Линейная алгебра и аналитическая геометрия
.pdf1.202. |
. 1.203. |
. |
1.204. .
5.3.2. Матричный способ
Решить системы линейных уравнений матричным способом (№
1.205 – 1.213).
1.205. |
. 1.206. |
. |
1.207. |
. 1.208. |
. |
1.209. |
. 1.210. |
. |
1.211. |
. 1.212. |
. |
1.213. |
. |
|
5.3.3. Метод Гаусса
Решить системы линейных уравнений методом Гаусса (№ 1.214
–1.221).
−исследовать систему по теореме Кронекера–Капелли, указав ранги основной и расширенной матриц (r и r1);
−если система совместна, то указать число базисных и свободных переменных;
−найти общее решение системы и сделать проверку.
1.214. |
. 1.215. |
. |
243
1.216. |
. 1.217. |
. |
1.218. |
. |
1.219. |
. |
1.220. |
. |
1.221. |
. |
5.3.4. Однородные системы
Найти общее решение однородных систем линейных уравнений и сделать проверку (№ 1.222 – 1.227). Указать фундаментальную систему решений (ФСР).
1.222. |
. 1.223. |
. |
1.224. |
. 1.225. |
. |
1.226. |
|
. |
1.227. |
|
. |
5.3.5. Собственные числа и собственные векторы
Найти все (вещественные) собственные числа и соответствующие им собственные векторы матрицы (№ 1.228 – 1.240).
244
1.228. |
. 1.229. |
. 1.230. |
. |
1.231. |
. 1.232. |
. |
|
1.233. |
. 1.234. |
|
. |
1.235. |
. 1.236. |
|
. |
1.237. |
. 1.238. |
|
. |
1.239. |
. 1.240. |
|
. |
5.3.6. Дополнительные задачи
1.241. Найти многочлен 2-й степени, удовлетворяющий условиям:
1.242. Найти многочлен |
степени не выше двух, удовлетворяю- |
||
щий условиям: |
|
, где , , , , , |
— заданные |
числа ( , , |
— различные числа). |
|
|
Исследовать системы линейных уравнений (№ 1.243 – 1.246) на |
совместность и определенность в зависимости от значений |
, указать |
||
число базисных и число свободных переменных ( и |
). |
|
|
1.243. |
. 1.244. |
|
. |
245
1.245. |
. |
1.246. |
. |
Определить значения , при которых однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения (№ 1.247 – 1.248).
1.247. |
. 1.248. |
. |
Найти фундаментальную систему решений (ФСР) однородных систем линейных уравнений (№ 1.249 – 1.250).
1.249. |
. |
1.250. |
. |
Найти общее решение систем линейных уравнений (№ 1.251 –
1.252).
1.251. |
. 1.252. |
. |
1.253. Определить, при каких значениях матрица
имеет вещественные собственные числа. Найти эти собственные числа и соответствующие им собственные векторы.
246
1.254. Определить, при каких вещественных значениях матрица
имеет вещественные собственные числа. Найти эти собствен-
ные числа.
1.255. Найти все (вещественные) собственные числа и соответствую-
щие им собственные векторы матрицы |
, где , — веще- |
|
ственные числа, |
. |
|
1.256. Найти все (вещественные) собственные числа и соответствую-
щие им собственные векторы матрицы |
, где — вещест- |
венное число. |
|
6. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
6.1.ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ
6.1.1.Линейные действия с векторами
Точки K, L, M, N — середины сторон параллелограмма ABCD, = , = (см. рис. 6.1). Найти координаты вектора в базисе
(№ 2.1 – 2.12).
B C
A D
Рис. 6.1. К задачам № 2.1 – 2.12
2.1. |
. 2.2. |
. 2.3. |
. 2.4. |
. |
2.5. |
. 2.6. |
. 2.7. |
. 2.8. |
. |
247
2.9. . 2.10. . 2.11. . 2.12. .
Дан параллелепипед ABCD A1B1C1D1 (рис. 6.2). Точка K — центр грани ABA1B1, точка L — центр грани ABCD, точка M — центр грани AA1DD1, точка N — центр грани A1B1C1D1, точка P — центр
грани BB1CC1, точка Q — центр грани CDC1D1, |
= |
, |
= |
, |
|||||
= |
. Найти координаты вектора |
|
в базисе |
|
(№ 2.13 – |
||||
2.28). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
D1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Рис. 6.2. К задачам № 2.13 – 2.28 |
|
|
|
|
|||
2.13. |
. 2.14. |
. 2.15. |
. 2.16. |
. |
|
|
|
||
2.17. |
. 2.18. |
. 2.19. |
. 2.20. |
. |
|
|
|
||
2.21. |
. 2.22. |
. 2.23. |
. 2.24. |
. |
|
|
|
||
2.25. |
. 2.26. |
. 2.27. |
. 2.28. |
. |
|
|
|
||
|
Доказать, что |
|
— базис на плоскости и разложить вектор |
по этому базису. Построить заданные векторы в ортонормирован-
ном базисе (№ 2.29 – 2.34). |
|
||
2.29. |
, |
, |
. |
2.30. |
, |
, |
. |
2.31. |
, |
, |
. |
2.32. |
, |
, |
. |
2.33. |
, |
, |
. |
2.34. |
, |
, |
. |
Доказать, что |
|
— базис в пространстве и разложить |
|
вектор |
по этому базису (№ 2.35 2.40). |
||
248 |
|
|
|
2.35. |
, |
, |
|
, |
. |
2.36. |
, |
, |
|
, |
. |
2.37. |
, |
, |
|
, |
. |
2.38. |
, |
|
, |
, |
. |
2.39. |
, |
, |
|
, |
. |
2.40. |
, |
|
, |
, |
. |
|
|
|
|
6.1.2. Умножение векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Даны векторы |
|
. Известны модули этих векторов и углы |
|||||||||||||||||||||||||||
между ними: p |
|
, q |
|
, r |
, |
α |
|
|
|
|
|
|
|
, β |
, |
|||||||||||||||
γ |
. |
Вектор |
является |
линейной |
|
комбинацией векторов |
||||||||||||||||||||||||
|
. Найти модуль вектора |
(№ 2.41 |
2.48). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2.41. |
2 |
3 |
, p |
1, q 2, α |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2.42. |
|
2 |
, p |
3, r |
1, β |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.43. |
2 |
|
, q |
4, r |
2, γ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.44. |
|
2 |
, p |
2, q |
1, α |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.45. |
|
2 |
|
, p |
1, q |
1, r |
|
|
|
2, α |
|
|
, β |
|
|
|
|
, γ |
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2.46. |
2 |
|
|
, p |
1, q |
2, r |
|
|
|
1, α |
|
|
|
, β |
|
|
|
, γ |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2.47. |
|
2 |
|
, p |
3, q |
1, r |
|
|
|
2, α |
|
|
, β |
|
|
|
|
, γ |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2.48. |
2 |
|
|
, p |
1, q |
2, r |
|
|
|
3, α |
|
|
, β |
|
|
|
, γ |
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d1 d2
Рис. 6.3. К задачам № 2.49 2.56
Даны единичные векторы |
и угол между ними α |
. |
Векторы и являются линейными комбинациями векторов |
. |
|
|
|
249 |
На векторах и построен параллелограмм (рис. 6.3). Найти площадь S этого параллелограмма и длины его диагоналей d1 и d2 (№ 2.49
2.56). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.49. |
3 |
, |
3 |
|
|
, α |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2.50. |
3 |
, |
|
, α |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.51. |
2 |
, |
|
4 |
|
, α |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.52. |
3 |
, |
|
5 |
|
, α |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2.53. |
2 |
, |
|
3 |
|
, α |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2.54. |
3 |
, |
|
5 |
|
, α |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2.55. |
4 |
, |
3 |
|
2 |
|
|
, α |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2.56. |
4 |
, |
|
2 |
|
|
, α |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
На векторах , |
, |
построен параллелепипед. Известны модули |
||||||||||||||||||||||||||||||
этих векторов и углы между ними: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, |
|
b, |
c, α |
, |
||||||||||||||||||
β |
, γ |
|
|
. Найти объем параллелепипеда (№ 2.57 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
2.64). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.57. a |
1, b |
2, c |
3, α |
|
|
|
|
, β |
|
|
|
|
|
|
|
|
, γ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.58. a |
2, b |
2, c |
3, α |
|
|
|
, β |
|
|
|
, γ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2.59. a |
1, b |
2, c |
4, α |
|
|
|
, β |
|
|
|
|
|
|
|
, γ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.60. a |
2, b |
1, c |
2, α |
|
|
|
, β |
|
|
|
|
|
|
|
, γ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.61. a |
3, b |
2, c |
2, α |
|
|
|
, β |
|
|
|
, γ |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2.62. a |
2, b |
3, c |
3, α |
|
|
|
, β |
|
|
|
|
|
|
|
, γ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.63. a |
1, b |
2, c |
4, α |
|
|
|
, β |
|
|
|
|
|
|
|
, γ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.64. a |
2, b |
3, c |
2, α |
|
|
|
|
, β |
|
|
|
|
|
|
, γ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
250
6.1.3. Дополнительные задачи |
|
||
2.65. В правильном 5-угольнике ABCDE |
(см. рис. 6.4) |
, |
|
. Разложить вектор |
по базису |
. |
|
|
C |
|
|
B |
D |
|
|
A E
Рис. 6.4. К задаче № 2.65
2.66. В правильном 5-угольнике ABCDE (рис. 6.5) |
, |
. |
|||
Разложить векторы |
и |
по базису |
. |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
B |
D |
|
|
A E
Рис. 6.5. К задаче № 2.66
2.67. Точка |
— центр тяжести |
ABC (рис. 6.6). Найти |
|
. |
|
B
O
A C
Рис. 6.6. К задаче № 2.67
251
2.68. Дана пирамида ABCD (рис. 6.7), = , |
= , = |
. Точка |
— центр тяжести ABC. Разложить вектор |
по базису |
. |
D |
|
|
B
О
A C
Рис. 6.7. К задаче № 2.68
2.69. В квадрат ABCD со стороной a вписана окружность. Точка M — произвольная точка этой окружности. Найти сумму
MA2 MB2 MC2 MD2.
2.70. Около квадрата ABCD со стороной a описана окружность. Точка M — произвольная точка этой окружности. Найти сумму
MA2 MB2 MC2 MD2.
2.71.В куб со стороной a вписана сфера. Точка M — произвольная точка этой сферы. Найти сумму квадратов расстояний от точки M до вершин куба.
2.72.Найти отношение объема тетраэдра, построенного на некомпла-
нарных векторах , , , к объему тетраэдра, построенного на векто-
рах |
, |
, |
. |
6.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
6.2.1. Прямоугольная декартова система координат
Построить вектор в прямоугольной декартовой системе координат и отметить его направляющие углы. Найти модуль и
направляющие cos-ы вектора |
(№ 2.73 – 2.84). |
||
2.73. |
. 2.74. |
. 2.75. |
. |
2.76. |
. 2.77. |
. 2.78. |
. |
2.79. |
. 2.80. |
. 2.81. |
. |
2.82. |
. 2.83. |
. 2.84. |
. |
252 |
|
|
|