Линейная алгебра и аналитическая геометрия
.pdfВ любом случае угол между прямыми в пространстве либо равен углу между направляющими векторами этих прямых и , либо дополняет его до 180 (рис. 4.22).
Рис. 4.22. Угол между прямыми в пространстве
По известной формуле для косинуса угла между векторами получаем:
Условие параллельности прямых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
Условие перпендикулярности: |
|
|
|
|
|
||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Условие принадлежности двух |
прямых одной |
плоскости |
(рис. 4.23).
Рис. 4.23. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости
Построим вектор |
|
. Для принад- |
|
лежности прямых |
и |
одной плоскости необходимо и достаточно, |
|
чтобы векторы |
, |
, |
были компланарны. Условием компла- |
203
нарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения:
.
При выполнении этого условия прямые и либо совпадают, либо параллельны, либо пересекаются. При невыполнении этого условия прямые и — скрещиваются.
В итоге приходим к следующему результату.
Взаимное расположение прямых и в пространстве зависит от значения ранга матрицы:
|
. |
|
Если |
, то прямые скрещиваются; если |
, то прямые |
совпадают; если |
, то прямые лежат в одной плоскости, а именно: |
|
- при |
— прямые параллельны, |
|
- при |
— прямые пересекаются. |
Если прямые пересекаются, то точку пересечения прямых можно найти из системы уравнений:
Пример 1. Определить взаимное расположение прямых:
: |
|
|
|
|
|
и |
: |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Здесь |
, |
|
|
|
, |
, |
. |
||||||
|
и не совпадают. Проверим условие принадлежности |
прямых одной плоскости:
, так как первая и третья строки пропорциональны.
204
Следовательно, прямые пересекаются. Найдем точку пересечения этих прямых:
. Перейдем к параметрическим уравнения прямых:
|
|
|
4.2.5. Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Прямая |
и плоскость в пространстве могут быть параллель- |
|
ными |
; прямая может пересекать плоскость в некоторой точке |
|
; прямая может принадлежать плоскости |
. |
Задача состоит в том, чтобы по заданным уравнениям прямой и плоскости определить их взаимное расположение в пространстве, найти угол между ними и точку их пересечения.
Для определенности считаем, что прямая задана каноническими уравнениями, а плоскость задана общим уравнением:
: |
|
|
|
|
|
, : |
. |
|
|
|
|||||
Тем самым заданы: направляющий вектор |
прямой , |
||||||
точка |
|
на этой прямой и вектор нормали |
к плоскости |
||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
1. Угол между прямой и плоскостью в пространстве (рис. 4.24).
205
|
Рис. 4.24. Угол между прямой |
|
и плоскостью в пространстве |
Пусть прямая |
является проекцией прямой на плоскость |
. Проекция прямой на плоскость — это множество всех оснований перпендикуляров, опущенных из точек прямой на плоскость.
|
|
Опр. Углом |
между прямой и плоскостью в пространстве на- |
||||
зывается угол между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость. |
|||||||
|
|
Если угол |
между векторами |
и |
— острый, то он |
равен |
|
|
|
(как на рис. 4.24), если угол — тупой, то он равен |
|
. |
|||
|
|
|
Поэтому по известной формуле для косинуса угла между векторами получим:
.
Получаем формулу для синуса угла между прямой и плоско-
стью:
Условие параллельности прямой и плоскости:
|
|
|
. |
|||||
Условие перпендикулярности прямой и плоскости: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
2. |
Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности |
|||||||
прямой |
плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
206
Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, то существует единственная точка их пересечения, которую можно най-
ти из системы уравнений: .
Чтобы решить эту систему, перейдем к параметрическим урав-
нениям прямой |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
Подставляя найденное значение |
в параметрические уравнения |
прямой , получим координаты точки пересечения прямой с плоскостью.
Если |
и |
, то полу- |
чим уравнение: |
, которому удовлетворяет любое значение |
параметра . Это означает, что любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости.
Таким образом, получили условие принадлежности прямой |
|
|||||||||||||||||||||||||||
плоскости |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 1. |
Определить |
взаимное расположение прямой |
и |
|||||||||||||||||||||||||
сти : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и : |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— направляющий |
вектор прямой |
, |
|||||||||||||||
|
|
|
— точка на этой прямой и |
— вектор нормали |
||||||||||||||||||||||||
к плоскости . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Проверим условие параллельности прямой и плоскости: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, следовательно, прямая и плос- |
|||||||||
кость пересекаются. Найдем угол между прямой и плоскостью. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
207 |
Найдем точку пересечения прямой с плоскостью.
|
|
|
|
|
|
|
точка пересечения. |
|
4.3. ПОВЕРХНОСТИ 2-ГО ПОРЯДКА
Опр. Поверхность в пространстве называется поверхностью 2-го порядка, если она задается в некоторой прямоугольной декарто-
вой системе координат |
алгебраическим уравнением 2-й степени |
относительно переменных |
: |
|
, |
где |
. |
Как известно (теорема 3 из раздела 4.1.1), если поверхность в пространстве является поверхностью 2-го порядка в одной прямоугольной декартовой системе координат, то она остается поверхностью 2-го порядка и в любой другой прямоугольной декартовой системе координат.
Простейшим примером поверхности 2-го порядка является сфе-
ра, которая задается уравнением |
. Рассмотрим дру- |
|
гие поверхности 2-го порядка. |
|
|
4.3.1. Цилиндрические поверхности |
||
Пусть заданы в пространстве линия |
и прямая . Через каждую |
|
точку линии проведем прямую, параллельную прямой . |
||
Опр. Множество точек |
в пространстве, лежащих на прямых, |
|
параллельных данной прямой |
и пересекающих данную линию , на- |
208
зывается цилиндрической поверхностью (или просто цилиндром). При этом прямая называется образующей, а линия — направляющей цилиндрической поверхности.
Другими словами, цилиндрическая поверхность — это поверх-
ность, образуемая движением прямой , перемещающейся в пространстве параллельно данной прямой и пересекающей данную линию
(рис. 4.25).
Обра ая цилиндра
а ра ля ая цилиндра
Рис. 4.25. Цилиндрическая поверхность
Рассмотрим цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.
|
1). |
Пусть направляющая |
лежит |
в координатной плоскости |
||||
|
и задается уравнением: |
|
, |
а образующая |
параллельна |
|||
оси |
: |
, |
(рис. 4.26). |
|
|
|
|
|
|
Составим уравнение цилиндрической поверхности . |
|||||||
|
Для произвольной точки |
найдем образующую, на которой |
||||||
лежит эта точка, а на образующей найдем точку |
, лежащую на на- |
|||||||
правляющей. Так как точки |
и лежат на прямой, параллельной оси |
|||||||
, |
то |
у них совпадают |
координаты |
: |
если |
, то |
||
|
|
. Точка |
|
, следовательно |
|
. Таким обра- |
||
зом, |
|
|
|
. |
|
|
|
|
209
Это означает, что если направляющая на плоскости |
задает- |
||
ся уравнением |
, то цилиндрическая поверхность в про- |
||
странстве задается таким же уравнением |
. Так как в урав- |
||
нение цилиндрической поверхности переменная |
не входит, то зна- |
чит, эта переменная может принимать произвольные значения.
Таким образом, уравнение цилиндрической поверхности имеет
.
Рис. 4.26. Цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной
оси
2). |
Пусть направляющая |
лежит |
в координатной плоскости |
|
и задается уравнением: |
, |
а образующая параллельна |
||
оси : |
, |
. |
|
|
Аналогичными рассуждениями приходим к выводу, что в этом случае уравнение цилиндрической поверхности имеет вид:
|
|
|
. |
|
3). |
Пусть направляющая |
лежит |
в координатной плоскости |
|
и задается уравнением: |
, |
а образующая параллельна |
||
оси : |
, |
. |
|
|
В этом случае уравнение цилиндрической поверхности имеет |
||||
вид: |
. |
|
|
|
210
|
Цилиндрические поверхности 2-го порядка |
||||||||
|
Рассмотрим цилиндрические поверхности, направляющими ко- |
||||||||
торых являются кривые 2-го |
порядка на координатной плоско- |
||||||||
сти |
, а образующей является ось . |
||||||||
|
Эллиптический цилиндр: |
|
|
|
|
|
|
|
(см. рис. 4.27). |
|
|
|
|
|
|||||
|
Гиперболический цилиндр: |
|
|
|
|
|
(см. рис. 4.28). |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
Параболический цилиндр: |
|
|
|
|
(см. рис. 4.29). |
Рис. 4.27. Эллиптический цилиндр
Рис. 4.28. Гиперболический |
Рис. 4.29. Параболический |
|
цилиндр |
||
цилиндр |
||
|
4.3.2. Конические поверхности
Пусть заданы в пространстве плоская линия и точка вне этой плоскости. Через каждую точку линии и точку проведем прямую.
Опр. Множество точек в пространстве, лежащих на прямых, проходящих через данную точку и пересекающих данную линию ,
называется конической поверхностью (или просто конусом). При этом
211
точка называется вершиной, линия — направляющей, а сами пря-
мые называются образующими конической поверхности.
Другими словами, коническая поверхность — это поверхность, образуемая движением прямой, перемещающейся в пространстве так, что она постоянно проходит через неподвижную точку и пересекает данную линию (рис. 4.30).
Образующие
конуса
Вершина
конуса
Направляющая
конуса
Рис. 4.30. Коническая поверхность
Уравнение конической поверхности можно составить, если заданы уравнения направляющей и координаты вершины .
Рис. 4.31. Образующая |
на конической поверхности |
212