Линейная алгебра и аналитическая геометрия

вектора к вектору виден из конца вектора совершающимся против часовой стрелки.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , имею-

щих общее начало, называется левой тройкой, если поворот от вектора к вектору виден из конца вектора совершающимся по часовой стрелке.

	левая тройка		правая тройка
	Рис. 2.29. Ориентация векторов
Свойства:
1.	Если в тройке векторов	,	поменять местами два вектора,
то ориентация тройки меняется.
2.	Если в тройке векторов	,	изменить направление одного

из векторов, то ориентация тройки меняется.

3. При циклической перестановке векторов ориентация тройки , сохраняется.

Опр. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим трем условиям (см. рис. 2.30):

1.	,	;
2.	тройка векторов ,		— правая тройка;
3.		sin .
Обозначение:			.

93

Рис. 2.30. Векторное произведение векторов

Замечание. Если векторы и коллинеарны, или один из векторов — нулевой вектор (или оба — нулевые), то из условия 3) получаем: sin .

Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль векторного произведения равен площади параллело-

грамма, построенного на этих векторах:			.
Физический смысл векторного произведения.
1). Момент	силы	, приложенной к точке A,	относительно
данной точки O, равен векторному произведению радиус-вектора
точки A на вектор силы :		(рис. 2.31).

Рис. 2.31. Момент относительно точки O силы , приложенной к точке A

2). Скорость точки M твердого тела, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси, равна векторному произведе-

нию угловой скорости на радиус-вектор точки M:	, где
O — некоторая точка на оси вращения (рис. 2.32).

94

Рис. 4. Скорость	точки
M, вращающейся с уг-
ловой скоростью	во-

круг неподвижной оси

Свойства векторного произведения:

1.			(антикоммутативность).
2. (λ	)	λ (	) (ассоциативность относительно умноже-
ния на число).
3.	(	)	(дистрибутивность).
4.		(векторный квадрат).
5.			(условие коллинеарности векторов).

Доказательство. Если векторы и коллинеарны, то эти свой-
ства очевидны. Пусть		.
1. Векторы	и	коллинеарны, т. к. лежат на прямых,

перпендикулярных к одной и той же плоскости, проходящей через

векторы и	. Кроме того,		модули этих векторов равны, а направле-
ния этих векторов противоположны. Следовательно, векторы						и
— противоположные векторы:					.
2. Пусть	(	) ,	(	) и	. Векторы и	—

коллинеарны, т. к. они перпендикулярны к одной и той же плоскости,

проходящей через векторы		и .
При	направления векторов и совпадают с направлени-
ем вектора	; при	направления векторов и противопо-

95

ложны направлению вектора

; в любом случае векторы

и

имеют одинаковое направление.

Найдем модули векторов

и

. При

угол между вектора-

ми

и

равен , а при

этот угол равен

,

но

=sin

.

Поэтому

=

sin

=

sin

,

=

sin , т. е.

.

Таким образом, векторы

и

коллинеарны,

имеют одинаковое

направление и равные модули;

следовательно,

, т. е. (λ

)

=λ (

).

Свойства 4 и 5 очевидны, а доказательство свойства 3 (дистри-

бутивность) можно найти, например, в [3].

Рассмотрим векторное произведение векторов из ОН

в

пространстве:

;

;

;

;

;

;

.

Результаты занесем в «таблицу векторного умножения»:

Пример 1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векто-

рах и , если	,	,					.
;	(	3 ) (2	) 2	6
	;		7 2 3
Пример 2. Определить, при каких значениях α и β векторы					и бу-
дут коллинеарны:
,	,	,	.
96

	( 2 ) (	) . ( 2 ) ( )
		+
rang
	.

2.2.4. Смешанное произведение векторов и его свойства

Дана тройка векторов , , .

Опр. Смешанным произведением , , называется число, рав-

ное скалярному произведению вектора		на вектор	. Обозначе-
ние:	.
	(	) .
	Геометрический смысл смешанного произведения (рис. 2.33).
	Модуль смешанного произведения векторов равен объему па-
раллелепипеда, построенного на этих векторах:			.

Рис. 2.33. Геометрический смысл смешанного произведения

	Доказательство. Введем обозначение:		. Тогда
=(	)	. Пусть — высота параллелепипеда.
Тогда		и
		.
			97

Замечание.	Если		тройка ,	,	— правая,			то	,
и		;	если тройка	,	,	— левая, то			,
и			.
Свойства смешанного произведения:
1. Смешанное произведение векторов						,	,	не меняется при
циклической перестановке множителей:
					.
2. Смешанное произведение векторов						,	,	меняет знак при
перестановке двух множителей:
			,		,			.
3. Необходимым и достаточным условием компланарности век-
торов является равенство нулю их смешанного произведения:
	,	,	— компланарны				.
4.	,	,	— правая тройка;					, ,	— ле-
вая тройка.

Доказательство.

1. Модули всех трех смешанных произведений равны объему одного и того же параллелепипеда, построенного на этих векторах:

. При циклической перестановке векторов

их ориентация не меняется.				Пусть тройка векторов		, , — правая.
Тогда тройки	,	,	,	— тоже правые. Следовательно,
	.	Пусть	тройка векторов , ,			— левая. Тогда
тройки ,	,	, — тоже левые.			Следовательно,
.
2.			. При перестановке двух векторов ориента-
ция меняется. Поэтому если				, то		и наоборот. Сле-
довательно,		. Аналогично с остальными равенствами.
3.				, ,	— компланарны.
98

4. , , — правая тройка				;	, ,	— левая
тройка		.
Следствие. (	)	(	).
Действительно, (		)		(	)	(	).

Это позволяет в записи смешанного произведения			ставить
знаки	скалярного и	векторного умножения в любом	порядке:
(	) или (	).

Пример 1. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

, , , если		α		, β		,
γ		(см. рис. 2.34).

— угол между векторами и

Рис. 2.34. К решению примера 1

24	;
	=		.

99

2.3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

2.3.1. Прямоугольная декартова система координат

Пусть задан ортонормированный базис на плоскости { } — правой ориентации (поворот от вектора к вектору происходит против часовой стрелки):

Рис. 2.35. ОНБ на плоскости правой ориентации

Проведем оси через данные векторы; точка пересечения осей

— точка О (начало координат). Обозначения: ОX (ось абсцисс) и ОY (ось ординат). Тогда — орт оси ОX, — орт оси ОY.

Tем самым, введена прямоугольная декартова система коорди-

нат OXY на плоскости (рис. 2.36).

Рис. 2.36. Прямоугольные декартовы координаты точки на плоскости

100

Для произвольной точки M на плоскости вектор				назы-
вается радиус-вектором точки M. Вектор			можно разложить по бази-
су { }:	, где	,	.

Прямоугольными декартовыми координатами точки M на плоскости называются координаты ее радиус-вектора относительно

ОНБ { }. Обозначение: M (		).
			,	.

Таким образом, установлено взаимно-однозначное соответствие между точками M на плоскости и упорядоченными парами действи-

тельных чисел	.
Произвольный вектор		на плоскости можно разложить по ор-
тонормированному	базису:	, где	,
.

Теорема 1. Координаты вектора на плоскости равны разностям соответствующих координат конца и начала этого вектора:

	.
Доказательство (см. рис. 2.37).

Рис. 2.37. Координаты вектора, заданного координатами начала и конца

		,	;
	, т. к. при вычитании векторов соответствую-
щие координаты вычитаются. Теорема доказана.
			101

Пусть задан ортонормированный базис в пространстве {		}
правой ориентации (поворот от вектора к вектору	со стороны век-
тора виден против часовой стрелки, см. рис. 2.38).

Рис. 2.38. ОНБ в пространстве правой ориентации

Проведем оси через данные векторы; точка пересечения осей — точка О (начало координат). Обозначения: ОX (ось абсцисс), ОY (ось ординат) и ОZ (ось аппликат). Тогда — орт оси ОX, — орт оси ОY, — орт оси ОZ.

Tем самым, введена прямоугольная декартова система коорди-

нат OXYZ в пространстве (рис. 2.39).

Рис. 2.39. Прямоугольные декартовы координаты точки в пространстве

102