- •1. Равновесная газожидкостная система
- •1.1. Уравнение состояния и скорость звука
- •1.1.1. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении
- •1.1.2. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении с учетом сжимаемости несущей фазы
- •1.1.3. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении с учетом поверхностного натяжения
- •1.1.4. Скорость звука в жидкости, газе и пузырьковой жидкости
- •1.2. Соотношения на разрыве
- •1.2.1. Соотношения на разрыве в подвижной и неподвижной системе координат
- •1.2.2. Адиабата. Ударная адиабата
- •1.2.3. Скорость ударной волны
- •1.3. Задачи об ударных волнах
- •1.3.1. Задача о поршне в совершенном газе
- •1.3.2. Задача о поршне в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.3.3. Отражение ударной волны от жесткой стенки в совершенном газе
- •1.3.4. Отражение ударной волны от жесткой стенки в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.4. Волна разрежения
- •1.4.1. Волна разрежения в совершенном газе
- •1.4.2. Задача о выдвигающемся поршне в газе
- •1.4.3. Волна разрежения в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.5. Распад произвольного разрыва
- •1.5.1. Распад произвольного разрыва в покоящемся газе
- •1.5.2. Столкновение и разлет двух масс газа
- •1.5.3. Распад произвольного разрыва в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.5.4. Прохождение ударной волны через границу раздела двух сред
- •1.5.5. Прохождение ударной волны через границу раздела между жидкостью и пузырьковой жидкостью
- •1.6. Затухание упругого предвестника.
- •1.7. Волновое истечение в окружающее пространство
- •1.7.1. Истечение совершенного газа из трубы в окружающее пространство
- •1.7.2. Истечение холодной жидкости
- •1.7.3. Истечение равновесной пузырьковой жидкости
- •1.7.4. Качественный анализ процесса истечения вскипающей жидкости
- •1.7.5. Замкнутая система уравнений для истечения вскипающей жидкости
- •1.7.6. Численное решение задачи об истечении вскипающей жидкости
1.7.5. Замкнутая система уравнений для истечения вскипающей жидкости
Рассмотрим решение поставленной в предыдущем параграфе задачи в термодинамическом равновесном приближении. Предположим, что давление, скорость и температура жидкости (индекс 1) и пара (индекс 2) совпадают:
, , . (7.5.1)
Энтальпии жидкости и пара в состоянии насыщения являются функциями давления
,
и связаны между собой соотношением
. (7.5.2)
Здесь – теплота парообразования. Плотность жидкости на линии насыщения также является функцией давления . Значения параметров жидкости на линии насыщения , , , могут быть найдены в соответствующих таблицах. При расчете осуществляется сплайн-интерполяция этих данных. Однако не все из этих данных нужны, так как существуют термодинамические связи. Одна из них – (7.5.2), а другая – уравнение Клапейрона-Клаузиуса (Clausius):
, . (7.5.3)
Так как в (7.5.3) присутствует производная от по давлению, то должна быть дифференцируемой функцией.
Выпишем законы сохранения рассматриваемой системы:
(7.5.4)
Последнее уравнение выражает закон сохранения энтропии системы s, так как теплообмен в системе отсутствует. Перейдем от энтропии к более удобной в нашем случае энтальпии: последнее уравнение эквивалентно выражению . Так как , и , то получим для дифференциала энтальпии выражение
. (7.5.5)
Поэтому окончательно уравнение сохранения энергии примет вид
. (7.5.6)
Плотность смеси определяется так же, как и в случае пузырьковой жидкости:
.
Легко убедиться, что
, . (7.5.7)
Здесь , – массовые концентрации жидкости и пара.
Можно ввести энтальпию смеси, аддитивную по массе
. (7.5.8)
Учитывая (7.5.2) и для дифференциала энтальпии, получим
. (7.5.9)
Покажем, что энтальпия – функция только давления. Подставим в (7.5.5):
,
или
. (7.5.10)
Так как энтальпии фаз на линии насыщения, теплота парообразования и плотности фаз зависят только от давления, то и .
Учитывая связь (7.5.8), можно сделать вывод, что энтальпия – функция давления. Кроме того, из (7.5.7) следует, что процесс истечения является баротропным, т.е. плотность – функция только давления . Добавляя эту зависимость к системе уравнений, мы замкнем систему уравнений.
С точки зрения вычислений, удобнее аппроксимировать скорость звука, чем плотность
. (7.5.11)
Тогда дифференциальное уравнение для энтальпии (или энтропии) можно заменить на следующее:
, (7.5.12)
где известна зависимость .
Построим эту зависимость. Для дифференциала удельного объема имеем
,
или
. (7.5.13)
Перейдем в определении равновесной скорости звука (7.5.11) к удельному объему :
. (7.5.14)
Подставим в (7.5.13) из (7.5.10), а затем полученное выражение подставим в (7.5.14) и получим
, (7.5.15)
где введены обозначения:
, ,
. (7.5.16)
В выражения для A и B входят и , которые можно найти из (7.5.7):
, . (7.5.17)
Окончательно получается следующая система уравнений, описывающая процесс истечения вскипающей жидкости из трубы:
(7.5.18)
Кроме того, необходимы четыре функции: , , и . Значения функций и вычисляются по формулам (7.5.2) и (7.5.3) соответственно. Эту систему решают численно.
Рассмотрим выражение для равновесной скорости звука со стороны двухфазной области :
. (7.5.19)
Заметим, что, несмотря на отсутствие пара , в выражение для скорости звука входят характеризующие его параметры (, ).
Если в исходном состоянии жидкость является недогретой, т.е. или , то скорость звука в ней есть скорость звука в чистой жидкости . Тогда последнее уравнение в (7.5.18) можно переписать в виде
. (7.5.20)