатами |
|
|
|
|
формулами (3.4) |
|||||||||||||||||||||||
и (3.5): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Объединяя эти формулы, получим формулы общего преобразо- |
|||||||||||||||||||||||||||||
вания координат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.6) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(3.7) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Матричная запись формул преобразования координат |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем следующие обозначении: |
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Пусть |
|
|
|
|
— матрица поворота, тогда |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
В этих обозначениях формулы преобразования координат при- |
|||||||||||||||||||||||||||||
нимают следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
а) |
при |
параллельном |
переносе: |
(3.1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
(3.2 ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
б) при повороте: (3.4 ) |
|
|
|
и (3.5 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
125
|
в) при |
общем |
преобразовании: (3.6 ) |
|
|
|
|
|
и |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
(3.7 ) |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 2. Найти старые координаты точки при параллельном пе- |
|||||||||||||
реносе в точку |
|
и дальнейшем повороте системы координат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на угол |
|
, если известны ее новые координаты: ( |
|
|
). |
||||||
|
|||||||||||
Применим формулу (3.6 ). Здесь |
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
.
|
|
( |
). |
|
3.1.2. Уравнение линии на плоскости |
||
Пусть на плоскости задана |
прямоугольная декартова система |
||
координат |
и некоторая линия |
(рис. 3.6). |
|
|
Рис. 3.6. Линия на плоскости |
|
||
Опр. Уравнение |
с двумя переменными |
называ- |
||
ется уравнением линии |
если этому уравнению удовлетворяют ко- |
|||
ординаты |
любой точки , лежащей на линии и не удовлетво- |
|||
ряют координаты любой точки, не лежащей на этой линии: |
|
|||
|
|
|
. |
|
126
Зная уравнение линии , можно изучать геометрические свойства линии, исследуя ее уравнение.
Пример 1. Составить уравнение окружности радиуса R с центром в точке C (см. рис. 3.7). Здесь — окружность радиуса R с центром в точке C — это множество всех точек на плоскости, удаленных на расстояние R от точки C. Пусть — произвольная точка на плоскости. Тогда:
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
Таким образом, уравнение окружности радиуса R с центром в |
||||
точке C |
имеет вид: |
|
|
|
.
Рис. 3.7. Окружность
Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение примет вид:
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
Замечание 1. Полученное уравнение окружности можно привес- |
|||||
ти к виду |
, если выражение |
|
перенести в левую часть |
||
уравнения. |
|
|
|
|
|
Замечание 2. Не всякое уравнение вида |
задает неко- |
||||
торую линию. Например, уравнение |
|
|
задает единственную |
||
точку O |
; а уравнение |
задает пустое множество. |
127
В аналитической геометрии на плоскости возникают две основ-
ные задачи:
1.Зная геометрические свойства линии, найти ее уравнение.
2.Зная уравнение линии, изучить ее форму и свойства. Например, составляя уравнение окружности, мы решаем первую
задачу; а исследуя уравнения и , мы решаем вторую задачу.
Линия на плоскости может быть задана и с помощью так назы-
ваемых параметрических уравнений.
Опр. Система уравнений
, t T (T — некий промежуток)
называется параметрическими уравнениями линии , если для любой
точки |
, лежащей на линии |
, найдется такое значение t T, что |
|
и |
, а для точек, |
не лежащих на линии такого зна- |
|
чения t не существует. Здесь |
и |
— некоторые функции пере- |
менной t, называемой параметром.
Параметрические уравнения линии имеют простой механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то уравнения и являются уравнениями движения, а линия —
траекторией движения точки, при этом параметр t означает время.
Если из системы уравнений |
удается исключить пара- |
|
метр t, то система сводится к уравнению |
. Например, пара- |
|
метрические уравнения |
, t |
задают параболу |
.
Пример 2. Окружность радиуса R с центром в точке C (см.
рис. 3.8).
|
Пусть |
— произвольная точка на окружности. Возьмем в |
||
качестве параметра |
угол поворота вектора |
от оси, параллельной |
||
оси |
. Тогда |
, где |
R |
t, |
128
R t. Получаем параметрические уравнения
окружности:
, t [0; 2 ].
Рис. 3.8. Параметрические уравнения окружности
Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнения имеют вид:
, t [0; 2 ].
Пример 3. Циклоида — линия, которую описывает фиксированная точка окружности, катящаяся без скольжения по неподвижной прямой (рис. 3.9). Циклоиду можно представить себе еще как траекторию движения точки обода велосипедного колеса при движении велосипедиста в одном направлении.
Рис. 3.9. Циклоида
129
Из рис. 3.9 видно, что если окружность радиуса |
повернулась |
|
на угол , то координаты точки |
, лежащей на искомой линии, |
|
выражаются через параметр |
по формулам: |
, |
.
Таким образом, получаем параметрические уравнения циклои-
ды:
, t [0; + .
Опр. Линия на плоскости называется линией 1-го порядка, если она задается в некоторой прямоугольной декартовой системе коорди-
нат |
уравнением 1-й степени (линейным уравнением) относитель- |
||
но переменных |
: |
|
|
|
|
, где |
. |
Теорема 1. Если линия на плоскости является линией 1-го порядка в одной прямоугольной декартовой системе координат, то она остается линией 1-го порядка и в любой другой прямоугольной декарто-
вой системе координат. |
|
|
|
Доказательство. Пусть линия |
задается в некоторой прямо- |
||
угольной декартовой системе координат |
уравнением: |
|
|
|
, где |
. |
|
Выберем любую другую прямоугольную декартову систему ко- |
|||
ординат . Переменные |
выражаются через переменные |
|
по формулам (5) из §1: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим значения |
|
в линейное уравнение: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где |
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
. |
Проверим, что |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
130 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+sin2 =A2+B2 . |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
в новой системе координат линия задается |
|||||
уравнением |
|
|
|
, где |
|
, т. е. уравнени- |
ем 1-й степени относительно новых переменных |
. Теорема дока- |
|||||
зана. |
|
|
|
|
|
|
Теорема 2. Прямые линии и только они являются линиями 1-го порядка на плоскости.
Доказательство.
1) Сначала докажем, что любая прямая линия на плоскости задается некоторым линейным уравнением. Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат и задана произвольная прямая (рис. 3.10).
|
|
Рис. 3.10. К доказательству теоремы |
|
|
|
||||
Выберем на прямой |
произвольную точку и введем новую |
||||||||
систему координат |
|
с началом в точке так, чтобы ось |
|
бы- |
|||||
ла направлена по прямой |
. В новой системе координат прямая |
за- |
|||||||
дается уравнением: |
|
. |
|
|
|
|
|
||
Это уравнение является линейным уравнение относительно пе- |
|||||||||
ременных |
|
|
|
|
|
. Согласно теореме 1, |
уравне- |
||
ние прямой |
останется линейным и в системе координат |
. |
|
|
|||||
2) Теперь докажем, что любое линейное уравнение задает неко- |
|||||||||
торую прямую |
на |
плоскости. |
Пусть |
задано линейное |
уравнение |
||||
|
|
, где |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
131 |
Линейное |
уравнение относительно |
имеет бесчисленное |
|
множество решений. Выберем какое-нибудь его решение |
: |
||
|
. Тогда |
|
|
|
|
. |
|
Построим на плоскости прямую линию |
, проходящую через |
||
точку |
перпендикулярно вектору |
(см. рис. 3.11). |
Покажем, что прямая — искомая прямая. Для этого составим уравнение этой прямой.
|
Рис. 3.11. К доказательству теоремы |
|
||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Таким образом, |
линейное |
уравнение |
задает |
|
прямую . Теорема доказана. |
|
|
||
Опр. Линия |
на плоскости называется линией 2-го порядка, если |
она задается в некоторой прямоугольной декартовой системе коорди-
нат |
алгебраическим уравнением 2-й степени относительно пере- |
|
менных |
: |
|
|
, где |
. |
Теорема 3. Если линия на плоскости является линией 2-го порядка в одной прямоугольной декартовой системе координат, то она остается линией 2-го порядка и в любой другой прямоугольной декартовой системе координат.
Упр. 7. Доказать теорему 3.
132