- •1. Равновесная газожидкостная система
- •1.1. Уравнение состояния и скорость звука
- •1.1.1. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении
- •1.1.2. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении с учетом сжимаемости несущей фазы
- •1.1.3. Уравнение состояния пузырьковой жидкости в термодинамически равновесном приближении с учетом поверхностного натяжения
- •1.1.4. Скорость звука в жидкости, газе и пузырьковой жидкости
- •1.2. Соотношения на разрыве
- •1.2.1. Соотношения на разрыве в подвижной и неподвижной системе координат
- •1.2.2. Адиабата. Ударная адиабата
- •1.2.3. Скорость ударной волны
- •1.3. Задачи об ударных волнах
- •1.3.1. Задача о поршне в совершенном газе
- •1.3.2. Задача о поршне в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.3.3. Отражение ударной волны от жесткой стенки в совершенном газе
- •1.3.4. Отражение ударной волны от жесткой стенки в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.4. Волна разрежения
- •1.4.1. Волна разрежения в совершенном газе
- •1.4.2. Задача о выдвигающемся поршне в газе
- •1.4.3. Волна разрежения в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.5. Распад произвольного разрыва
- •1.5.1. Распад произвольного разрыва в покоящемся газе
- •1.5.2. Столкновение и разлет двух масс газа
- •1.5.3. Распад произвольного разрыва в жидкости и пузырьковой жидкости
- •1.5.4. Прохождение ударной волны через границу раздела двух сред
- •1.5.5. Прохождение ударной волны через границу раздела между жидкостью и пузырьковой жидкостью
- •1.6. Затухание упругого предвестника.
- •1.7. Волновое истечение в окружающее пространство
- •1.7.1. Истечение совершенного газа из трубы в окружающее пространство
- •1.7.2. Истечение холодной жидкости
- •1.7.3. Истечение равновесной пузырьковой жидкости
- •1.7.4. Качественный анализ процесса истечения вскипающей жидкости
- •1.7.5. Замкнутая система уравнений для истечения вскипающей жидкости
- •1.7.6. Численное решение задачи об истечении вскипающей жидкости
1.4. Волна разрежения
В этом параграфе рассмотрим волну разрежения в газе, жидкости и пузырьковой жидкости.
1.4.1. Волна разрежения в совершенном газе
Выпишем систему уравнений гидродинамики:
(4.1.1)
Введем новую переменную
. (4.1.2)
Тогда
,
,
В результате из (4.1.1) получим
где ' – обозначает производную по .
Используя (4.1.2), найдем
(4.1.3)
Таким образом, система уравнений в частных производных (4.1.1) перешла в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (4.1.3). В этом случае задача по решению системы (4.1.1) или (4.1.3) и ее решение называются автомодельными.
В качестве замыкающего систему (4.1.3) соотношения возьмем
или . (4.1.4)
Систему уравнений (4.1.3) и (4.1.4) преобразуем к виду
(4.1.5)
Найдем решение системы (4.1.5). Выразим из первого уравнения (4.1.5) и подставим во второе, получим
.
Следовательно,
и
. (4.1.6)
Исключая из системы уравнений (4.1.5) , получим
. (4.1.7)
Знаку “+” в (4.1.6) соответствует знак “–” в (4.1.7) и наоборот. В этом можно убедиться, подставив (4.1.7) в систему (4.1.5). Используя (4.1.4), интеграл (4.1.6) можно преобразовать к виду
. (4.1.8)
Процесс расширения газа является изоэнтропическим, и в качестве его уравнения состояния примем адиабату Пуассона
. (4.1.9)
Скорость звука
. (4.1.10)
С учетом (4.1.9) имеем
. (4.1.11)
Подставим (4.1.11) в (4.1.6). Тогда после интегрирования в пределах от до получим
. (4.1.12)
Рассмотрим волну разрежения, т. е. пусть , тогда в силу (4.1.9) и в силу (4.1.11).
Рассмотрим решение со знаком “+”:
(4.1.13)
Из (4.1.13) следует, что и
. (4.1.14)
Рассмотрим решение со знаком “–”:
(4.1.15)
В этом случае и
. (4.1.16)
Выражения (4.1.13) и (4.1.15) можно объединить:
. (4.1.17)
Поскольку , то
. (4.1.18)
Это неравенство определяет максимально достижимую скорость газа в волне разрежения.
Таким образом, существует два решения (см. рис. 1.11):
1). газ течёт влево:
Рис.
1.11.
2). газ течёт вправо:
(4.1.20)
Остальные параметры можно найти, используя уравнение адиабаты Пуассона и (4.1.11):
, , . (4.1.21)
1.4.2. Задача о выдвигающемся поршне в газе
Рис.
1.12.
Требуется описать возникающее течение газа. Очевидно, что при выбранном направлении движения поршня газ потечёт влево (), а возмущение (волна разрежения) побежит по газу вправо.
Скорость газа в волне разрежения ограничена неравенством (5.1.8):
.
Рассмотрим два случая
а). Скорость поршня не превышает максимальную скорость газа в волне разрежения
. (4.2.1)
Тогда скорость газа вблизи поршня определяется условием “прилипания”:
. (4.2.2)
Поэтому соотношения (4.1.19) в этом случае примут вид:
. (4.2.3)
Рис.
1.13
Проанализируем полученное решение. Точка (см. рис. 1.13) носит название “головы волны разрежения” (ГВР) и движется по невозмущенному газу вправо со скоростью звука . Точка – “хвост волны разрежения” (ХВР). ХВР может двигаться как вправо, если (или ), так и влево, если .
Найдем скорость ХВР относительно газа. Скорость газа . Скорость ХВР .
Их разность как раз и будет искомой скоростью
. (4.2.4)
Последнее равенство в (4.2.4) написано на основании решения (4.1.13).
Таким образом, ХВР движется относительно газа вправо с местной скоростью звука.
б). Скорость поршня больше максимальной скорости газа в волне разрежения:
. (4.2.5)
В этом случае справедливы соотношения (4.1.19). Точка (ГВР) имеет координату (рис. 1.14), но (ХВР) имеет координату . Координата поршня . Поршень отрывается от газа, и между поршнем и ХВР газ отсутствует (вакуум). Скорость ХВР относительно газа равна нулю.
Рис.
1.14.